Введение
Теорема в коммутативной алгебре
В коммутативной алгебре теорема Крулла об основных идеалах, названная в честь Вольфганга Крулла (1899–1971), устанавливает верхнюю границу для высоты основного идеала в коммутативном ноэтерианском кольце. Теорему иногда называют по-немецки Krulls Hauptidealsatz (от «главный» + «идеал» + «теорема»). Точнее, если R — ноэтерианское кольцо, а I — собственный основной идеал в R, то каждый минимальный простой идеал над I имеет высоту не более 1. Эта теорема может быть обобщена на идеалы, не являющиеся основными, и результат часто называют теоремой Крулла о высоте. Это утверждение гласит, что если R — ноэтерианское кольцо, а I — собственный идеал, порожденный n элементами из R, то каждый минимальный простой идеал над I имеет высоту не более n. Обратное также верно: если простой идеал имеет высоту n, то он является минимальным простым идеалом над идеалом, порожденным n элементами. Теорема об основных идеалах и ее обобщение, теорема о высоте, обе следуют из фундаментальной теоремы теории размерности в коммутативной алгебре (см. также ниже прямые доказательства). «Коммутативная алгебра» Бурбаки содержит прямое доказательство. В «Коммутативных кольцах» Каплански приведено доказательство, предложенное Дэвидом Рисом.
In commutative algebra, Krull's principal ideal theorem, named after Wolfgang Krull (1899–1971), gives a bound on the height of a principal ideal in a commutative Noetherian ring. The theorem is sometimes referred to by its German name, Krulls Hauptidealsatz (from ("Principal") + + ("theorem")). Precisely, if R is a Noetherian ring and I is a principal, proper ideal of R, then each minimal prime ideal over I has height at most one. This theorem can be generalized to ideals that are not principal, and the result is often called Krull's height theorem. This says that if R is a Noetherian ring and I is a proper ideal generated by n elements of R, then each minimal prime over I has height at most n. The converse is also true: if a prime ideal has height n, then it is a minimal prime ideal over an ideal generated by n elements. The principal ideal theorem and the generalization, the height theorem, both follow from the fundamental theorem of dimension theory in commutative algebra (see also below for the direct proofs). Bourbaki's Commutative Algebra gives a direct proof. Kaplansky's Commutative Rings includes a proof due to David Rees.
Доказательство теоремы высоты
Теорема о высоте Крулла может быть доказана как следствие основной теоремы об идеалах путем индукции по числу элементов. Пусть – элементы в , – минимальный простой идеал над , а – простой идеал, такой что между ними нет строгого простого идеала. Заменяя локализацией , мы можем предположить, что – локальное кольцо; заметим, что тогда у нас есть . По минимальности, не может содержать все ; перенумеруем индексы, скажем, так как каждый простой идеал, содержащий , лежит между и , и таким образом мы можем записать для каждого , с и . Теперь рассмотрим кольцо и соответствующую цепочку в нем. Если – минимальный простой идеал над , то он содержит , и следовательно, ; то есть, – минимальный простой идеал над , и, следовательно, по теореме Крулла об основных идеалах, – минимальный простой идеал (над нулем); – минимальный простой идеал над . По индуктивному предположению, и, следовательно, .
with and Now we consider the ring and the corresponding chain in it. If is a minimal prime over , then contains and thus ; that is to say, is a minimal prime over and so, by Krull’s principal ideal theorem, is a minimal prime (over zero); is a minimal prime over By inductive hypothesis, and thus .