Уравнение для радиусов касающихся окружностей

Введение

Уравнение для радиусов касательных окружностей

В геометрии теорема Декарта утверждает, что для любых четырех касающихся, или взаимно касающихся, окружностей радиусы окружностей удовлетворяют определенному квадратному уравнению. Решая это уравнение, можно построить четвертую окружность, касающуюся трех заданных, взаимно касающихся окружностей. Теорема названа в честь Рене Декарта, который сформулировал ее в 1643 году. Стихотворение Фредерика Содди "The Kiss Precise" 1936 года обобщает теорему с точки зрения кривизн (знаковых обратных радиусов) четырех окружностей:

Особые случаи теоремы применимы, когда одна или две окружности заменяются прямой линией (с нулевой кривизной) или когда кривизны являются целыми числами или квадратами чисел. Версия теоремы, использующая комплексные числа, позволяет вычислять центры окружностей, а не только их радиусы. При соответствующем определении кривизны теорема также применима в сферической геометрии и гиперболической геометрии. В более высоких размерностях аналогичное квадратное уравнение применимо к системам попарно касающихся сфер или гиперсфер.

История

Геометрические задачи, связанные с касательными окружностями, рассматривались на протяжении тысячелетий. В Древней Греции III века до нашей эры Аполлоний Пергский посвятил этой теме целую книгу, Ἐπαφαί [Касания]. Она была утеряна и известна главным образом благодаря описанию её содержания Паппом Александрийским и фрагментарным упоминаниям в средневековой исламской математике. Однако греческая геометрия в основном была сосредоточена на построениях с помощью линейки и циркуля. Например, проблема Аполлония, тесно связанная с теоремой Декарта, заключается в построении окружности, касающейся трех заданных окружностей, которые сами по себе не обязаны быть касательными. Вместо этого теорема Декарта формулируется с использованием алгебраических соотношений между числами, описывающими геометрические формы. Это характерно для аналитической геометрии, область, пионерами в которой были Рене Декарт и Пьер де Ферма в первой половине XVII века. Декарт кратко обсудил проблему касательных окружностей в 1643 году в двух письмах к принцессе Елизавете Пфальцской. Изначально Декарт предложил принцессе проблему Аполлония. После того как частичные результаты Елизаветы показали, что аналитическое решение полной задачи было бы слишком трудоемким, он упростил задачу до случая, когда три заданные окружности взаимно касаются друг друга, и, решив эту упрощенную задачу, пришел к уравнению, описывающему соотношение между радиусами или кривизнами четырех попарно касающихся окружностей. Этот результат стал известен как теорема Декарта. Декарт не привел рассуждений, которые привели его к этому соотношению. Японская математика часто занималась задачами, связанными с окружностями и их касаниями, и японский математик Ямадзи Нусидзуми сформулировал форму теоремы об окружностях Декарта в 1751 году. Как и Декарт, он выразил её в виде полиномиального уравнения относительно радиусов, а не их кривизн. Частный случай этой теоремы для одной прямой и трех окружностей был зафиксирован на японской табличке сангаку 1824 года. Теорема Декарта была вновь открыта в 1826 году Якобом Штайнером, в 1842 году Филипом Бикрофтом и в 1936 году Фредериком Содди. Содди решил оформить свою версию теоремы в виде стихотворения "The Kiss Precise" и опубликовал его в журнале Nature. Касающиеся окружности в этой задаче иногда называют окружностями Содди. Содди также распространил теорему на сферы и в другом стихотворении описал цепочку из шести сфер, каждая из которых касается своих соседей и трех взаимно касающихся сфер, конфигурацию, теперь называемую гекслетом Содди. Торрольд Госсет и другие расширили теорему и стихотворение на произвольные размерности; версия Госсета была опубликована в следующем году. Обобщение иногда называют теоремой Содди — Госсета, хотя и гекслет, и трехмерная версия были известны ранее, в сангаку и в работе Роберта Лаклана 1886 года. Было опубликовано множество доказательств теоремы. Доказательство Штайнера использует цепи Паппа и теорему Вивиани. Доказательства Филипа Бикрофта и Х. С. М. Коксетера включают в себя еще четыре окружности, проходящие через тройные точки касания исходных трех окружностей; Коксетер также предоставил доказательство с использованием инверсивной геометрии. Дополнительные доказательства включают аргументы, основанные на симметрии, вычисления во внешней алгебре или алгебраические преобразования формулы Герона (см.). Результат также следует из наблюдения, что определитель Кейли — Менгера четырех центров компланарных окружностей равен нулю.

