Кіріспе
Геометрияның қасиеті, сонымен қатар метрикалық кеңістіктерде "қашықтық" ұғымын жалпылау үшін де қолданылады. Математикада үшбұрыш теңсіздігі кез келген үшбұрыштың кез келген екі қабырғасының ұзындықтарының қосындысы қалған қабырғасының ұзындығынан үлкен немесе оған тең болуы керек екенін айтады. Бұл тұжырым дегенеративті үшбұрыштарды қосуға мүмкіндік береді, бірақ кейбір авторлар, әсіресе элементарлық геометрия туралы жазатындар, осы мүмкіндікті жоққа шығарып, теңдік мүмкіндігін алып тастайды. Егер x, y және z үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болса, онда үшбұрыш теңсіздігі тек нөлдік ауданы бар үшбұрыштың дегенеративті жағдайында ғана теңдік орын алатынын көрсетеді. Евклид геометриясында және басқа геометрияларда үшбұрыш теңсіздігі – қашықтық туралы теорема, ол векторлар мен вектор ұзындығы (нормалар) арқылы жазылады: мұнда үшінші қабырғаның z ұзындығы 'x' + 'y' векторлық қосындысымен алмастырылған. Егер 'x' және 'y' нақты сандар болса, оларды кеңістігіндегі векторлар ретінде қарастыруға болады, ал үшбұрыш теңсіздігі абсолюттік мәндер арасындағы қатынасты білдіреді. Евклид геометриясында тікбұрышты үшбұрыштар үшін үшбұрыш теңсіздігі Пифагор теоремасының салдары болып табылады, ал жалпы үшбұрыштар үшін косинустар заңының салдары, бірақ осы теоремаларсыз да дәлелдеуге болады. Теңсіздікті интуитивті түрде бір немесе екі жағынан қарастыруға болады. Оң жақтағы суретте үш мысал келтірілген: анық теңсіздік (жоғарыдан) және теңдікке жақындау (төменде). Евклид жағдайында теңдік тек үшбұрыштың 180° бұрышы және екі 0° бұрышы болғанда ғана пайда болады, бұл төмендегі мысалда көрсетілгендей, үш төбесін бір түзу бойында жатқызады. Осылайша, Евклид геометриясында екі нүкте арасындағы ең қысқа қашықтық – түзу сызық. Сфералық геометрияда екі нүкте арасындағы ең қысқа қашықтық – үлкен шеңбердің доғасы, бірақ үшбұрыш теңсіздігі сақталады, егер сферадағы екі нүкте арасындағы қашықтық осы нүктелерді қосатын кіші сфералық сызық сегментінің ұзындығына (яғни орталық бұрышы бар ) тең деген шектеу қойылса. Үшбұрыш теңсіздігі – нормалар мен қашықтық өлшемдерінің анықтамалық қасиеті. Осы қасиетті әрбір нақты кеңістік үшін осындай мақсаттарға ұсынылған кез келген функция үшін теорема ретінде растау қажет: мысалы, нақты сандар, Евклид кеңістігі, Lp кеңістіктері (p ≥ 1) және ішкі көбейтінді кеңістіктері.
In mathematics, the triangle inequality states that for any triangle, the sum of the lengths of any two sides must be greater than or equal to the length of the remaining side. This statement permits the inclusion of degenerate triangles, but some authors, especially those writing about elementary geometry, will exclude this possibility, thus leaving out the possibility of equality. If x, y, and z are the lengths of the sides of the triangle, with no side being greater than z, then the triangle inequality states that
with equality only in the degenerate case of a triangle with zero area. In Euclidean geometry and some other geometries, the triangle inequality is a theorem about distances, and it is written using vectors and vector lengths (norms):
where the length z of the third side has been replaced by the vector sum 'x' + 'y'. When 'x' and 'y' are real numbers, they can be viewed as vectors in , and the triangle inequality expresses a relationship between absolute values. In Euclidean geometry, for right triangles the triangle inequality is a consequence of the Pythagorean theorem, and for general triangles, a consequence of the law of cosines, although it may be proved without these theorems. The inequality can be viewed intuitively in either or The figure at the right shows three examples beginning with clear inequality (top) and approaching equality (bottom). In the Euclidean case, equality occurs only if the triangle has a 180° angle and two 0° angles, making the three vertices collinear, as shown in the bottom example. Thus, in Euclidean geometry, the shortest distance between two points is a straight line. In spherical geometry, the shortest distance between two points is an arc of a great circle, but the triangle inequality holds provided the restriction is made that the distance between two points on a sphere is the length of a minor spherical line segment (that is, one with central angle in ) with those endpoints. The triangle inequality is a defining property of norms and measures of distance. This property must be established as a theorem for any function proposed for such purposes for each particular space: for example, spaces such as the real numbers, Euclidean spaces, the Lp spaces (p ≥ 1), and inner product spaces.
