Кіріспе
Коммутативтік алгебрадағы теорема
Коммутативтік алгебрада, Вольфганг Круллдың (1899–1971) есімімен аталған Круллдың негізгі идеал теоремасы, коммутативтік Ноэтерлік сақинадағы негізгі идеалдың биіктігіне шек қояды. Теорема кейде неміс тіліндегі Krulls Hauptidealsatz ("негізгі" + + "теорема") деген атаумен де аталады. Нақтырақ айтқанда, егер R – Ноэтерлік сақина болса және I – R-дің негізгі, дұрыс идеалы болса, онда I-ге қатысты әрбір минималды жай идеалдың биіктігі ең көп дегенде бірге тең болады. Бұл теореманы негізгі емес идеалдарға да қолдануға болады, ал нәтижесі көбінесе Круллдың биіктік теоремасы деп аталады. Бұл, егер R – Ноэтерлік сақина болса және I – R-дің n элементімен құрылған дұрыс идеал болса, онда I-ге қатысты әрбір минималды жай идеалдың биіктігі ең көп дегенде n-ге тең болады. Керісінше де дұрыс: егер жай идеалдың биіктігі n болса, онда ол n элементімен құрылған идеалға қатысты минималды жай идеал болып табылады. Негізгі идеал теоремасы және оның жалпылануы – биіктік теоремасы, екеуі де коммутативтік алгебрадағы өлшем теориясының негізгі теоремасынан туындайды (тікелей дәлелдемелер үшін төмендегілерді де қараңыз). Бурбакидің Коммутативтік алгебрасы тікелей дәлел келтіреді. Капланскийдің Коммутативтік сақиналары Дэвид Риске тиесілі дәлелді қамтиды.
In commutative algebra, Krull's principal ideal theorem, named after Wolfgang Krull (1899–1971), gives a bound on the height of a principal ideal in a commutative Noetherian ring. The theorem is sometimes referred to by its German name, Krulls Hauptidealsatz (from ("Principal") + + ("theorem")). Precisely, if R is a Noetherian ring and I is a principal, proper ideal of R, then each minimal prime ideal over I has height at most one. This theorem can be generalized to ideals that are not principal, and the result is often called Krull's height theorem. This says that if R is a Noetherian ring and I is a proper ideal generated by n elements of R, then each minimal prime over I has height at most n. The converse is also true: if a prime ideal has height n, then it is a minimal prime ideal over an ideal generated by n elements. The principal ideal theorem and the generalization, the height theorem, both follow from the fundamental theorem of dimension theory in commutative algebra (see also below for the direct proofs). Bourbaki's Commutative Algebra gives a direct proof. Kaplansky's Commutative Rings includes a proof due to David Rees.
Биіктік теоремасының дәлелі
Круллдың биіктік теоремасы элементтер саны бойынша индукция арқылы негізгі идеал теоремасының салдары ретінде дәлелденуі мүмкін. болсын, -тегі элементтер, -тің үстінен ең кіші жай сан және арасында ешқандай жай сан жоқтай, жай идеал. -ты локализациясымен алмастыру арқылы, - локальдік сақина деп есептеуге болады; сонда бізде бар. Ең кішілік бойынша, - барлық элементтерді қамти алмайды; индекстерді қайта белгілейік, мысалы, . -ті қамтитын әрбір жай идеал мен арасында болады, сондықтан әрбір үшін жаза аламыз , мұндағы және . Енді біз сақинаны және оған сәйкес келетін тізбекті қарастырамыз. Егер -тің үстінен ең кіші жай сан болса, онда ол -ні қамтиды және демек ; яғни, -тің үстінен ең кіші жай сан және, сондықтан Круллдың негізгі идеал теоремасы бойынша, - нөлдің үстінен ең кіші жай сан; -тің үстінен ең кіші жай сан. Индукциялық гипотеза бойынша және, демек .
with and Now we consider the ring and the corresponding chain in it. If is a minimal prime over , then contains and thus ; that is to say, is a minimal prime over and so, by Krull’s principal ideal theorem, is a minimal prime (over zero); is a minimal prime over By inductive hypothesis, and thus .