Кіріспе
Моник көпмүшеден құралған квадраттық матрица. Сызықтық алгебрада моник көпмүшеге қатысты Frobenius серіктес матрицасы былай анықталады:
In linear algebra, the Frobenius companion matrix of the monic polynomial
is the square matrix defined as
Some authors use the transpose of this matrix, , which is more convenient for some purposes such as linear recurrence relations (see below). is defined from the coefficients of , while the characteristic polynomial as well as the minimal polynomial of are equal to In this sense, the matrix and the polynomial are "companions".
Кейбір авторлар осы матрицаның транспозысын қолданады, , бұл сызықтық рекурренттік қатынастар сияқты кейбір мақсаттар үшін ыңғайлы (төменде қараңыз). матрицасы полиномның коэффициенттері арқылы анықталады, ал оның сипаттамалық және минималды полиномдары бірдей болады. Осылайша, матрица мен полином "серіктес" болып табылады.
In linear algebra, the Frobenius companion matrix of the monic polynomial
is the square matrix defined as
Some authors use the transpose of this matrix, , which is more convenient for some purposes such as linear recurrence relations (see below). is defined from the coefficients of , while the characteristic polynomial as well as the minimal polynomial of are equal to In this sense, the matrix and the polynomial are "companions".
Диагональдастыру
Сипаттамалық көпмүшенің түбірлері – өзіндік шамалар болып табылады. Егер n түрлі өзіндік шама болса, онда матрицасы диагональдық матрица ретінде беріледі, мұнда D – диагональдық матрица, ал V – λ-ға сәйкес Вандермонд матрицасы: Шындығында, қарапайым есептеу транспоздың өзіндік векторларына ие екенін көрсетеді, бұл мынадан шығады. Осылайша, оның диагональдық негізді өзгерту матрицасы болып табылады, яғни , және екі жақтың транспозын алғанда Біз теңдеуден өзіндік шамалары бар матрицаның өзіндік векторларын анықтай аламыз: олар кері Вандермонд матрицасының бағандық векторлары. Бұл матрица белгілі, өзіндік векторларды Лагранж көпмүшелерінің коэффициенттерімен теңдейді. Балама ретінде, масштабталған өзіндік векторлардың жай коэффициенттері бар. Егер матрицада бірнеше түбірлер болса, онда оны диагональдау мүмкін емес. Керісінше, Джорданның канондық түрі әр түрлі түбір үшін бір диагональдық блоктан тұрады, түбірінің көптігі m болса, диагональда m × m блоктан тұрады.
Indeed, an easy computation shows that the transpose has eigenvectors with , which follows from Thus, its diagonalizing change of basis matrix is , meaning , and taking the transpose of both sides gives
We can read the eigenvectors of with from the equation : they are the column vectors of the inverse Vandermonde matrix This matrix is known explicitly, giving the eignevectors , with coordinates equal to the coefficients of the Lagrange polynomials
Alternatively, the scaled eigenvectors have simpler coefficients. If has multiple roots, then is not diagonalizable. Rather, the Jordan canonical form of contains one diagonal block for each distinct root, an m × m block with on the diagonal if the root has multiplicity m.
Циклдік ауысу матрицасы
Егер өзіндік сандар бірліктің кешенді түбірлері болса, серік матрица және оның транспозициясы екеуі де Сильвестрдің циклдік ауыстыру матрицасына, яғни циркуляциялық матрицаға дейін тобыққан болады.