Ноетер модульдері – абстракті алгебрадағы маңызды ұғым. Асқан тізбектік жағдайға қанағаттандырады, Гильберт теоремасы мен Нотердің маңызды үлесін қамтиды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Абстракт алгебрада Нотер модулі – өзінің субмодульдері бойынша өсу тізбегі шартын қанағаттандыратын модуль, мұнда субмодульдер кіріктіру бойынша ішінара реттелген. Тарихи тұрғыдан алғанда, Гилберт шекті түрде жасалған субмодульдердің қасиеттерін зерттеген алғашқы математик болды. Ол Гильберттің негізгі теоремасы деп аталатын маңызды теореманы дәлелдеді, ол кез келген идеал кез келген өрістің көпөлшемді полиномдық сақинасында шекті түрде жасалатынын көрсетеді. Дегенмен, бұл қасиет Эмми Нотердің есімімен аталады, ол осы қасиеттің нағыз маңыздылығын бірінші болып ашты.
In abstract algebra, a Noetherian module is a module that satisfies the ascending chain condition on its submodules, where the submodules are partially ordered by inclusion. Historically, Hilbert was the first mathematician to work with the properties of finitely generated submodules. He proved an important theorem known as Hilbert's basis theorem which says that any ideal in the multivariate polynomial ring of an arbitrary field is finitely generated. However, the property is named after Emmy Noether who was the first one to discover the true importance of the property.
Мысалдар
Бүтін сандар, бүтін сандар сақинасының модулі ретінде қарастырылғанда, Нотер модулі болып табылады. Егер R = Mn(F) – өріс үстіндегі толық матрицалық сақина болса, ал M = Mn×1(F) – F өрісіндегі бағаналық векторлар жиыны болса, онда M матрицалық көбейту арқылы, R сақинасының элементтерін M сақинасының элементтеріне сол жағынан қолдану арқылы модульге айналдырылуы мүмкін. Бұл Нотер модулі. Кез келген жиын ретінде шекті модуль Нотерлік болып табылады. Оң Нотерлік сақина үстіндегі кез келген шекті туындаған оң модуль Нотер модулі болып табылады.
The integers, considered as a module over the ring of integers, is a Noetherian module. If R = Mn(F) is the full matrix ring over a field, and M = Mn 1(F) is the set of column vectors over F, then M can be made into a module using matrix multiplication by elements of R on the left of elements of M. This is a Noetherian module. Any module that is finite as a set is Noetherian. Any finitely generated right module over a right Noetherian ring is a Noetherian module.
Басқа құрылымдарда пайдалану
Оң Noetherian R сақинасы, анықтама бойынша, өзінің үстінде оң жақтан көбейту арқылы қарастырылған Noetherian R модульі болып табылады. Сол сияқты, егер R сол R модуль ретінде қарастырылса, ноэтериандық болса, онда сақина сол Noetherian сақина деп аталады. R коммутативті сақина болған жағдайда, сол және оң деген сөздердің қосымшасы қажет емес, сондықтан оларды жіберуге болады. Егер R екі жағынан да ноэтериандық болса, оны "сол және оң ноэтериандық" деп емес, жай ғана ноэтериандық деп атау қабылданған. Ноэтериандық шартын бимодульдік құрылымдар үшін де анықтауға болады: ноэтериандық бимодуль – суббимодульдердің жиынтығы өсу тізбегі шартын қанағаттандыратын бимодуль. R S бимодулі M-нің суббимодулі, әсіресе, сол R модульі болып табылатындықтан, егер M сол R модульі ретінде қарастырылса, онда M автоматты түрде ноэтериандық бимодуль болады. Дегенмен, бимодуль сол немесе оң құрылымдары ноэтериандық болмаса да, ноэтериандық болуы мүмкін.
A right Noetherian ring R is, by definition, a Noetherian right R module over itself using multiplication on the right. Likewise a ring is called left Noetherian ring when R is Noetherian considered as a left R module. When R is a commutative ring the left right adjectives may be dropped as they are unnecessary. Also, if R is Noetherian on both sides, it is customary to call it Noetherian and not "left and right Noetherian". The Noetherian condition can also be defined on bimodule structures as well: a Noetherian bimodule is a bimodule whose poset of sub bimodules satisfies the ascending chain condition. Since a sub bimodule of an R S bimodule M is in particular a left R module, if M considered as a left R module were Noetherian, then M is automatically a Noetherian bimodule. It may happen, however, that a bimodule is Noetherian without its left or right structures being Noetherian.