Кіріспе
Алгебралық құрылым қосу және көбейтумен – алгебралық құрылым.
the algebraic structure
Математикада сақиналар – өрістерді жалпылайтын алгебралық құрылымдар: көбейту міндетті түрде коммутативті болуы керек емес және көбейтуге кері элементтердің болуы міндетті емес. Формальды айтқанда, сақина – екі екілік операциялармен жабдықталған жиын, олар қосу және көбейту деп аталады, сонда сақина қосу операциясына қатысты абельдік топ болып табылады, ал көбейту операциясы ассоциативті, қосу операциясы бойынша дистрибутивті және көбейтуге қатысты бейтарап элементке ие. (Кейбір авторлар сақинаны көбейтуге қатысты бейтарап элементті талап етпей анықтайды және жоғарыда анықталған құрылымды бейтарап элементі бар сақина деп атайды. Қараңыз.) Сақинаның коммутативті болуы оның мінез-құлқына зор әсер етеді. Коммутативтік алгебра, коммутативтік сақиналар теориясы – сақиналар теориясының маңызды саласы. Оның дамуы алгебралық сандар теориясы және алгебралық геометрияның мәселелері мен идеяларымен үлкен байланысты. Ең қарапайым коммутативтік сақиналар – нөлдік емес элементтерге бөлінетін сақиналар, мұндай сақиналар өрістер деп аталады. Коммутативтік сақиналардың мысалдары: стандартты қосу және көбейтуімен бүтін сандар жиыны, қосу және көбейтуімен көпмүшелер жиыны, аффиндік алгебралық сорттың координаталық сақинасы және сан денесінің бүтін сандар сақинасы. Коммутативті емес сақиналардың мысалдары: n ≥ 2 болғанда n × n нақты квадраттық матрицалардың сақинасы, өкілдік теориясындағы топтық сақиналар, функционалдық талдаудағы операторлық алгебралар, дифференциалдық операторлардың сақиналары және топологиядағы когомологиялық сақиналар. Сақиналардың тұжырымдалуы 1870-1920 жылдар аралығында жүрді, онда Дедекинд, Гильберт, Френкель және Нотердің маңызды үлестері болды. Сақиналар алғаш рет сандар теориясында кездесетін Дедекинд домендерінің, сондай-ақ алгебралық геометрияда және инварианттар теориясында кездесетін көпмүшелік сақиналар мен инварианттар сақиналарының жалпыламасы ретінде формалдануына ие болды. Кейіннен олар геометрия және анализ сияқты математиканың басқа салаларында да пайдалы болды.
Анықтамадағы өзгерістер
Осы мақаланың терминологиясында сақина көбейтуші бірлікке ие деп анықталады, ал дәл сол аксиоматикалық анықтамаға ие, бірақ көбейтуші бірлік талабы жоқ құрылым «rng» (IPA: /r//ʊ//ŋ/) деп аталады, яғни әрпі «i» жоқ. Мысалы, әдеттегі қосу және көбейту операцияларымен жұп сандар жиыны – rng, бірақ сақина емес. Төменде түсіндірілгендей, көптеген авторлар «сақина» терминін көбейтуші бірлік талабынсыз қолданады. Сақинадағы қосу амалы коммутативті болғанымен, көбейту амалының коммутативті болуы міндетті емес: ab міндетті түрде ba-ға тең болуы керек емес. Көбейту амалы бойынша да коммутативтілік шартын қанағаттандыратын сақиналар (мысалы, бүтін сандар сақинасы) коммутативті сақиналар деп аталады. Коммутативтік алгебра немесе алгебралық геометрия саласындағы кітаптар терминологияны жеңілдету үшін «сақина» термині коммутативті сақинаны білдіреді деген конвенцияны жиі қабылдайды. Сақинада көбейтуге кері элементтің болуы міндетті емес. Кез келген нөлдік емес элементі көбейтуге кері элементке ие нөлдік емес коммутативті сақина – өріс деп аталады. Сақинаның қосымша тобы – тек қосу операциясымен жабдықталған негізгі жиын. Анықтама қосымша топтың абельдік болуын талап етеді, бірақ оны басқа сақина аксиомаларынан шығаруға болады. Дәлелдеме «1»-ді пайдаланады және rng үшін жұмыс істемейді. (Rng үшін қосудың коммутативтілік аксиомасын жою, оны қалған rng болжамдарынан тек көбейтінді элементтері үшін ғана шығаруға мүмкіндік береді: 1=ab + cd = cd + ab.) Кейбір авторлар «сақина» терминін көбейтудің ассоциативті болуын талап етпейтін құрылымдарды атау үшін қолданады. Ондай авторлар үшін кез келген алгебра – «сақина».
Дедекинд
Сақиналарды зерттеу полиномиялық сақиналар теориясы мен алгебралық бүтін сандар теориясынан бастау алды. 1871 жылы Ричард Дедекинд сандар өрісінің бүтін сандар сақинасы түсінігін анықтады. Осы контексте ол "идеал" (Эрнст Кумердің идеалды сан түсінігінен шабыдаланған) және "модуль" терминдерін енгізіп, олардың қасиеттерін зерттеді. Дедекинд "сақина" терминін қолданбады және сақина ұғымын жалпы жағдайда анықтамады.
Гилберт
"Zahlring" (санық сақинасы) термині 1892 жылы Дэвид Гилбертпен қолданылып, 1897 жылы жарияланды. 19 ғасырдағы неміс тілінде "сақина" сөзі "бірлестік" мағынасын білдіруі мүмкін, бұл сөз ағылшын тілінде де кейде шектеулі мағынада қолданылады (мысалы, тыңшылар тобы), сондықтан бұл этимология болса, онда "топ" сөзі математикаға "байланысты нәрселердің жиынтығы" деген техникалық емес мағынада енгенімен ұқсас болар еді. Харви Конның сөзінше, Гилберт бұл терминді өзінің бір элементіне (эквиваленттілік мағынасында) "тікелей оралып келу" қасиетіне ие сақина үшін пайдаланған. Атап айтқанда, алгебралық бүтін сандар сақинасында алгебралық бүтін санның жоғары дәрежелерінің барлығын төменгі дәрежелердің белгілі бір жиынтығының бүтін сандық комбинациясы түрінде жазуға болады, осылайша дәрежелер "қайта оралады". Мысалы, егер :
және т.б.; жалпы алғанда, 1, a және .
