Введение

В математике, особенно в теории групп, подгруппа Фраттини группы G является пересечением всех максимальных подгрупп G. Если группа G не имеет максимальных подгрупп, например, тривиальная группа {e} или группа Пруфера, то она определяется как аналог радикалу Якобсона в теории колец и интуитивно может рассматриваться как подгруппа "малых элементов" (см. характеристику "негенератора" ниже). Она названа в честь Джованни Фраттини, который определил это понятие в статье, опубликованной в 1885 году.

Некоторые факты

равен множеству всех негенерирующих элементов G. Негенерирующий элемент G – это элемент, который всегда можно удалить из любого генерирующего множества; то есть элемент a из G, такой, что для любого генерирующего множества X группы G, содержащего a, множество X без a также является генерирующим множеством G. всегда является характеристической подгруппой G; в частности, это всегда нормальная подгруппа G. Если G конечна, то она нильпотентна. Если G – конечная p-группа, то, таким образом, подгруппа Фраттини является наименьшей (по включению) нормальной подгруппой N, такой что факторгруппа G/N является элементарной абелевой группой, то есть изоморфна прямой сумме циклических групп порядка p. Более того, если факторгруппа G/N (также называемая фраттиниевым фактором G) имеет порядок k, то k – наименьшее число генераторов для G (то есть наименьшая мощность генерирующего множества для G). В частности, конечная p-группа является циклической тогда и только тогда, когда ее фраттиниев фактор является циклической (порядка p). Конечная p-группа является элементарной абелевой тогда и только тогда, когда ее подгруппа Фраттини является тривиальной группой. Если H и K конечны, то пример группы с нетривиальной подгруппой Фраттини – это циклическая группа G порядка p^n, где p – простое число, порожденная, скажем, элементом a; здесь .