Введение

Алгебраическая структура со сложением и умножением – алгебраическая структура.

В математике кольца — это алгебраические структуры, которые обобщают поля: умножение не обязано быть коммутативным, а обратные по умножению не обязаны существовать. Неформально, кольцо представляет собой множество, снабжённое двумя бинарными операциями, удовлетворяющими свойствам, аналогичным свойствам сложения и умножения целых чисел. Элементами кольца могут быть числа, такие как целые или комплексные числа, но они также могут быть нечисловыми объектами, такими как многочлены, квадратные матрицы, функции и степенные ряды. Формально, кольцо — это множество, наделённое двумя бинарными операциями, называемыми сложением и умножением, таким образом, что кольцо является абелевой группой относительно операции сложения, а операция умножения ассоциативна, дистрибутивна относительно операции сложения и имеет единичный элемент. (Некоторые авторы определяют кольца без требования наличия единичного элемента и вместо этого называют структуру, определённую выше, кольцом с единицей. См. .) Коммутативность кольца имеет глубокие последствия для его поведения. Коммутативная алгебра, теория коммутативных колец, является крупной ветвью теории колец. На её развитие в значительной степени повлияли проблемы и идеи алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии. Самые простые коммутативные кольца — это те, которые допускают деление на ненулевые элементы; такие кольца называются полями. Примеры коммутативных колец включают множество целых чисел с их стандартным сложением и умножением, множество многочленов с их сложением и умножением, координатное кольцо аффинного алгебраического многообразия и кольцо целых чисел числового поля. Примеры некоммутативных колец включают кольцо n × n вещественных квадратных матриц при n ≥ 2, кольца групп в теории представлений, операторные алгебры в функциональном анализе, кольца дифференциальных операторов и кольца когомологий в топологии. Концептуализация колец охватывала период с 1870-х по 1920-е годы, с ключевыми вкладами Дедекинда, Гильберта, Френкеля и Нетера. Кольца были впервые формализованы как обобщение доменов Дедекинда, встречающихся в теории чисел, и многочленных колец и колец инвариантов, встречающихся в алгебраической геометрии и инвариантной теории. Позже они оказались полезными в других областях математики, таких как геометрия и анализ.

Изменения в определении

В терминологии этой статьи кольцо определяется как имеющее мультипликативную единицу, в то время как структура с тем же аксиоматическим определением, но без требования к мультипликативной единице, вместо этого называется "" (IPA: /r//ʊ//ŋ/) с пропущенной "i". Например, множество четных целых чисел с обычными операциями + и ⋅ является rng, но не кольцом. Как объясняется ниже, многие авторы применяют термин "кольцо" без требования мультипликативной единицы. Хотя сложение в кольце коммутативно, умножение в кольце не обязано быть коммутативным: ab не обязательно должно равняться ba. Кольца, которые также удовлетворяют коммутативности для умножения (например, кольцо целых чисел), называются коммутативными кольцами. Книги по коммутативной алгебре или алгебраической геометрии часто принимают соглашение, что "кольцо" означает коммутативное кольцо, чтобы упростить терминологию. В кольце не требуется существования мультипликативных обратных. Ненулевое коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, называется полем. Аддитивная группа кольца – это базовое множество, снабженное только операцией сложения. Хотя определение требует, чтобы аддитивная группа была абелевой, это следует из других аксиом кольца. Доказательство использует "1" и не работает для rng. (Для rng, исключение аксиомы коммутативности сложения оставляет ее выводимой из оставшихся аксиом rng только для элементов, являющихся произведениями: 1=ab + cd = cd + ab.) Некоторые авторы используют термин "кольцо" для обозначения структур, в которых умножение не обязано быть ассоциативным. Для этих авторов любая алгебра является "кольцом".