Френкель мен Нотер
Сақинаның алғашқы аксиоматикалық анықтамасын 1915 жылы Адольф Френкель берді, бірақ оның аксиомалары қазіргі заманауи анықтамадағыдан қатаңрақ болды. Мысалы, ол нөлдік емес әр бөлгіштің көбейтуге кері шамасы болуын талап етті. 1921 жылы Эмми Нотер коммутативті сақиналардың (1-мен және 1-сіз) қазіргі аксиоматикалық анықтамасын берді және өзінің "Сақиналық аймақтардағы идеалдар теориясы" атты мақаласында коммутативті сақиналар теориясының негізін қалады.
Коммутативтік сақиналар
Үлгілік мысал – қосу және көбейтудің екі операциясы бар бүтін сандар сақинасы. Рационалдық, нақты және кешенді сандар – өрістер деп аталатын түрдің коммутативті сақиналары болып табылады. Коммутативті R сақинасы үстіндегі униталды ассоциативтік алгебра өзі сақина болып табылады, сонымен қатар R модулі де болып табылады. Кейбір мысалдар: R-дегі коэффициенттері бар R[X] полиномдар алгебрасы. R-дегі коэффициенттері бар формальды қуат қатарларының алгебрасы. Нақты сызықта анықталған барлық үздіксіз нақты мәнді функциялар жиыны коммутативті \R алгебрасын құрайды. Операциялар – функциялардың нүктелік қосуы және көбейтуі. X жиыны болсын, ал R – сақина. Онда X-тен R-ге дейінгі барлық функциялар жиыны сақина құрайды, егер R коммутативті болса, онда ол да коммутативті болады. Квадраттық бүтін сандар сақинасы, \Q-ның квадраттық кеңейтуіндегі \Z-дің интегралды жабылуы. Ол барлық алгебралық бүтін сандар сақинасының ішкі сақинасы болып табылады. Профинитті бүтін сандар сақинасы \widehat\Z, барлық жай сандар p бойынша p-адық бүтін сандар сақиналарының \Z_p (шексіз) көбейтіндісі. Хеке сақинасы, Хеке операторларымен туындаған сақина. Егер S жиын болса, онда S-тің қуат жиыны сақинаға айналады, егер қосуды жиындардың симметриялық айырмасы деп, ал көбейтуді жиындардың қиылысы деп анықтасақ. Бұл – Буль сақинасының мысалы.
The algebra R[X] of polynomials with coefficients in R.
The algebra of formal power series with coefficients in R.
The set of all continuous real valued functions defined on the real line forms a commutative \R algebra. The operations are pointwise addition and multiplication of functions. Let X be a set, and let R be a ring. Then the set of all functions from X to R forms a ring, which is commutative if R is commutative. The ring of quadratic integers, the integral closure of \Z in a quadratic extension of \Q. It is a subring of the ring of all algebraic integers. The ring of profinite integers \widehat\Z, the (infinite) product of the rings of p adic integers \Z p over all prime numbers p.
The Hecke ring, the ring generated by Hecke operators. If S is a set, then the power set of S becomes a ring if we define addition to be the symmetric difference of sets and multiplication to be intersection. This is an example of a Boolean ring.
Коммутативті емес сақиналар
Кез келген R сақинасы және кез келген n табиғи саны үшін, R элементтерінен құралған n × n квадраттық матрицалар жиыны, матрицаларды қосу және матрицаларды көбейту операциялары арқылы сақина құрайды. Егер n = 1 болса, бұл матрицалық сақина R-дің өзіне изоморфты. Егер n > 1 болса (және R нөлдік сақина болмаса), бұл матрицалық сақина коммутативті емес. Егер G абельдік топ болса, онда G эндоморфизмдері сақина құрайды, яғни G эндоморфизмдерінің сақинасы End(G). Бұл сақинадағы операциялар – эндоморфизмдерді қосу және оларды құрастыру. Көбірек айтқанда, егер V, R сақинасының үстіндегі сол модуль болса, онда барлық R-сызықтық түрлендірулер жиыны сақина құрайды, бұл эндоморфизмдер сақинасы деп аталады. Эллиптік қисықтың эндоморфизмдер сақинасы да осылай аталады. Егер эллиптік қисық нөлдік сипаттағы өріс үстінде анықталған болса, онда ол коммутативті сақина болады. Егер G – топ, ал R – сақина болса, онда R үстіндегі G тобының сақинасы, G-ні негіз ретінде алатын R үстіндегі бос модуль болып табылады. Көбейту, G элементтерінің R элементтерімен ауысуы және G тобындағыдай бірге көбейтілуі арқылы анықталады. Дифференциалдық операторлар сақинасы (контекстке байланысты). Шындығында, талдауда кездесетін көптеген сақиналар коммутативті емес. Мысалы, көптеген Банах алгебралары коммутативті емес.
The ring of differential operators (depending on the context). In fact, many rings that appear in analysis are noncommutative. For example, most Banach algebras are noncommutative.
