Введение

Комплексное число, действительная и мнимая части которого являются целыми числами.

В теории чисел гауссово целое число — это комплексное число, действительная и мнимая части которого являются целыми числами. Гауссовы целые числа с обычным сложением и умножением комплексных чисел образуют целостную область, обычно записываемую как или .

Гауссовы целые числа обладают многими свойствами, общими для целых чисел: они образуют евклидово кольцо и, следовательно, имеют евклидово деление и евклидов алгоритм; это подразумевает однозначность разложения на множители и множество связанных с этим свойств. Однако гауссовы целые числа не имеют полного порядка, согласованного с арифметическими операциями. Гауссовы целые числа являются алгебраическими целыми числами и образуют простейшее кольцо квадратичных целых чисел. Гауссовы целые числа названы в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса.

Основные идеалы

Поскольку кольцо G гауссовских целых чисел является евклидовой областью, G является областью главных идеалов, что означает, что каждый идеал в G является главным. Явно, идеал I является подмножеством кольца R таким образом, что любая сумма элементов I и любое произведение элемента I на элемент R принадлежат I. Идеал является главным, если он состоит из всех кратных некоторого элемента g, то есть имеет вид

В этом случае говорят, что идеал порожден элементом g или что g является порождающим элементом идеала. Каждый идеал I в кольце гауссовых целых чисел является главным, потому что, если в I выбрать ненулевой элемент g минимальной нормы, то для любого элемента x из I остаток от евклидова деления x на g также принадлежит I и имеет норму, меньшую, чем норма g; в силу выбора g эта норма равна нулю, и, следовательно, остаток также равен нулю. То есть, выполняется равенство x = qg, где q – частное. Для любого g идеал, порожденный g, также порождается любым ассоциированным с g элементом, то есть g, gi, –g, –gi; ни один другой элемент не порождает тот же идеал. Поскольку все порождающие элементы идеала имеют одну и ту же норму, норма идеала равна норме любого из его порождающих элементов. В некоторых случаях полезно один раз и навсегда выбрать порождающий элемент для каждого идеала. Существует два классических способа это сделать, оба начинаются с рассмотрения идеалов нечетной нормы. Если g = a + bi имеет нечетную норму a² + b², то один из a и b нечетен, а другой четен. Таким образом, g имеет ровно один ассоциированный элемент с действительной частью a, которая является нечетной и положительной. В своей оригинальной работе Гаусс сделал другой выбор, выбрав единственный ассоциированный элемент, такой что остаток от его деления на 2 + 2i равен единице. Действительно, поскольку N(2 + 2i) = 8, норма остатка не превосходит 4. Поскольку эта норма нечетна, а 3 не является нормой гауссова целого числа, норма остатка равна единице, то есть остаток является единицей. Умножая g на обратную этой единице, находим ассоциированный элемент, который при делении на 2 + 2i дает остаток 1. Если норма g четна, то либо g = 2ᵏh, либо g = 2ᵏh(1 + i), где k – положительное целое число, а N(h) – нечетно. Таким образом, выбирают ассоциированный элемент g так, чтобы получить h, удовлетворяющий условию выбора ассоциированных элементов для элементов нечетной нормы.

Примеры

Существует ровно два класса вычетов для модуля 1 + i, а именно (все кратные 1 + i) и , которые образуют шахматную доску на комплексной плоскости. Эти два класса образуют кольцо с двумя элементами, которое является полем, единственным (с точностью до изоморфизма) полем с двумя элементами, и таким образом может быть отождествлено с целыми числами по модулю 2. Эти два класса можно рассматривать как обобщение разбиения целых чисел на чётные и нечётные. Таким образом, можно говорить о чётных и нечётных гауссовых целых числах (Гаусс далее разделил чётные гауссовы целые числа на чётные, то есть делящиеся на 2, и получётные). Для модуля 2 существует четыре класса вычетов, а именно: они образуют кольцо с четырьмя элементами, в котором 1 = x = –x для любого x. Таким образом, это кольцо не изоморфно кольцу целых чисел по модулю 4, другому кольцу с четырьмя элементами. Имеем , и, следовательно, это кольцо не является конечным полем с четырьмя элементами и не является прямым произведением двух копий кольца целых чисел по модулю 2. Для модуля существует восемь классов вычетов, а именно , из которых четыре содержат только чётные гауссовы целые числа и четыре содержат только нечётные гауссовы целые числа.

Поля класса остатков

Кольцо классов вычетов по модулю гауссова целого числа z0 является полем тогда и только тогда, когда z0 – гауссово простое число. Если z0 – разложенное простое число или разветвленное простое число 1 + i (то есть, если его норма N(z0) является простым числом, равным 2 или простым числом, сравнимым с 1 по модулю 4), то поле классов вычетов имеет простое число элементов (то есть N(z0)). Следовательно, оно изоморфно полю целых чисел по модулю N(z0). Если же, напротив, z0 – инертное простое число (то есть N(z0) является квадратом простого числа, сравнимого с 3 по модулю 4), то поле классов вычетов имеет p² элементов, и оно является расширением степени 2 (единственным с точностью до изоморфизма) простого поля из p элементов (целых чисел по модулю p).

Исторический фон

Кольцо гауссовских целых чисел было введено Карлом Фридрихом Гауссом в его второй монографии о четвертичной взаимности (1832). Теорема о квадратичной взаимности (которую он впервые сумел доказать в 1796 году) связывает разрешимость сравнения x^(2) ≡ q (mod p) с разрешимостью сравнения x^(2) ≡ p (mod q). Аналогично, кубическая взаимность связывает разрешимость сравнения x^(3) ≡ q (mod p) с разрешимостью сравнения x^(3) ≡ p (mod q), а биквадратичная (или квартичная) взаимность — это соотношение между x^(4) ≡ q (mod p) и x^(4) ≡ p (mod q). Гаусс обнаружил, что закон биквадратичной взаимности и его следствия легче формулировать и доказывать как утверждения о «целых комплексных числах» (то есть гауссовских целых числах), чем как утверждения об обычных целых числах (то есть целых числах). В сноске он отмечает, что целые числа Эйзенштейна являются естественной областью для формулирования и доказательства результатов о кубической взаимности и указывает, что подобные расширения целых чисел являются подходящими областями для изучения законов взаимности более высокого порядка. В этой статье не только были введены гауссовские целые числа и доказано, что они являются областью однозначной факторизации, но также были введены термины норма, единица, простой и ассоциированный, которые теперь являются стандартными в алгебраической теории чисел.

Нерешенные проблемы

Большинство нерешенных задач связано с распределением гауссовских простых чисел в плоскости. Задача о круге Гаусса не имеет отношения к целым числам Гаусса как таковым, а вместо этого спрашивает о количестве точек решетки внутри круга заданного радиуса с центром в начале координат. Это эквивалентно определению количества гауссовских целых чисел с нормой, меньшей заданного значения. Существуют также гипотезы и нерешенные проблемы, касающиеся гауссовских простых чисел. Две из них: действительная и мнимая оси содержат бесконечное множество гауссовских простых чисел 3, 7, 11, 19 и чисел, ассоциированных с ними. Существуют ли другие прямые, содержащие бесконечно много гауссовских простых чисел? В частности, существует ли бесконечно много гауссовских простых чисел вида 1 + ki? Возможно ли достичь бесконечности, используя гауссовские простые числа в качестве ступеней и делая шаги равномерно ограниченной длины? Эта задача известна как проблема рва Гаусса; она была сформулирована в 1962 году Базилом Гордоном и до сих пор остается нерешенной.