Geometrical problems involving tangent circles have been pondered for millennia. In ancient Greece of the third century BC, Apollonius of Perga devoted an entire book to the topic, Ἐπαφαί [Tangencies]. It has been lost, and is known largely through a description of its contents by Pappus of Alexandria and through fragmentary references to it in medieval Islamic mathematics. However, Greek geometry was largely focused on straightedge and compass construction. For instance, the problem of Apollonius, closely related to Descartes' theorem, asks for the construction of a circle tangent to three given circles which need not themselves be tangent. Instead, Descartes' theorem is formulated using algebraic relations between numbers describing geometric forms. This is characteristic of analytic geometry, a field pioneered by René Descartes and Pierre de Fermat in the first half of the 17th century. Descartes discussed the tangent circle problem briefly in 1643, in two letters to Princess Elisabeth of the Palatinate. Descartes initially posed to the princess the problem of Apollonius. After Elisabeth's partial results revealed that solving the full problem analytically would be too tedious, he simplified the problem to the case in which the three given circles are mutually tangent, and in solving this simplified problem he came up with the equation describing the relation between the radii, or curvatures, of four pairwise tangent circles. This result became known as Descartes' theorem. Descartes did not provide the reasoning through which he found this relation. Japanese mathematics frequently concerned problems involving circles and their tangencies, and Japanese mathematician Yamaji Nushizumi stated a form of Descartes' circle theorem in 1751. Like Descartes, he expressed it as a polynomial equation on the radii rather than their curvatures. The special case of this theorem for one straight line and three circles was recorded on a Japanese sangaku tablet from 1824. Descartes' theorem was rediscovered in 1826 by Jakob Steiner, in 1842 by Philip Beecroft, and in 1936 by Frederick Soddy. Soddy chose to format his version of the theorem as a poem, The Kiss Precise, and published it in Nature. The kissing circles in this problem are sometimes known as Soddy circles. Soddy also extended the theorem to spheres, and in another poem described the chain of six spheres each tangent to its neighbors and to three given mutually tangent spheres, a configuration now called Soddy's hexlet. Thorold Gosset and several others extended the theorem and the poem to arbitrary dimensions; Gosset's version was published the following year. The generalization is sometimes called the Soddy–Gosset theorem, although both the hexlet and the three dimensional version were known earlier, in sangaku and in the 1886 work of Robert Lachlan. Multiple proofs of the theorem have been published. Steiner's proof uses Pappus chains and Viviani's theorem. Proofs by Philip Beecroft and by H. S. M. Coxeter involve four more circles, passing through triples of tangencies of the original three circles; Coxeter also provided a proof using inversive geometry. Additional proofs involve arguments based on symmetry, calculations in exterior algebra, or algebraic manipulation of Heron's formula (for which see ). The result also follows from the observation that the Cayley–Menger determinant of the four coplanar circle centers is zero.

Три одинаковых круга

Когда три из четырех окружностей равны, их центры образуют равносторонний треугольник, как и точки касания этих окружностей. Две возможности для четвертой окружности, касающейся всех трех, являются концентрическими, и [[#math 2 сводится к

Прямое число

Когда четыре касательные окружности, описанные в [[#math 2]], имеют целочисленные кривизны, то альтернативная четвертая окружность, определяемая вторым решением уравнения, также должна иметь целочисленную кривизну. Это происходит потому, что оба решения отличаются от целого числа квадратным корнем из целого числа, и поэтому любое из решений может быть целым числом только в том случае, если этот квадратный корень, а следовательно и другое решение, также является целым числом. Любые четыре целых числа, удовлетворяющие уравнению в теореме Декарта, образуют кривизны четырех касающихся окружностей. Целочисленные четверки этого типа также тесно связаны с героновыми треугольниками – треугольниками с целочисленными сторонами и площадями.

Начиная с любых четырех взаимно касающихся окружностей и многократно заменяя одну из четырех ее альтернативным решением (прыжки Виетты) всеми возможными способами, мы приходим к системе бесконечного числа касающихся окружностей, называемой аполлоновой прокладкой. Если исходные четыре окружности имеют целочисленные кривизны, то и каждая замена будет иметь целочисленные кривизны, и, следовательно, все окружности в прокладке будут иметь целочисленные кривизны. Любые четыре касающиеся окружности с целочисленными кривизнами принадлежат ровно одной такой прокладке, которая однозначно описывается своим корневым четверичным набором, состоящим из четырех окружностей с наибольшими и четырьмя окружностями с наименьшими кривизнами. Этот четверичный набор можно найти, начиная с любого другого четверичного набора из той же прокладки, многократно заменяя наименьшую окружность на более крупную, которая удовлетворяет тому же уравнению Декарта, пока такое уменьшение больше не станет возможным. Корневой четверичный набор называется примитивным, если у него нет нетривиального общего делителя. Каждый примитивный корневой четверичный набор можно получить из факторизации суммы двух квадратов, , в виде четверичного набора. Чтобы быть примитивным, он должен удовлетворять дополнительным условиям , и . Факторизации сумм двух квадратов можно получить, используя теорему о сумме двух квадратов. Любую другую целочисленную аполлонову прокладку можно сформировать, умножив примитивный корневой четверичный набор на произвольное целое число, и любой четверичный набор в одной из этих прокладок (то есть любое целочисленное решение уравнения Декарта) можно сформировать, обратив процесс замены, использованный для нахождения корневого четверичного набора. Например, прокладка с корневым четверичным набором , показанная на рисунке, генерируется таким образом из факторизованной суммы двух квадратов.

Фордские круги

Особые случаи одной прямой и целочисленных кривизн объединяются в кругах Форда. Это бесконечное семейство кругов, касающихся оси декартовой системы координат в её рациональных точках. Каждая дробь (в несократимом виде) имеет круг, касающийся прямой в точке с кривизной. Три из этих кривизн, вместе с нулевой кривизной оси, удовлетворяют условиям теоремы Декарта, когда знаменатели двух соответствующих дробей в сумме дают знаменатель третьей. Два круга Форда для дробей и (обе в несократимом виде) касаются, когда <math> Когда они касаются, они образуют четверку касающихся кругов с осью и с кругом, соответствующим их медианте. Круги Форда принадлежат к специальной аполлониевой прокладке с корневой четверкой, ограниченной двумя параллельными прямыми, которые можно принять за ось и прямую. Это единственная аполлониева прокладка, содержащая прямую линию и не ограниченная кругом с отрицательной кривизной. Круги Форда – это круги в этой прокладке, касающиеся оси.