Сақиналар емес
Әдеттегі амалдармен \N табиғи сандар жиыны сақина емес, себебі (\N, +) тіпті топ та емес (барлық элементтердің қосуға қатысты керісі жоқ – мысалы, 3-ке қандай табиғи сан қоссаңыз да 0 шығара алмайсыз). Оны сақинаға дейін кеңейтудің табиғи жолы бар, ол \Z бүтін сандар сақинасын жасау үшін теріс сандарды қосу арқылы жүзеге асырылады. Табиғи сандар (0-ді қоса алғанда) жартылай сақина деп аталатын алгебралық құрылымды құрайды (ол сақинаның барлық аксиомаларын қанағаттандырады, бірақ қосуға қатысты керісіншесіз). R нақты түзудегі барлық үздіксіз функциялар жиыны болсын, олар функцияға тәуелді шектелген интервалдан тысқары нөлге тең болады, қосу әдеттегідей, ал көбейту конволюция ретінде анықталады: Содан кейін R – рнг, бірақ сақина емес: Дирак дельта функциясы көбейтуге қатысты бейтарап элементтің қасиетіне ие, бірақ ол функция емес, демек R жиынының мүшесі емес.
Өнімдер мен қуаттар
Әрбір теріс емес бүтін сан n үшін, R-дің n элементтерінен тұратын тізбек берілгенде, көбейтіндіні рекурсивті түрде анықтауға болады: P0 = 1 және 1 ≤ m ≤ n үшін Pm = Pm−1 * am.
Арнайы жағдай ретінде, сақинаның a элементінің теріс емес бүтін дәрежелерін анықтауға болады: a0 = 1 және n ≥ 1 үшін an = a * an−1. Содан кейін, барлық m, n ≥ 0 үшін a^(m+n) = a^(m) * a^(n).
Сақинадағы элементтер
R сақинасының сол жақтан нөлге бөлінетін елемі – сақинадағы a елемі, онда R-дың нөлдік емес b елемі бар, осындай 1=ab = 0. Оң жақтан нөлге бөлінетін элемент де осылай анықталады. Нильпотент элемент – a елемі, осындай кейбір n > 0 үшін aⁿ = 0. Нильпотент элементтің бір мысалы – нильпотент матрица. Нөлдік емес сақинадағы нильпотент элемент міндетті түрде нөлге бөлінетін элемент болады. Идемпотент – a елемі, онда a² = a. Мысалы, сызықтық алгебрадағы проекция – идемпотент элемент. Бірлік – көбейтуге керісі бар элемент; бұл жағдайда керісі бірегей және оны a⁻¹ деп белгілейді. Сақинаның бірліктерінің жиынтығы сақина көбейтуі бойынша топ құрайды; бұл топ R* немесе U(R арқылы белгіленеді. Мысалы, егер R – өрістегі n өлшемді барлық квадрат матрицалардың сақинасы болса, онда ол n өлшемді барлық кері матрицалар жиынтығынан тұрады және оны жалпы сызықтық топ деп атайды.
Идеалдық
R – сақина болсын. R-дың сол жақ идеалы – R-дың бос емес I ішкі жиыны, мұнда кез келген x, y ∈ I және r ∈ R үшін x + y және rx элементтері I-ге жатады. Егер RI – I-дің R бойынша құрылған жиыны, яғни шекті қосындылардың жиыны болса, онда I – RI ⊆ I шарты орындалғанда сол жақ идеал болып табылады. Сол сияқты, оң идеал – IR ⊆ I шарты орындалатын I ішкі жиыны. I ішкі жиыны сол және оң идеал болса, ол екі жақты идеал немесе жай ғана идеал деп аталады. Бір жақты немесе екі жақты идеал – R-дың қосымша ішкі тобы болып табылады. Егер E – R-дың ішкі жиыны болса, онда RE – E-ден туындаған сол жақ идеал болып табылады; ол E-ні қамтитын ең кіші сол жақ идеал. Сол сияқты, R-дың ішкі жиынынан туындаған оң жақ идеалды немесе екі жақты идеалды қарастыруға болады. Егер x ∈ R болса, онда Rx және xR сәйкесінше сол жақ және оң жақ идеалдар болып табылады; олар x-тен туындаған негізгі сол жақ және оң жақ идеалдар деп аталады. RxR негізгі идеалы (x) деп жазылады. Мысалы, 2-нің барлық оң және теріс еселіктерінің жиыны 0-мен бірге бүтін сандардың идеалын құрайды, және бұл идеал 2 бүтін санымен туындайды. Шындығында, бүтін сандар сақинасының кез келген идеалы негізгі болып табылады. Топ сияқты, сақина нөлден өзгеше болса және нөлден өзгеше екі жақты идеалдары болмаса, ол қарапайым деп аталады. Коммутативті қарапайым сақина – дәл өріс. Сақиналарды зерттеуде идеалдарына қатысты арнайы шарттар жиі қойылады. Мысалы, сол жақ идеалдардың қатаң өсу тізбегі жоқ сақина сол жақ Нотер сақинасы деп аталады. Сол жақ идеалдардың қатаң кему тізбегі жоқ сақина сол жақ Артиниян сақинасы деп аталады. Сол Артиниян сақинасы сол Нотер сақинасы болады деген факті біршама таң қалдырады (Хопкинс-Левитски теоремасы). Дегенмен, бүтін сандар Артиниян емес Нотер сақинасын құрайды. Коммутативті сақиналар үшін идеалдар алгебрадағы бүтін санды жай сандарға бөлу және ыдырату туралы классикалық түсінікті жалпылайды. Егер R-дың P идеалы кез келген I, J элементтері үшін IJ ⊆ P болса, онда P – жай идеал деп аталады. Балама түрінде, P жай идеал болады, егер кез келген I, J идеалдары үшін IJ ⊆ P болса, онда I ⊆ P немесе J ⊆ P орындалады. Соңғы тұжырым идеалдарды элементтердің жалпылама түрі ретінде көрсетеді.
then I is a left ideal if RI ⊆ I. Similarly, a right ideal is a subset I such that IR ⊆ I. A subset I is said to be a two sided ideal or simply ideal if it is both a left ideal and right ideal. A one sided or two sided ideal is then an additive subgroup of R. If E is a subset of R, then RE is a left ideal, called the left ideal generated by E; it is the smallest left ideal containing E. Similarly, one can consider the right ideal or the two sided ideal generated by a subset of R.