Дедекинд

Изучение колец возникло из теории полиномиальных колец и теории алгебраических целых чисел. В 1871 году Рихард Дедекинд определил понятие кольца целых чисел числового поля. В этом контексте он ввел термины "идеал" (вдохновленный понятием идеального числа Эрнста Куммера) и "модуль" и исследовал их свойства. Дедекинд не использовал термин "кольцо" и не давал определения понятия кольца в общем виде.

Гильберт

Термин "Zahlring" (числовое кольцо) был введен Дэвидом Гильбертом в 1892 году и опубликован в 1897 году. В немецком языке XIX века слово "Ring" могло означать "объединение", что до сих пор используется в английском языке в ограниченном смысле (например, шпионская сеть), поэтому, если бы это была этимология, то это было бы аналогично тому, как слово "группа" вошло в математику, будучи нетехническим термином для "совокупности связанных элементов". По словам Харви Кона, Гильберт использовал этот термин для кольца, обладающего свойством "возвращаться непосредственно" к своему элементу (в смысле эквивалентности). В частности, в кольце алгебраических целых чисел все высокие степени алгебраического целого числа можно представить как целочисленную комбинацию фиксированного набора более низких степеней, и таким образом степени "замыкаются в цикл". Например, если , то:

и так далее; в общем случае, будет целочисленной линейной комбинацией 1, a и .

Френкель и Ноэтер

Первое аксиоматическое определение кольца было дано Адольфом Френкелем в 1915 году, но его аксиомы были строже, чем в современном определении. Например, он требовал, чтобы каждый ненулевой делитель имел мультипликативную обратную. В 1921 году Эмми Нётер дала современное аксиоматическое определение коммутативных колец (с и без единицы) и заложила основы коммутативной теории колец в своей работе «Idealtheorie in Ringbereichen».

Коммутативные кольца

Прототипическим примером является кольцо целых чисел с двумя операциями: сложением и умножением. Рациональные, действительные и комплексные числа являются коммутативными кольцами, относящимися к типу, называемому полями. Унитальная ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом R является сама по себе кольцом, а также R-модулем. Некоторые примеры:
Алгебра R[X] многочленов с коэффициентами в R.
Алгебра формальных степенных рядов с коэффициентами в R.
Множество всех непрерывных вещественнозначных функций, определенных на действительной прямой, образует коммутативную \R-алгебру. Операции – поточечное сложение и умножение функций. Пусть X – множество, а R – кольцо. Тогда множество всех функций из X в R образует кольцо, которое является коммутативным, если R коммутативно. Кольцо квадратичных целых чисел, интегральное замыкание \Z в квадратичном расширении \Q. Это подкольцо кольца всех алгебраических целых чисел. Кольцо проконечных целых чисел \widehat\Z, (бесконечное) произведение колец p-адических целых чисел \Z_p над всеми простыми числами p.
Кольцо Гекке, кольцо, порожденное операторами Гекке. Если S – множество, то множество всех его подмножеств становится кольцом, если сложение определить как симметричную разность множеств, а умножение – как пересечение. Это пример булевого кольца.

Некоммутативные кольца

Для любого кольца R и любого натурального числа n, множество всех квадратных n × n матриц с элементами из R образует кольцо с операциями сложения матриц и умножения матриц. Для n = 1 это матричное кольцо изоморфно самому R. Для n > 1 (и если R не является нулевым кольцом), это матричное кольцо некоммутативно. Если G – абелева группа, то эндоморфизмы G образуют кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов End(G) группы G. Операции в этом кольце – сложение и композиция эндоморфизмов. В более общем случае, если V – левый модуль над кольцом R, то множество всех R-линейных отображений образует кольцо, также называемое кольцом эндоморфизмов и обозначаемое как End(V). Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой является коммутативным, если эллиптическая кривая определена над полем характеристики ноль. Если G – группа, а R – кольцо, то групповое кольцо G над R является свободным модулем над R, имеющим G в качестве базиса. Умножение определяется правилами, согласно которым элементы G коммутируют с элементами R и перемножаются так же, как в группе G. Кольцо дифференциальных операторов (в зависимости от контекста). Фактически, многие кольца, возникающие в анализе, являются некоммутативными. Например, большинство алгебр Банаха некоммутативны.

