Кіріспе
Математикада, әсіресе топтар теориясында, G тобының Фраттини қосалқы тобы – G тобының барлық максималды қосалқы топтарының қиылысы болып табылады. Егер G тобында максималды қосалқы топтар болмаса, мысалы, тривиалды топ {e} немесе Пруфер тобы болған жағдайда, ол осылай анықталады. Бұл сақиналар теориясындағы Якобсон радикалына ұқсас, ал интуитивті түрде оны "кішкентай элементтердің" қосалқы тобы деп қарастыруға болады (төмендегі "генератор емес" сипаттамасын қараңыз). Бұл ұғымды 1885 жылы жарияланған мақаласында анықтаған Джованни Фраттинидің есімімен аталады.
Кейбір фактілер
G-нің генератор емес элементі – генераторлық жиыннан әрқашан алынып тасталатын элемент; яғни, G-нің a элементі, егер X құрамында a бар G-нің генераторлық жиыны болса, онда X-тен a-ны алып тастағанда да ол G-нің генераторлық жиыны болып табылады. Бұл әрқашан G-нің сипаттамалық кіші тобы; атап айтқанда, бұл әрқашан G-нің нормальді кіші тобы. Егер G шекті болса, онда ол нильпотентті. Егер G – шекті p-тобы болса, онда Фраттини кіші тобы – ең кіші (қоса алу бойынша) нормальді N кіші тобы болып табылады, сонда G/N коэффициенттік тобы элементарлық абельдік топ болады, яғни p реті бар циклдік топтардың тікелей қосындысына изоморфты. Сонымен қатар, егер G/N коэффициенттік тобының (G-нің Фраттини коэффициенті деп те аталады) реті k болса, онда k – G үшін генераторлардың ең кіші саны (яғни, G үшін генерациялау жиынының ең кіші кардиналдығы). Атап айтқанда, шекті p-тобы циклдік болады, егер және тек егер оның Фраттини коэффициенті циклдік болса (p реті). Егер H және K шекті болса, онда Frattini кіші тобы тривиальды емес топтың мысалы – p реті бар циклдік топ G, мұндағы p – жай сан, мысалы, a-мен құрылған; мұндағы .
is always a characteristic subgroup of G; in particular, it is always a normal subgroup of G.
If G is finite, then is nilpotent. If G is a finite p group, then Thus the Frattini subgroup is the smallest (with respect to inclusion) normal subgroup N such that the quotient group is an elementary abelian group, i. e., isomorphic to a direct sum of cyclic groups of order p. Moreover, if the quotient group (also called the Frattini quotient of G) has order , then k is the smallest number of generators for G (that is, the smallest cardinality of a generating set for G). In particular a finite p group is cyclic if and only if its Frattini quotient is cyclic (of order p). A finite p group is elementary abelian if and only if its Frattini subgroup is the trivial group, If H and K are finite, then
An example of a group with nontrivial Frattini subgroup is the cyclic group G of order , where p is prime, generated by a, say; here, .