If x is in R, then Rx and xR are left ideals and right ideals, respectively; they are called the principal left ideals and right ideals generated by x. The principal ideal RxR is written as (x). For example, the set of all positive and negative multiples of 2 along with 0 form an ideal of the integers, and this ideal is generated by the integer 2. In fact, every ideal of the ring of integers is principal. Like a group, a ring is said to be simple if it is nonzero and it has no proper nonzero two sided ideals. A commutative simple ring is precisely a field. Rings are often studied with special conditions set upon their ideals. For example, a ring in which there is no strictly increasing infinite chain of left ideals is called a left Noetherian ring. A ring in which there is no strictly decreasing infinite chain of left ideals is called a left Artinian ring. It is a somewhat surprising fact that a left Artinian ring is left Noetherian (the Hopkins–Levitzki theorem). The integers, however, form a Noetherian ring which is not Artinian. For commutative rings, the ideals generalize the classical notion of divisibility and decomposition of an integer into prime numbers in algebra. A proper ideal P of R is called a prime ideal if for any elements we have that implies either or Equivalently, P is prime if for any ideals I, J we have that IJ ⊆ P implies either I ⊆ P or J ⊆ P. This latter formulation illustrates the idea of ideals as generalizations of elements.
Модуль
Модульдің сақина үстіндегі түсінігі, векторлық кеңістік (дала үстіндегі) түсінігін, дала элементтерімен векторларды көбейтуден (скалярлық көбейту) сақина элементтерімен көбейтуге жалпылау арқылы кеңейтеді. Нақтырақ айтқанда, R сақинасы берілгенде, R модуль M – белгілі бір аксиомаларды қанағаттандыратын R × M → M операциясымен жабдықталған абелдік топ (R элементі мен M элементінің әрбір жұбына M элементін сәйкес қояды). Бұл операция көбінесе жапсарлы түрде белгіленеді және көбейту деп аталады. Модульдердің аксиомалары келесідей: R-дегі барлық a, b және M-дегі барлық x, y үшін, M – қосу бойынша абелдік топ. Егер сақина коммутативті емес болса, бұл аксиомалар сол модульдерді анықтайды; оң модульдер ax орнына xa жазу арқылы ұқсас анықталады. Бұл тек нотацияның өзгеруі ғана емес, себебі оң модульдердің соңғы аксиомасы (яғни 1 = x(ab) = (xa)b) сол жақтан көбейту (сақина элементтерімен) оң модуль үшін қолданылса, 1 = (ab)x = b(ax) болады. Модульдердің негізгі мысалдары – идеалдар, оның ішінде сақинаның өзі. Модульдер теориясы векторлық кеңістік теориясынан әлдеқайда күрделі, себебі модульдер векторлық кеңістіктер сияқты бір инвариантпен (векторлық кеңістіктің өлшемі) сипатталмайды. Атап айтқанда, барлық модульдердің базасы жоқ. Модульдердің аксиомалары 1 = (-1)x = -x екенін білдіреді, мұнда бірінші минус сақинадағы қосымша кері, ал екінші минус модульдегі қосымша кері. Бұл және қайталанған қосуды оң бүтін санмен көбейту арқылы белгілеу бүтін сандар сақинасы бойынша модульдермен абелдік топтарды сәйкестендіруге мүмкіндік береді. Кез келген сақина гомоморфизмі модуль құрылымын тудырады: егер f : R → S сақина гомоморфизмі болса, онда S, R-дің сол модулі болады: rs = f(r)s. Егер R коммутативті болса немесе f(R) S-тің ортасында жатса, сақина S R алгебрасы деп аталады. Атап айтқанда, әрбір сақина бүтін сандар бойынша алгебра болып табылады.
M is an abelian group under addition. When the ring is noncommutative these axioms define left modules; right modules are defined similarly by writing xa instead of ax. This is not only a change of notation, as the last axiom of right modules (that is 1=x(ab) = (xa)b) becomes 1=(ab)x = b(ax), if left multiplication (by ring elements) is used for a right module. Basic examples of modules are ideals, including the ring itself. Although similarly defined, the theory of modules is much more complicated than that of vector space, mainly, because, unlike vector spaces, modules are not characterized (up to an isomorphism) by a single invariant (the dimension of a vector space). In particular, not all modules have a basis. The axioms of modules imply that 1=(−1)x = −x, where the first minus denotes the additive inverse in the ring and the second minus the additive inverse in the module. Using this and denoting repeated addition by a multiplication by a positive integer allows identifying abelian groups with modules over the ring of integers. Any ring homomorphism induces a structure of a module: if f : R → S is a ring homomorphism, then S is a left module over R by the multiplication: 1=rs = f(r)s. If R is commutative or if f(R) is contained in the center of S, the ring S is called a R algebra. In particular, every ring is an algebra over the integers.
Тікелей өнім
R және S сақиналар болсын. Содан кейін R × S көбейтіндісі келесі табиғи сақина құрылымымен жабдықталуы мүмкін: кез келген үшін R-де және үшін S-де. Жоғарыда аталған қосу және көбейту операциялары мен (1, 1) көбейту бірлігі бар R × S сақинасы R-дің S-пен тікелей көбейтіндісі деп аталады. Дәл осындай құрылым кез келген сақиналар отбасы үшін де жұмыс істейді: егер I жиынымен индекстелген сақиналар болса, онда компоненттік қосу және көбейту бар сақина болады. R коммутативті сақина болсын және i ≠ j болғанда идеалдар болсын. Одан кейін қытайлық қалдық теоремасы канондық сақиналық изоморфизмнің бар екенін айтады:
for all in R and in S. The ring R × S with the above operations of addition and multiplication and the multiplicative identity (1, 1) is called the direct product of R with S. The same construction also works for an arbitrary family of rings: if are rings indexed by a set I, then is a ring with componentwise addition and multiplication. Let R be a commutative ring and be ideals such that whenever i ≠ j. Then the Chinese remainder theorem says there is a canonical ring isomorphism:
A "finite" direct product may also be viewed as a direct sum of ideals. Namely, let be rings, the inclusions with the images (in particular are rings though not subrings). Then are ideals of R and
as a direct sum of abelian groups (because for abelian groups finite products are the same as direct sums). Clearly the direct sum of such ideals also defines a product of rings that is isomorphic to R. Equivalently, the above can be done through central idempotents. Assume that R has the above decomposition. Then we can write
By the conditions on one has that are central idempotents and , i ≠ j (orthogonal). Again, one can reverse the construction. Namely, if one is given a partition of 1 in orthogonal central idempotents, then let which are two sided ideals. If each is not a sum of orthogonal central idempotents, then their direct sum is isomorphic to R.
