Кіріспе
Сигналды өңдеудегі әсері. Уақыт функциясының, s(t), Фурье түрлендірілісі – жиіліктің күрделі мәнді функциясы, S(f), ол көбінесе жиілік спектрі деп аталады. s(t) бойынша кез келген сызықтық уақыт инвариантты операциясы H(f)•S(f) түріндегі жаңа спектрді тудырады, бұл S(f) нөлдік емес мәндерінің салыстырмалы шамаларын және/немесе бұрыштарын (фазасын) өзгертеді. Басқа операциялар кең мағынада спектрлік қиылыс деп аталатын жаңа жиілік компоненттерін жасайды. Мысалы, дискретизация (сынама алу) қиылыс тудырады, оны бастапқы спектрлік компоненттің псевдонимдері деп атаймыз. Фурье түрлендірілісі үшін дискретизация s(t) және Дирак тарағы функциясы арасындағы көбейтінді ретінде модельделеді. Көбейтіндінің спектрі – S(f) және басқа функция арасындағы конволюция, бұл сөзсіз жаңа жиілік компоненттерін жасайды. Бірақ "қиылыс" термині көбінесе терезелеу әсеріне қатысты қолданылады, ол s(t) функциясын басқа функциямен, терезе функциясымен көбейтуді білдіреді. Терезе функциялары шекті ұзақтыққа ие, бірақ қиылыс тудыру үшін бұл міндетті емес. Уақытқа байланысты функциямен көбейту жеткілікті.
The Fourier transform of a function of time, s(t), is a complex valued function of frequency, S(f), often referred to as a frequency spectrum. Any linear time invariant operation on s(t) produces a new spectrum of the form H(f)•S(f), which changes the relative magnitudes and/or angles (phase) of the non zero values of S(f). Any other type of operation creates new frequency components that may be referred to as spectral leakage in the broadest sense. Sampling, for instance, produces leakage, which we call aliases of the original spectral component. For Fourier transform purposes, sampling is modeled as a product between s(t) and a Dirac comb function. The spectrum of a product is the convolution between S(f) and another function, which inevitably creates the new frequency components. But the term 'leakage' usually refers to the effect of windowing, which is the product of s(t) with a different kind of function, the window function. Window functions happen to have finite duration, but that is not necessary to create leakage. Multiplication by a time variant function is sufficient.
Спектрлік талдау
Фурье трансформациясы cos(ωt) функциясы үшін тек ±ω жиілігінде ғана нөлге тең болады. Дегенмен, көптеген басқа функциялар мен толқын пішіндері үшін жабық түрдегі ыңғайлы трансформациялар жоқ. Балама ретінде, сіз олардың спектрлік құрамын белгілі бір уақыт кезеңінде ғана анықтауға қызығушылық танытуыңыз мүмкін. Екі жағдайда да, Фурье трансформациясы (немесе оған ұқсас трансформация) толқын пішінінің бірін немесе бірнеше шектеулі аралықтарына қолданылуы мүмкін. Жалпы, трансформация толқын пішіні мен терезе функциясының көбейтіндісіне қолданылады. Кез келген терезе (тіктөртбұрышты терезелерді қоса алғанда) осы әдіспен есептелген спектрлік бағалауға әсер етеді. Бұл эффекттерді синусоидты s(t) функциясына әсері арқылы ең оңай сипаттауға болады, оның терезесіз Фурье трансформациясы бір жиіліктен басқа барлық жиіліктер үшін нөлге тең. Көбінесе 0 Гц жиілігі таңдалады, себебі терезеленген Фурье трансформациясы – бұл терезе функциясының өзінің Фурье трансформациясы (қараңыз: ).
s(t) функциясына үлгі алу және терезелеу екі тәртіппен қолданылғанда, терезелеуден туындаған сигналдың жоғалуы – жиілік компоненттерінің салыстырмалы түрде шектеулі таралуы, көбінесе бұрмалану эффектісімен, ал үлгі алудан туындаған алиасинг – бұл бұрмаланған спектрдің периодты қайталануы болып табылады.
Терезенің функциясының таңдалуы
Cos(ωt) сияқты қарапайым толқынды терезелеу, оның Фурье түрлендіруінің ω жиілігінен басқа жиіліктерде нөлдік емес мәндерді (әдетте спектрлік ағып кету деп аталады) дамытуына себеп болады. Ағып кету ω-ға жақын жерде ең күшті (ең жоғары) және ω-дан алыс жиіліктерде ең аз болады. Егер талдауға алынған толқын формасы әртүрлі жиіліктегі екі синусоидадан тұрса, ағып кету оларды спектрлік тұрғыдан ажырату мүмкіндігіне кедергі келтіруі мүмкін. Мүмкін болатын кедергілер көбінесе екі қарама-қарсы классқа бөлінеді: егер компоненттердің жиіліктері өзгеше болса және бір компонент әлсіз болса, күшті компоненттен болатын ағып кету әлсіз компоненттің болуын жасыра алады. Бірақ егер жиіліктер тым ұқсас болса, ағып кету оларды тіпті синусоидалардың күші бірдей болған жағдайда да ажырату мүмкін емес етеді. Бірінші типтегі кедергіге қарсы тиімді, яғни компоненттердің жиіліктері мен амплитудалары әртүрлі болатын терезелер жоғары динамикалық диапазонды деп аталады. Керісінше, жиіліктері мен амплитудалары ұқсас компоненттерді ажырата алатын терезелер жоғары ажыратымдылықты деп аталады. Тіктөртбұрышты терезе – жоғары ажыратымдылыққа ие, бірақ төмен динамикалық диапазонды терезелердің мысалы, яғни жиіліктері жақын болғанда да ұқсас амплитудалы компоненттерді ажыратуға жақсы, бірақ жиіліктері алыс болғанда әртүрлі амплитудалы компоненттерді ажыратуға нашар. Жоғары ажыратымдылықты, тіктөртбұрышты терезе сияқты төмен динамикалық диапазонды терезелердің жоғары сезімталдық қасиеті де бар, ол қосымша кездейсоқ шудың болуы кезінде салыстырмалы түрде әлсіз синусоидаларды анықтау қабілеті. Бұл шудың жоғары динамикалық диапазонды терезелерге қарағанда жоғары ажыратымдылықты терезелерге күштірек әсер етуіне байланысты. Терезе түрлерінің екінші шегінде жоғары динамикалық диапазонға ие, бірақ төмен ажыратымдылықты және сезімталдығы бар терезелер бар. Жоғары динамикалық диапазонды терезелер көбінесе кең жолақты қолдануда қолданылады, онда талдауға алынған спектрде әртүрлі амплитудалы көптеген компоненттердің болуы күтіледі. Бұл екі шектің арасында Ханн және Хамминг сияқты орташа терезелер бар. Олар көбінесе тар жолақты қолдануда, мысалы телефон арнасының спектрінде қолданылады. Қорыта айтқанда, спектрлік талдау ұқсас жиіліктері бар (жоғары ажыратымдылық / сезімталдық) салыстырмалы күшті компоненттерді және әртүрлі жиіліктері бар (жоғары динамикалық диапазон) әртүрлі күшті компоненттерді ажырату арасындағы компромисті қамтиды. Бұл компромис терезе функциясы таңдалған кезде пайда болады.