Не кольца

Множество натуральных чисел \N с обычными операциями не является кольцом, так как (\N, +) даже не является группой (не все элементы имеют обратный элемент по сложению – например, не существует натурального числа, которое при сложении с 3 даёт 0). Существует естественный способ расширить его до кольца, включив отрицательные числа и получив кольцо целых чисел \Z. Натуральные числа (включая 0) образуют алгебраическую структуру, известную как полукольцо (которое обладает всеми аксиомами кольца, за исключением наличия аддитивного обратного элемента). Пусть R – множество всех непрерывных функций на вещественной прямой, равных нулю вне ограниченного интервала, зависящего от функции, с обычным сложением, но с умножением, определённым как свёртка: тогда R является rng, но не кольцом: дельта-функция Дирака обладает свойством мультипликативной единицы, но не является функцией и, следовательно, не является элементом R.

Продукты и мощности

Для каждого неотрицательного целого числа n, для последовательности из n элементов R можно определить произведение рекурсивно: пусть P₀ = 1 и пусть Pₘ = Pₘ₋₁ * aₘ для 1 ≤ m ≤ n.

В качестве частного случая можно определить неотрицательные целочисленные степени элемента a кольца: a⁰ = 1 и aⁿ = aⁿ⁻¹ * a для n ≥ 1. Тогда aᵐ⁺ⁿ = aᵐ * aⁿ для всех m, n ≥ 0.

Элементы кольца

Левый нулевой делитель кольца R — это элемент a в кольце, такой, что существует ненулевой элемент b из R, для которого ab = 0. Правый нулевой делитель определяется аналогичным образом. Нильпотентный элемент — это элемент a, такой, что aⁿ = 0 для некоторого n > 0. Одним из примеров нильпотентного элемента является нильпотентная матрица. Нильпотентный элемент в ненулевом кольце обязательно является делителем нуля. Идемпотент — это элемент a, такой, что a² = a. Одним из примеров идемпотента является проекция в линейной алгебре. Единица — это элемент a, имеющий мультипликативную обратную; в этом случае обратная уникальна и обозначается a⁻¹. Множество единиц кольца образует группу относительно умножения в кольце; эта группа обозначается Rˣ или R* или U(R). Например, если R — кольцо всех квадратных матриц размера n над полем, то Rˣ состоит из множества всех обратимых матриц размера n и называется общей линейной группой.

Идеально

Пусть R – кольцо. Левый идеал кольца R – это непустое подмножество I в R, такое, что для любых x, y из I и r из R элементы x + y и rx принадлежат I. Если RI обозначает R-модуль, порожденный I, то есть множество конечных сумм, то I является левым идеалом, если RI ⊆ I. Аналогично, правый идеал – это подмножество I, такое, что IR ⊆ I. Подмножество I называется двусторонним идеалом или просто идеалом, если оно является одновременно левым и правым идеалом. Односторонний или двусторонний идеал является аддитивной подгруппой R. Если E – подмножество R, то RE – левый идеал, называемый левым идеалом, порожденным E; это наименьший левый идеал, содержащий E. Аналогично, можно рассматривать правый идеал или двусторонний идеал, порожденный подмножеством R. Если x принадлежит R, то Rx и xR – левый и правый идеалы соответственно; они называются главными левыми и правыми идеалами, порожденными x. Главный идеал RxR записывается как (x). Например, множество всех положительных и отрицательных кратных 2 вместе с 0 образует идеал в кольце целых чисел, и этот идеал порожден целым числом 2. В действительности, каждый идеал кольца целых чисел является главным. Как и группа, кольцо называется простым, если оно не равно нулю и не имеет собственных ненулевых двусторонних идеалов. Коммутативное простое кольцо – это точно поле. Кольца часто изучаются с особыми условиями, налагаемыми на их идеалы. Например, кольцо, в котором нет строго возрастающей бесконечной цепи левых идеалов, называется левым нётеровым кольцом. Кольцо, в котором нет строго убывающей бесконечной цепи левых идеалов, называется левым артиновым кольцом. Довольно удивительный факт заключается в том, что левое артиново кольцо является левым нётеровым (теорема Хопкинса — Левицкого). Однако целые числа образуют нётерово кольцо, которое не является артиновым. Для коммутативных колец идеалы обобщают классическое понятие делимости и разложения целого числа на простые множители в алгебре. Собственный идеал P кольца R называется простым идеалом, если для любых элементов a, b из R условие ab ∈ P влечет либо a ∈ P, либо b ∈ P. Эквивалентно, P является простым, если для любых идеалов I, J условие IJ ⊆ P влечет либо I ⊆ P, либо J ⊆ P. Последняя формулировка иллюстрирует идею идеалов как обобщения элементов.