An important application of an infinite direct product is the construction of a projective limit of rings (see below). Another application is a restricted product of a family of rings (cf. adele ring).
«Шектеулі» тікелей көбейтіндіні идеалдардың тікелей қосындысы ретінде де қарастыруға болады. Атап айтқанда, суреттерімен бірге кіріктірулер болсын (әсіресе сақиналар, бірақ қосалқы сақиналар емес). Содан кейін R идеалдары және абельдік топтардың тікелей қосындысы ретінде (өйткені абельдік топтар үшін шекті көбейтінділер тікелей қосындылармен бірдей). Мұндай идеалдардың тікелей қосындысы R-ге изоморфты сақиналар көбейтіндісін де анықтайды. R жоғарыда көрсетілген жіктелуге ие деп есептейік. Содан кейін біз орталық идемпотенттерді және i ≠ j (ортогоналды) жағдайын жаза аламыз. Тағы да, құрылымды кері қайтаруға болады. Яғни, егер 1-дің ортогоналды орталық идемпотенттерге жіктелуі берілген болса, онда екі жақты идеалдар болсын. Егер әрқайсысы ортогоналды орталық идемпотенттердің қосындысы болмаса, онда олардың тікелей қосындысы R-ге изоморфты болады.
for all in R and in S. The ring R × S with the above operations of addition and multiplication and the multiplicative identity (1, 1) is called the direct product of R with S. The same construction also works for an arbitrary family of rings: if are rings indexed by a set I, then is a ring with componentwise addition and multiplication. Let R be a commutative ring and be ideals such that whenever i ≠ j. Then the Chinese remainder theorem says there is a canonical ring isomorphism:
A "finite" direct product may also be viewed as a direct sum of ideals. Namely, let be rings, the inclusions with the images (in particular are rings though not subrings). Then are ideals of R and
as a direct sum of abelian groups (because for abelian groups finite products are the same as direct sums). Clearly the direct sum of such ideals also defines a product of rings that is isomorphic to R. Equivalently, the above can be done through central idempotents. Assume that R has the above decomposition. Then we can write
By the conditions on one has that are central idempotents and , i ≠ j (orthogonal). Again, one can reverse the construction. Namely, if one is given a partition of 1 in orthogonal central idempotents, then let which are two sided ideals. If each is not a sum of orthogonal central idempotents, then their direct sum is isomorphic to R.
An important application of an infinite direct product is the construction of a projective limit of rings (see below). Another application is a restricted product of a family of rings (cf. adele ring).
Шексіз тікелей көбейтіндінің маңызды қолданылуы – сақиналардың проективтік лимитін құру (төменде қараңыз). Тағы бір қолданылуы – сақиналар отбасының шектеулі көбейтіндісі (қ. Адель сақинасы).
for all in R and in S. The ring R × S with the above operations of addition and multiplication and the multiplicative identity (1, 1) is called the direct product of R with S. The same construction also works for an arbitrary family of rings: if are rings indexed by a set I, then is a ring with componentwise addition and multiplication. Let R be a commutative ring and be ideals such that whenever i ≠ j. Then the Chinese remainder theorem says there is a canonical ring isomorphism:
A "finite" direct product may also be viewed as a direct sum of ideals. Namely, let be rings, the inclusions with the images (in particular are rings though not subrings). Then are ideals of R and
as a direct sum of abelian groups (because for abelian groups finite products are the same as direct sums). Clearly the direct sum of such ideals also defines a product of rings that is isomorphic to R. Equivalently, the above can be done through central idempotents. Assume that R has the above decomposition. Then we can write
By the conditions on one has that are central idempotents and , i ≠ j (orthogonal). Again, one can reverse the construction. Namely, if one is given a partition of 1 in orthogonal central idempotents, then let which are two sided ideals. If each is not a sum of orthogonal central idempotents, then their direct sum is isomorphic to R.
An important application of an infinite direct product is the construction of a projective limit of rings (see below). Another application is a restricted product of a family of rings (cf. adele ring).
