Введение

В абстрактной алгебре, модуль Ноэтера — это модуль, удовлетворяющий условию восходящей цепи на своих подмодулях, где подмодули частично упорядочены по включению. Исторически, Гильберт был первым математиком, работавшим со свойствами конечно порожденных подмодулей. Он доказал важную теорему, известную как теорема о базисе Гильберта, утверждающую, что любой идеал в многомерном полиномиальном кольце над произвольным полем является конечно порожденным. Однако, это свойство названо в честь Эмми Ноэтер, которая первой осознала его истинную значимость.

Примеры

Целые числа, рассматриваемые как модуль над кольцом целых чисел, являются нётеровым модулем. Если R = Mn(F) – полное кольцо матриц над полем, а M = Mn × 1(F) – множество столбцовых векторов над F, то M можно рассматривать как модуль, используя умножение матриц из R слева на элементы M. Это нётеров модуль. Любой модуль, конечный как множество, является нётеровым. Любой конечно порожденный правый модуль над правым нётеровым кольцом является нётеровым модулем.

Использование в других конструкциях

Правое ноэтерианское кольцо R, по определению, является ноэтерианским правым R-модулем над собой с использованием умножения справа. Аналогично, кольцо называется левым ноэтерианским кольцом, когда R рассматривается как ноэтерианский левый R-модуль. Когда R – коммутативное кольцо, определения "левый" и "правый" можно опустить, так как они избыточны. Кроме того, если R ноэтерианско с обеих сторон, его обычно называют просто ноэтерианским, а не "левым и правым ноэтерианским". Условие Ноэтера можно также определить для бимодулей: ноэтерианский бимодуль – это бимодуль, у которого полурешётка подбимодулей удовлетворяет условию восходящих цепей. Поскольку подбимодуль бимодуля R-S M является, в частности, левым R-модулем, то если M, рассматриваемый как левый R-модуль, ноэтерианский, то M автоматически является ноэтерианским бимодулем. Однако может случиться, что бимодуль ноэтерианский, хотя его левая или правая структура не являются ноэтерианскими.