Модуль

Понятие модуля над кольцом обобщает понятие векторного пространства (над полем) путем обобщения от умножения векторов на элементы поля (скалярного умножения) до умножения на элементы кольца. Более точно, для кольца R, R-модуль M представляет собой абелеву группу, снабженную операцией R × M → M (сопоставляющей элемент M каждой паре элемента R и элемента M), удовлетворяющей определенным аксиомам. Эта операция обычно обозначается примыканием и называется умножением. Аксиомы модулей следующие: для всех a, b из R и всех x, y из M, M является абелевой группой относительно сложения. Если кольцо некоммутативно, эти аксиомы определяют левые модули; правые модули определяются аналогично, записывая xa вместо ax. Это не просто изменение обозначений, поскольку последняя аксиома для правых модулей (то есть 1 = x(ab) = (xa)b) становится 1 = (ab)x = b(ax), если для правого модуля используется левое умножение (на элементы кольца). Базовыми примерами модулей являются идеалы, включая само кольцо. Хотя определение аналогично, теория модулей значительно сложнее теории векторных пространств, главным образом потому, что, в отличие от векторных пространств, модули не характеризуются (с точностью до изоморфизма) единственным инвариантом (размерностью векторного пространства). В частности, не все модули имеют базис. Из аксиом модулей следует, что 1 = (-1)x = -x, где первый знак минус обозначает аддитивный обратный элемент в кольце, а второй – аддитивный обратный элемент в модуле. Используя это и обозначая повторное сложение умножением на положительное целое число, можно отождествить абелевы группы с модулями над кольцом целых чисел. Любой гомоморфизм колец индуцирует структуру модуля: если f : R → S – гомоморфизм колец, то S является левым модулем над R посредством умножения: 1 = rs = f(r)s. Если R коммутативно или если f(R) содержится в центре S, то кольцо S называется R-алгеброй. В частности, любое кольцо является алгеброй над кольцом целых чисел.

Прямые продукты

Пусть R и S – кольца. Тогда произведение R × S можно снабдить следующей естественной структурой кольца: для всех r ∈ R и s ∈ S. Кольцо R × S с указанными операциями сложения и умножения и мультипликативной единицей (1, 1) называется прямым произведением R и S. Та же конструкция работает и для произвольного семейства колец: если {Rᵢ} – кольца, индексированные множеством I, то ∏ᵢ Rᵢ является кольцом с поточечным сложением и умножением. Пусть R – коммутативное кольцо, а {Iᵢ} – идеалы, такие что IᵢIⱼ = {0} при i ≠ j. Тогда китайская теорема об остатках утверждает, что существует канонический изоморфизм колец:

"Конечный" прямой продукт также можно рассматривать как прямую сумму идеалов. А именно, пусть {Rᵢ} – кольца, {fᵢ} – вложения с образами Im(fᵢ) (в частности, Im(fᵢ) – кольца, хотя и не подкольца). Тогда Im(fᵢ) – идеалы в R, и