Генераторлары мен байланыстары бар сақиналар
Сақинаны құрудың ең жалпы жолы генераторлар мен қатынастарды анықтау. F символдары X жиынтығымен еркін сақина (яғни бүтін сандар бойынша еркін алгебра) болсын, яғни F X элементтері болып табылатын коммутацияланбайтын айнымалыларда интегралды коэффициенттері бар көпмүшелерден тұрады. Еркін сақина әмбебап қасиетті қанағаттандырады: X жиынынан сақинаға кез келген функция R арқылы F → R бірегей сақина гомоморфизмі арқылы өтеді. Топтық жағдайдағыдай, кез келген сақинаны еркін сақинаның бөліндісі ретінде көрсетуге болады. Енді, X символының арасындағы қатынастарды бөліндіні алу арқылы белгілей аламыз. Атап айтқанда, егер E, F-тің ішкі жиыны болса, онда E-ден туындаған идеал бойынша F-тің бөлінді сақинасы X генераторлары және E қатынастары бар сақина деп аталады. Егер біз \Z орнына, мысалы, A сақинасын негіз сақинасы ретінде қолдансақ, онда алынған сақина A-ға байланысты болады. Мысалы, егер онда алынған сақина X элементтері болып табылатын айнымалыларда A коэффициенттері бар стандартты полиномиалдық сақина болады (Бұл A бойынша X символы бар симметриялық алгебрамен бірдей). Категориялық теория тұрғысынан қарағанда, жасалу – сақиналар санатынан жиынға (Set) ұмытылатын функтордың сол жақ қосымша функторы болып табылады (және көбінесе еркін сақина функторы деп аталады). А және В сақиналары коммутативті сақина R бойынша алгебралар болсын. Содан кейін R модульдерінің тензорлық көбейтіндісі R алгебрасы болып табылады, оның көбейтуі мына арқылы сипатталады:
Бөлу сақинасы
Бөліну сақинасы — нөлдік емес әрбір элементі бірлік болатын сақина. Коммутативті бөліну сақинасы — өріс. Өріс емес бөліну сақинасының маңызды мысалы — кватерниондар сақинасы. Бөліну сақинасындағы кез келген орталықтандырғыш та бөліну сақинасы болып табылады. Атап айтқанда, бөліну сақинасының орталығы — өріс. Кез келген шекті домен (әсіресе, шекті бөліну сақинасы) — өріс болып табылады; әсіресе, коммутативті (Веддербернның кішкентай теоремасы). Бөліну сақинасы үстіндегі әрбір модуль — еркін модуль (негізі бар); соған сәйкес, сызықтық алгебраның көп бөлігі өріс орнына бөліну сақинасы үстінде жүргізілуі мүмкін. Конъюгация кластарын зерттеу классикалық бөліну сақиналары теориясында маңызды орын алады; мысалы, Картан-Брауэр-Хуа теоремасын қараңыз. Л. Э. Диксон енгізген циклдік алгебра — кватерниондық алгебраның обобщениесі.
Жартылай қарапайым сақиналар
Жартылай қарапайым модуль – қарапайым модульдердің тікелей қосындысы. Жартылай қарапайым сақина – өзінің үстінен сол (немесе оң) модуль ретінде жартылай қарапайым сақина.
Мысалдар
Бөліну сақинасы жартылай қарапайым (және қарапайым). Кез келген бөліну сақинасы D және оң бүтін сан n үшін матрица сақинасы жартылай қарапайым (және қарапайым). Егер өріс k-нің сипаттамасы G тобының ретін бөлмесе, онда kG тобының сақинасы жартылай қарапайым болады (Маске теоремасы). Клиффорд алгебралары жартылай қарапайым. Өріс үстіндегі Вейль алгебрасы қарапайым сақина, бірақ ол жартылай қарапайым емес. Көптеген айнымалылардағы дифференциалды операторлар сақинасы үшін де осы айтылады.
Орталық қарапайым алгебра және Брауер тобы
k өрісі үшін, k алгебрасы орталық деп аталады, егер оның орталығы k болса, ал қарапайым алгебра – қарапайым сақина болса. Қарапайым k алгебраның орталығы өріс болғандықтан, кез келген қарапайым k алгебрасы оның ортасындағы орталық қарапайым алгебра болып табылады. Бұл бөлімде орталық қарапайым алгебраның шекті өлшемділігі бар деп ескереміз. Сондай-ақ, біз көбінесе базалық өрісті бекітеміз, сондықтан алгебра k алгебрасын білдіреді. R сақинасы үстінен n өлшемді матрицалық сақинасы деп белгіленеді.
The Skolem–Noether theorem states any automorphism of a central simple algebra is inner. Two central simple algebras A and B are said to be similar if there are integers n and m such that Since the similarity is an equivalence relation. The similarity classes [A] with the multiplication form an abelian group called the Brauer group of k and is denoted by Br(k). By the Artin–Wedderburn theorem, a central simple algebra is the matrix ring of a division ring; thus, each similarity class is represented by a unique division ring. For example, Br(k) is trivial if k is a finite field or an algebraically closed field (more generally quasi algebraically closed field; cf. Tsen's theorem). has order 2 (a special case of the theorem of Frobenius). Finally, if k is a nonarchimedean local field (for example, then through the invariant map. Now, if F is a field extension of k, then the base extension induces Br(k) → Br(F). Its kernel is denoted by Br(F / k). It consists of [A] such that is a matrix ring over F (that is, A is split by F.) If the extension is finite and Galois, then Br(F / k) is canonically isomorphic to
Azumaya algebras generalize the notion of central simple algebras to a commutative local ring.
Сколем-Нотер теоремасы бойынша, орталық қарапайым алгебраның кез келген автоморфизмі ішкі болады. Екі орталық қарапайым алгебра A және B ұқсас деп аталады, егер мұндай бүтін сандар n және m болса. Ұқсастық эквиваленттік қатынас болып табылады, себебі. Ұқсастық кластары [A], көбейту арқылы абельдік топты құрайды, ол k-нің Брауэр тобы деп аталады және Br(k) арқылы белгіленеді. Артин-Уеддерберн теоремасы бойынша, орталық қарапайым алгебра – бөліну сақинасының матрицалық сақинасы; демек, әр ұқсастық класы бірегей бөліну сақинасымен өкілдік етіледі. Мысалы, егер k шекті өріс немесе алгебралық жабық өріс болса (жалпырақтап, квазиалгебралық жабық өріс; Сэн теоремасына қараңыз), Br(k) тривиальды болады. 2-ші реттік (Фробен теоремасының ерекше жағдайы). Соңында, егер k архимедтік емес жергілікті өріс болса (мысалы, инвариантты карта арқылы. Егер F, k өрісінің кеңейтілмесі болса, онда базалық кеңейтім Br(k) → Br(F) туындайды. Оның ядросы Br(F/k) деп белгіленеді. Ол [A] кластарын құрайды, мұнда A, F үстінен матрицалық сақина болып табылады (яғни, A, F-пен бөлінеді). Егер кеңейтім шекті және Галуа болса, онда Br(F/k) каноникалық түрде изоморфты.
