Введение
Квадратная матрица, построенная из моного многочлена. В линейной алгебре сопутствующая матрица Фробениса моного многочлена
In linear algebra, the Frobenius companion matrix of the monic polynomial
определяется как
Некоторые авторы используют транспонированную матрицу, , которая удобнее для определенных целей, таких как линейные рекуррентные соотношения (см. ниже). Матрица определяется коэффициентами , при этом ее характеристический полином и минимальный полином равны . В этом смысле матрица и многочлен являются "сопутствующими".
Диагонализация
Корни характеристического многочлена являются собственными значениями матрицы A. Если существует n различных собственных значений λ₁, …, λₙ, то матрица A диагонализуется как A = VDV⁻¹, где D – диагональная матрица, а V – матрица Вандермонде, соответствующая собственным значениям λ. Действительно, простое вычисление показывает, что транспонированная матрица Vᵀ имеет собственные векторы с λᵢ, что следует из AV = VD. Таким образом, ее матрица изменения базиса, диагонализирующая A, равна V⁻¹, то есть A = V⁻¹DV, и, транспонируя обе части, получаем Aᵀ = DVᵀ(V⁻¹)ᵀ. Мы можем определить собственные векторы матрицы Aᵀ с собственными значениями λᵢ из уравнения Aᵀv = λᵢv: они являются столбцами обратной матрицы Вандермонде V⁻¹. Эта матрица известна явно, что позволяет получить собственные векторы, координаты которых равны коэффициентам полиномов Лагранжа.
Indeed, an easy computation shows that the transpose has eigenvectors with , which follows from Thus, its diagonalizing change of basis matrix is , meaning , and taking the transpose of both sides gives
We can read the eigenvectors of with from the equation : they are the column vectors of the inverse Vandermonde matrix This matrix is known explicitly, giving the eignevectors , with coordinates equal to the coefficients of the Lagrange polynomials
Alternatively, the scaled eigenvectors have simpler coefficients. If has multiple roots, then is not diagonalizable. Rather, the Jordan canonical form of contains one diagonal block for each distinct root, an m × m block with on the diagonal if the root has multiplicity m.
В качестве альтернативы, масштабированные собственные векторы имеют более простые коэффициенты. Если характеристический многочлен имеет кратные корни, то матрица A не диагонализуема. Вместо этого, жорданова нормальная форма матрицы A содержит один диагональный блок для каждого различного корня, блок размера m × m с λ на диагонали, если корень λ имеет кратность m.
Indeed, an easy computation shows that the transpose has eigenvectors with , which follows from Thus, its diagonalizing change of basis matrix is , meaning , and taking the transpose of both sides gives
We can read the eigenvectors of with from the equation : they are the column vectors of the inverse Vandermonde matrix This matrix is known explicitly, giving the eignevectors , with coordinates equal to the coefficients of the Lagrange polynomials
Alternatively, the scaled eigenvectors have simpler coefficients. If has multiple roots, then is not diagonalizable. Rather, the Jordan canonical form of contains one diagonal block for each distinct root, an m × m block with on the diagonal if the root has multiplicity m.
Матрица циклического сдвига
В случае, когда собственные значения являются комплексными корнями из единицы, матрица-компаньон и её транспонированная матрица обе приводятся к циклической матрице смещения Сильвестра, являющейся циркулянтной матрицей.