как прямая сумма абелевых групп (поскольку для абелевых групп конечные произведения совпадают с прямыми суммами). Очевидно, прямая сумма таких идеалов также определяет произведение колец, изоморфное R. Эквивалентно, вышесказанное можно осуществить с помощью центральных идемпотентов. Предположим, что R имеет указанное разложение. Тогда можно записать

По условиям на {eᵢ} следует, что eᵢ – центральные идемпотенты и eᵢeⱼ = 0 при i ≠ j (ортогональны). Снова можно обратить конструкцию. А именно, если задано разложение единицы 1 в ортогональные центральные идемпотенты, то пусть Iᵢ = Reᵢ – двусторонние идеалы. Если каждый eᵢ не является суммой ортогональных центральных идемпотентов, то их прямая сумма изоморфна R.

Важным применением бесконечного прямого произведения является построение проективного предела колец (см. ниже). Другое применение – ограниченное произведение семейства колец (см. кольцо аделей).

Кольца с генераторами и связями

Наиболее общий способ построения кольца — указание образующих и соотношений. Пусть F — свободное кольцо (то есть свободная алгебра над целыми числами) с набором символов X, то есть F состоит из многочленов с целочисленными коэффициентами в некоммутирующих переменных, являющихся элементами X. Свободное кольцо удовлетворяет универсальному свойству: любое отображение из множества X в кольцо R факторизуется через F, так что F → R является единственным гомоморфизмом колец. Как и в случае групп, каждое кольцо может быть представлено как фактор-кольцо свободного кольца. Теперь мы можем наложить соотношения на символы в X, рассматривая фактор-кольцо. Явно, если E — подмножество F, то фактор-кольцо F по идеалу, порожденному E, называется кольцом с образующими X и соотношениями E. Если мы использовали кольцо, скажем, A, в качестве базового кольца вместо \Z, то полученное кольцо будет кольцом над A. Например, если , то полученное кольцо будет обычным кольцом многочленов с коэффициентами в A по переменным, являющимся элементами X (Это то же самое, что и симметричная алгебра над A с символами X). В терминах теории категорий, операция является левым сопряженным функтором к забывающему функтору из категории колец в Set (и часто называется функтором свободного кольца). Пусть A и B — алгебры над коммутативным кольцом R. Тогда тензорное произведение R-модулей является R-алгеброй с умножением, задаваемым следующим образом:

Раздельное кольцо

Кольцо деления — это кольцо, в котором каждый ненулевой элемент является обратимым. Коммутативное кольцо деления — это поле. Ярким примером кольца деления, не являющегося полем, служит кольцо кватернионов. Любой централизатор в кольце деления также является кольцом деления. В частности, центр кольца деления является полем. Оказалось, что каждое конечное целостное кольцо (в частности, конечное кольцо деления) является полем; в частности, коммутативным (малая теорема Уэддерберна). Каждый модуль над кольцом деления является свободным модулем (имеет базис); следовательно, значительная часть линейной алгебры может быть выполнена над кольцом деления вместо поля. Изучение классов сопряженности играет важную роль в классической теории колец деления; см., например, теорему Картана — Брауэра — Хуа. Циклическая алгебра, введенная Л. Э. Диксоном, является обобщением кватернионной алгебры.

Полупростые кольца

Полупростой модуль — это прямая сумма простых модулей. Полупростое кольцо — это кольцо, которое является полупростым в качестве левого модуля (или правого модуля) над собой.

Примеры

Кольцо с делением полупростое (и простое). Для любого кольца с делением D и положительного целого числа n, кольцо матриц полупростое (и простое). Для поля k и конечной группы G, групповое кольцо kG полупростое тогда и только тогда, когда характеристика поля k не делит порядок группы G (теорема Машке). Алгебры Клиффорда полупросты. Алгебра Вейля над полем является простым кольцом, но не полупростым. То же самое справедливо и для кольца дифференциальных операторов от многих переменных.