The Skolem–Noether theorem states any automorphism of a central simple algebra is inner. Two central simple algebras A and B are said to be similar if there are integers n and m such that Since the similarity is an equivalence relation. The similarity classes [A] with the multiplication form an abelian group called the Brauer group of k and is denoted by Br(k). By the Artin–Wedderburn theorem, a central simple algebra is the matrix ring of a division ring; thus, each similarity class is represented by a unique division ring. For example, Br(k) is trivial if k is a finite field or an algebraically closed field (more generally quasi algebraically closed field; cf. Tsen's theorem). has order 2 (a special case of the theorem of Frobenius). Finally, if k is a nonarchimedean local field (for example, then through the invariant map. Now, if F is a field extension of k, then the base extension induces Br(k) → Br(F). Its kernel is denoted by Br(F / k). It consists of [A] such that is a matrix ring over F (that is, A is split by F.) If the extension is finite and Galois, then Br(F / k) is canonically isomorphic to
Azumaya algebras generalize the notion of central simple algebras to a commutative local ring.
Азумая алгебралары коммутативті жергілікті сақинаға орталық қарапайым алгебралардың ұғымын кеңейтеді.
The Skolem–Noether theorem states any automorphism of a central simple algebra is inner. Two central simple algebras A and B are said to be similar if there are integers n and m such that Since the similarity is an equivalence relation. The similarity classes [A] with the multiplication form an abelian group called the Brauer group of k and is denoted by Br(k). By the Artin–Wedderburn theorem, a central simple algebra is the matrix ring of a division ring; thus, each similarity class is represented by a unique division ring. For example, Br(k) is trivial if k is a finite field or an algebraically closed field (more generally quasi algebraically closed field; cf. Tsen's theorem). has order 2 (a special case of the theorem of Frobenius). Finally, if k is a nonarchimedean local field (for example, then through the invariant map. Now, if F is a field extension of k, then the base extension induces Br(k) → Br(F). Its kernel is denoted by Br(F / k). It consists of [A] such that is a matrix ring over F (that is, A is split by F.) If the extension is finite and Galois, then Br(F / k) is canonically isomorphic to
Azumaya algebras generalize the notion of central simple algebras to a commutative local ring.
Сақиналардың кең таралуының кейбір мысалдары
Көптеген түрлі математикалық объектілерді тиімді талдау үшін, олармен байланысты сақинаны пайдалануға болады.
Топтың жанған шаңырағы
Кез келген топқа оның Бернсайд сақинасы байланысты, ол топтың шекті жиынға әртүрлі әрекет етуін сипаттау үшін сақинаны пайдаланады. Бернсайд сақинасының аддитивті тобы – бұл еркін абелдік топ, оның негізі – топтың транзитивті әрекеттерінің жиыны, ал қосуы – әрекеттердің ажыратылған біріктірілісі. Әрекетті негіз арқылы өрнектеу – бұл әрекетті оның транзитивті құрамдас бөліктеріне жіктеу. Көбейтуді өкілдік сақинасы арқылы оңай көрсетуге болады: Бернсайд сақинасындағы көбейту екі пермутациялық модульдің тензорлық көбейтіндісін пермутациялық модуль ретінде жазу арқылы құралады. Сақиналық құрылым бір әрекетті екіншісінен формалды түрде шығаруға мүмкіндік береді. Бернсайд сақинасы өкілдік сақинасының шекті индекске ие кіші сақинасы ретінде кіріктірілгендіктен, коэффициенттерді бүтін сандардан рационалдық сандарға кеңейту арқылы бір сақинадан екіншісіне оңай көшуге болады.
Топтық сақинаның бейнелеу сақинасы
Кез келген топтық сақинаға немесе Хопф алгебрасына оның өкілдік сақинасы немесе "жасыл сақина" байланысты. Өкілдік сақинаның аддитивті тобы – еркін абелдік топ, оның негізін бөлшектенбейтін модульдер құрайды, ал қосу тікелей қосындыға сәйкес келеді. Модульді негіз элементтері арқылы өрнектеу – модульдің бөлшектенбейтін құраушыларын табумен бірдей. Көбейту – тензорлық көбейту. Егер алгебра жартылай қарапайым болса, өкілдік сақинасы символдар теориясынан белгілер сақинасымен бірдей болады, яғни сақиналық құрылыммен берілген Гротендиктің тобы.
Кемелденбейтін алгебралық түрлiк функция өрісі
Кез келген түйінделмейтін алгебралық сан алуандығына оның функциялық дененің байланысты екені белгілі. Алгебралық сан алуандығының нүктелері функциялық дененің ішінде орналасқан және координаталық сақинаны қамтитын бағалау сақиналарына сәйкес келеді. Алгебралық геометрияны зерттеу, геометриялық түсініктерді сақиналық-теориялық қасиеттер арқылы зерттеу үшін коммутативтік алгебраны кеңінен пайдаланады. Бирационалды геометрия функциялық дененің ішкі сақиналары арасындағы бейнелеулерді зерттейді.
Смильцициалдық кешеннің бет сақинасы
Әрбір симплициалдық кешеннің байланысты бет сақинасы болады, оны Стэнли-Райснер сақинасы деп те атайды. Бұл сақина симплициалдық кешеннің көптеген комбинаторлық қасиеттерін көрсетеді, сондықтан алгебралық комбинаторикада ерекше қызығушылық тудырады. Атап айтқанда, Стэнли-Райснер сақинасының алгебралық геометриясы симплициалдық политоптардың әрбір өлшемдегі жақтарының санын сипаттау үшін қолданылды.