Евклидтік геометрия
Евклид фигурадағы конструкцияны пайдаланып, жазық геометриясындағы қашықтықтар үшін үшбұрыш теңсіздігін дәлелдеді. АВС үшбұрышынан бастап, бір қабырғасы және екінші тең қабырғасы қабырғасының созылмасы бойында салынған теңқабырғалы үшбұрыш құрастырылады. Содан кейін β бұрышының α бұрышынан үлкен екендігі, демек қабырғасы қабырғасынан ұзын екендігі көрсетіледі. Осылайша, және қабырғаларының ұзындықтарының қосындысы қабырғасынан ұзын болады. Бұл дәлел Евклидтің "Елементтер" еңбегінің 1-кітабының 20-нақылда келтірілген.
so the sum of the lengths of sides and is larger than the length of This proof appears in Euclid's Elements, Book 1, Proposition 20.
Кез келген көпбұрышқа жалпылау
Үшбұрышты теңсіздік математикалық индукция арқылы кез келген көпбұрышты жолдарға дейін кеңейтілуі мүмкін, осылайша мұндай жолдың жалпы ұзындығы оның бастапқы және соңғы нүктелері арасындағы түзу сызықтың ұзындығынан кем емес екені көрсетіледі. Осыдан келіп, кез келген көпбұрыштың қабырғасының ұзындығы әрқашан қалған қабырғаларының ұзындықтарының қосындысынан кіші болады.
Қысқа жолдармен байланысы
Бұл жалпылау Евклид геометриясындағы екі нүкте арасындағы ең қысқа қисықтың түзу сызық екенін дәлелдеуге қолданылуы мүмкін. Екі нүкте арасындағы кез келген көпбұрышты жол олардың арасындағы түзу сызықтан қысқа болмайды. Бұл, ешбір қисықтың доға ұзындығы оның бастапқы және соңғы нүктелері арасындағы қашықтықтан кем емес екенін білдіреді. Анықтама бойынша, қисықтың доға ұзындығы – қисықтың барлық көпбұрышты жуықтауларының ұзындықтарының ең үлкені. Көпбұрышты жолдар үшін алынған нәтиже, соңғы нүктелер арасындағы түзу сызықтың барлық көпбұрышты жуықтаулардың ең қысқасы екенін көрсетеді. Қисықтың доға ұзындығы кез келген көпбұрышты жуықтаудың ұзындығынан үлкен немесе оған тең болғандықтан, қисықтың өзі түзу сызықтан қысқа бола алмайды.
Минковский кеңістігіндегі кері айналу
Минковский кеңістігінің метрикасы оң анықталмаған, яғни x векторы нөлден өзгеше болса да, оның таңбасы оң немесе теріс болуы мүмкін, тіпті нөлге тең болуы да мүмкін. Сонымен қатар, егер x және y векторлары болашақ жарық конусында жатқан уақыт тәрізді векторлар болса, үшбұрыш теңсіздігі кері жүреді:
Арнайы салыстырмалылық теориясындағы егіздер парадоксы осы теңсіздіктің физикалық мысалы болып табылады. Егер екі вектор да өткен жарық конусында жатса, немесе олардың бірі немесе екеуі де нөлдік векторлар болса, теңсіздіктің кері түрі сақталады. Бұл нәтиже кез келген өлшемде дұрыс. Егер x және y векторларымен анықталған жазықтық кеңістік сипатты болса (яғни Евклидтік ішкі кеңістік болса), онда қалыпты үшбұрыш теңсіздігі орындалады.