Центральная простая алгебра и группа Брауера

Для поля k, k-алгебра центральна, если её центр равен k, и проста, если это простое кольцо. Поскольку центр простой k-алгебры является полем, любая простая k-алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром. В этом разделе предполагается, что центральная простая алгебра имеет конечную размерность. Также мы в основном фиксируем базовое поле; таким образом, алгебра относится к k-алгебре. Матричное кольцо размера n над кольцом R будет обозначаться как . Теорема Сколема — Ноэтера утверждает, что любой автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним. Две центральные простые алгебры A и B называются подобными, если существуют целые числа n и m такие, что . Поскольку это, подобие является отношением эквивалентности. Классы подобия [A] с умножением образуют абелеву группу, называемую группой Брауэра поля k и обозначаемую Br(k). По теореме Артина — Веддерберна, центральная простая алгебра является матричным кольцом над полем частных; таким образом, каждый класс подобия представлен единственным полем частных. Например, Br(k) тривиальна, если k — конечное поле или алгебраически замкнутое поле (в более общем случае квазиалгебраически замкнутое поле; см. теорему Цэня). имеет порядок 2 (частный случай теоремы Фробениуса). Наконец, если k — неархимедово локальное поле (например, ), то через инвариантное отображение. Теперь, если F — расширение поля k, то расширение базы индуцирует отображение Br(k) → Br(F). Его ядро обозначается Br(F/k). Оно состоит из [A], таких что является матричным кольцом над F (то есть, A расщепляется над F). Если расширение конечное и Галуа, то Br(F/k) канонически изоморфно к .

Алгебры Азумая обобщают понятие центральных простых алгебр на коммутативные локальные кольца.

Некоторые примеры повсеместного распространения колец

Многие различные виды математических объектов можно эффективно анализировать, рассматривая их в связи с некоторым кольцом.

Кольцо сгорания группы

Любой группе сопоставлено кольцо Бернсайда, которое использует кольцо для описания различных способов действия группы на конечном множестве. Аддитивная группа кольца Бернсайда — это свободная абелева группа, базисом которой является множество транзитивных действий группы, а операция сложения соответствует непересекающемуся объединению действий. Представление действия в терминах базиса означает разложение действия на его транзитивные компоненты. Умножение легко выражается через кольцо представлений: умножение в кольце Бернсайда определяется как представление тензорного произведения двух модулей перестановок в виде модуля перестановок. Кольцевая структура позволяет формально вычитать одно действие из другого. Поскольку кольцо Бернсайда содержится как подкольцо конечного индекса в кольце представлений, можно легко переходить от одного к другому, расширяя коэффициенты от целых чисел до рациональных чисел.

Кольцо представления группового кольца

К любому кольцу группы или алгебре Хопфа присоединены его кольцо представлений или "зелёное кольцо". Аддитивная группа кольца представлений — это свободная абелева группа, базисом которой служат неразложимые модули, а сложение соответствует прямой сумме. Представление модуля в терминах базиса — это нахождение неразложимого разложения этого модуля. Умножение соответствует тензорному произведению. Когда алгебра полупроста, кольцо представлений является просто кольцом характеров из теории характеров, что в сущности является группой Гротендика, наделённой структурой кольца.

Поле функции неснижаемого алгебраического разнообразия

С любым неприводимым алгебраическим многообразием связано его поле функций. Точки алгебраического многообразия соответствуют кольцам оценки, содержащимся в поле функций и содержащим кольцо координат. В алгебраической геометрии широко используется коммутативная алгебра для изучения геометрических понятий в терминах свойств теории колец. Бирациональная геометрия изучает отображения между подкольцами поля функций.

Кольцо лица упрощенного комплекса

Каждый симплициальный комплекс имеет ассоциированное кольцо граней, также называемое кольцом Стэнли — Рейснера. Это кольцо отражает многие комбинаторные свойства симплициального комплекса, поэтому оно представляет особый интерес в алгебраической комбинаторике. В частности, алгебраическая геометрия кольца Стэнли — Рейснера использовалась для характеризации числа граней в каждой размерности симплициальных политопов.