Санаты бойынша теориялық сипаттама
Әр сақинаны Абель топтарының категориясы Ab-дегі моноид ретінде қарастыруға болады (\Z модульдерінің тензорлық көбейтіндісі бойынша моноидтік категория ретінде қарастырылады). Абельдік топқа R сақинасының моноидтық әсері – жай ғана R модулі. R модулі – векторлық кеңістік түсінігінің жалпылануы, онда өрісте векторлық кеңістік орнына «сақина үстіндегі векторлық кеңістік» болады. (A, +) – абельдік топ, ал End(A) – оның эндоморфизм сақинасы (жоғарыда қараңыз). Негізінен, End(A) – A-ның барлық морфизмдерінің жиынтығы, егер f End(A)-да болса және g End(A)-да болса, f + g және f ⋅ g есептеу үшін келесі ережелерді қолдануға болады: мұнда + – f(x) + g(x) қосылысы A-да, ал функция құрамы оңнан солға қарай белгіленеді. Сондықтан, кез келген Абель тобымен байланысты – сақина. Керісінше, кез келген сақина (R, +, ‘⋅’) үшін (R, +) – абельдік топ. Бұдан әрі, R-дегі әр r үшін оңға (немесе солға) көбейту r арқылы оңға (немесе солға) таралу арқылы (R, +) морфизмін тудырады. 1 = A = (R, +) деп белгілейік. A-ның эндоморфизмдерін, R-дің оңға (немесе солға) көбейтуі арқылы «факторланатын» қарастырайық. Яғни, 1 = m(r ⋅ x) = r ⋅ m(x) қасиетіне ие A-ның барлық морфизмдерінің жиынтығы m болсын. R-дегі әр r, A морфизмін тудырады: r-мен оңға көбейту. Шындығында, R-дің кез келген элементінің A морфизміне, R-ден функциясы ретіндегі байланысы – сақиналардың изоморфизмі. Осы мағынада, кез келген сақинаны қандай да бір абельдік X тобының эндоморфизм сақинасы ретінде қарастыруға болады (X тобы арқылы X операторларының жиынтығы болып табылатын топты білдіреді). Сақинаның ең жалпы түрі – кейбір абельдік X тобының эндоморфизм тобы. Кез келген сақинаны бір объектісі бар преаддитивтік категория ретінде қарастыруға болады. Сондықтан, кездейсоқ преаддитивтік категорияларды сақиналардың жалпылануы деп қарастыру табиғи. Шындығында, сақиналар үшін берілген көптеген анықтамалар мен теоремаларды осы жалпы контекстке аударуға болады. Преаддитивтік категориялар арасындағы аддитивтік функторлар сақина гомоморфизмі тұжырымдамасын жалпылайды, ал аддитивтік категориялардағы идеалдар – қосу және кез келген морфизмдермен құрастыру бойынша жабық морфизмдер жиынтығы ретінде анықталуы мүмкін.
where + as in f(x) + g(x) is addition in A, and function composition is denoted from right to left. Therefore, associated to any abelian group, is a ring. Conversely, given any ring, (R, +, '⋅' ), (R, +) is an abelian group. Furthermore, for every r in R, right (or left) multiplication by r gives rise to a morphism of (R, +), by right (or left) distributivity. Let 1=A = (R, +). Consider those endomorphisms of A, that "factor through" right (or left) multiplication of R. In other words, let be the set of all morphisms m of A, having the property that 1=m(r ⋅ x) = r ⋅ m(x). It was seen that every r in R gives rise to a morphism of A: right multiplication by r. It is in fact true that this association of any element of R, to a morphism of A, as a function from R to , is an isomorphism of rings. In this sense, therefore, any ring can be viewed as the endomorphism ring of some abelian X group (by X group, it is meant a group with X being its set of operators). In essence, the most general form of a ring, is the endomorphism group of some abelian X group. Any ring can be seen as a preadditive category with a single object. It is therefore natural to consider arbitrary preadditive categories to be generalizations of rings. And indeed, many definitions and theorems originally given for rings can be translated to this more general context. Additive functors between preadditive categories generalize the concept of ring homomorphism, and ideals in additive categories can be defined as sets of morphisms closed under addition and under composition with arbitrary morphisms.
Жалпылау
Алгебрашылар сақина аксиомаларының кейбірін жеңілдету немесе алып тастау арқылы сақиналардан да жалпырақ құрылымдарды анықтады.
Рн
Rng — сақинамен ұқсас, бірақ көбейту бірлігінің болуы талап етілмейді.
Қауыспалы емес сақина
Ассоциативті емес сақина – көбейтуге қатысты ассоциативтік қасиет және көбейту бірлігінің болуын қоспағанда, барлық сақина аксиомаларын қанағаттандыратын алгебралық құрылым. Ерекше мысал – Ли алгебрасы. Мұндай алгебралар үшін Ли алгебралары мен ассоциативтік алгебраларға қатысты нәтижелерді жалпылайтын құрылымдық теория бар.
Санаттағы сақиналық нысан
С - шекті көбейтінділері бар санат болсын. pt - С санатының терминалды объектісін (бос көбейтінді) белгілейді. С санатындағы сақиналық объект – бұл әдеттегі сақина аксиомаларын қанағаттандыратын морфизмдермен (қосу), (көбейту), (қосымша бірлік), (қосымша кері) және (көбейту бірлігі) жабдықталған R объектісі. Балама ретінде, сақиналық объект – бұл сақиналар санаты арқылы өзінің нүктелер функторының факторлануымен жабдықталған R объектісі:
Сақиналық схема
Алгебралық геометрияда, негізгі схема S үстіндегі сақина схемасы – S схемалары санатындағы сақина объектісі. Мысал ретінде, \operatorname{Spec} \Z схемасы арқылы анықталатын сақина схемасын келтіруге болады, ол кез келген коммутативті сақина A үшін A үстіндегі ұзындығы n болатын p-изотипиялық Витт векторларының сақинасын береді.
Сақиналық спектр
Алгебралық топологияда сақиналық спектр — спектр X, оған көбейту және сфералық спектр S-тен X-ке бірлік картасы S → X берілген, мұнда сақиналық аксиомалардың диаграммалары гомотопияға дейін тепе-тең болады. Көбінесе сақиналық спектрді симметриялық спектрлер сияқты спектрлердің жақсы санатындағы моноид нысаны ретінде анықтау қабылданған.