Теоретическое описание категории

Каждое кольцо можно рассматривать как моноид в Ab, категории абелевых групп (рассматриваемой как моноидальная категория относительно тензорного произведения модулей над \Z). Моноидное действие кольца R на абелеву группу — это просто R-модуль. По сути, R-модуль является обобщением понятия векторного пространства, где вместо векторного пространства над полем рассматривается «векторное пространство над кольцом». Пусть (A, +) — абелева группа, а End(A) — её кольцо эндоморфизмов (см. выше). Обратите внимание, что по сути End(A) — это множество всех морфизмов группы A, где, если f и g принадлежат End(A), для вычисления f + g и f ⋅ g можно использовать следующие правила: где + в выражении f(x) + g(x) обозначает сложение в A, а композиция функций записывается справа налево. Следовательно, с каждой абелевой группой связано кольцо. И наоборот, для любого кольца (R, +, '⋅'), (R, +) является абелевой группой. Более того, для каждого r из R правое (или левое) умножение на r порождает морфизм (R, +) в силу правой (или левой) дистрибутивности. Пусть 1 = A = (R, +). Рассмотрим эндоморфизмы A, которые «факторизуются» через правое (или левое) умножение в R. Иными словами, пусть — множество всех морфизмов m из A, обладающих свойством m(r ⋅ x) = r ⋅ m(x) для всех x. Было показано, что каждый элемент r из R порождает морфизм A: правое умножение на r. Более того, это соответствие между элементами R и морфизмами A, рассматриваемое как функция из R в , является изоморфизмом колец. В этом смысле любое кольцо можно рассматривать как кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой группы X (под группой X подразумевается группа, у которой X — множество операторов). По сути, наиболее общая форма кольца — это группа эндоморфизмов некоторой абелевой группы X. Любое кольцо можно рассматривать как преаддитивную категорию с единственным объектом. Поэтому естественно считать произвольные преаддитивные категории обобщениями колец. И действительно, многие определения и теоремы, первоначально сформулированные для колец, можно перенести в этот более общий контекст. Аддитивные функторы между преаддитивными категориями обобщают понятие гомоморфизма колец, а идеалы в аддитивных категориях можно определить как множества морфизмов, замкнутые относительно сложения и композиции с любыми морфизмами.

Обобщение

Алгебраисты определили структуры, более общие, чем кольца, ослабляя или отбрасывая некоторые из аксиом колец.

Рнг

Rng — это то же самое, что и кольцо, за исключением того, что существование единицы не предполагается.

Неассоциативное кольцо

Неассоциативное кольцо — это алгебраическая структура, удовлетворяющая всем аксиомам кольца, за исключением ассоциативности и наличия единичного элемента. Примечательным примером является алгебра Ли. Для таких алгебр существует некоторая теория структуры, обобщающая аналогичные результаты для алгебр Ли и ассоциативных алгебр.

Объект кольца в категории

Пусть C — категория с конечными произведениями. Пусть pt обозначает терминальный объект в C (пустой продукт). Кольцевой объект в C — это объект R, снабженный морфизмами (сложение), (умножение), (аддитивная единица), (аддитивная инверсия) и (мультипликативная единица), удовлетворяющими обычным аксиомам кольца. Эквивалентно, кольцевой объект — это объект R, снабженный факторизацией своего функтора точек через категорию колец.

Схема кольца

В алгебраической геометрии кольцевая схема над базовой схемой S — это кольцевой объект в категории S-схем. Одним из примеров является кольцевая схема над \operatorname{Spec} \Z, которая для любого коммутативного кольца A возвращает кольцо p-изотипных векторов Витта длины n над A.

Кольцевой спектр

В алгебраической топологии кольцевой спектр — это спектр X вместе с умножением и отображением единицы S → X из сферного спектра S, удовлетворяющие аксиомам кольца с точностью до гомотопии. На практике кольцевой спектр часто определяют как моноидный объект в хорошей категории спектров, такой как категория симметричных спектров.