Введение

Эффект в обработке сигналов. Преобразование Фурье функции времени, s(t), является комплекснозначной функцией частоты, S(f), часто называемой частотным спектром. Любая линейная, инвариантная ко времени операция над s(t) приводит к новому спектру вида H(f)•S(f), который изменяет относительные амплитуды и/или фазы ненулевых значений S(f). Любая другая операция создает новые частотные компоненты, которые можно назвать спектральными искажениями в самом широком смысле. Дискретизация, например, приводит к искажениям, которые мы называем алиасами исходного спектрального компонента. Для целей преобразования Фурье дискретизация моделируется как произведение s(t) на гребенчатую функцию Дирака. Спектр произведения является свёрткой между S(f) и другой функцией, что неизбежно создает новые частотные компоненты. Однако термин "искажения" обычно относится к эффекту оконной функции, которая представляет собой произведение s(t) на другую функцию – оконную. Оконные функции имеют конечную длительность, но это не является необходимым условием для возникновения искажений. Достаточно умножения на функцию, изменяющуюся во времени.

Спектрологический анализ

Трансформация Фурье функции cos(ωt) равна нулю, за исключением частот ±ω. Однако для многих других функций и сигналов не существует удобных аналитических выражений для преобразования. В качестве альтернативы, может быть интересно исследовать их спектральный состав лишь на определенном временном интервале. В любом из этих случаев преобразование Фурье (или аналогичное преобразование) может быть применено к одному или нескольким конечным отрезкам сигнала. Как правило, преобразование применяется к произведению сигнала и оконной функции. Любое окно (включая прямоугольное) влияет на спектральную оценку, полученную этим методом. Эффекты наиболее наглядно проявляются при воздействии на синусоидальный сигнал s(t), чье преобразование Фурье без оконной функции равно нулю для всех частот, кроме одной. Обычно выбирают частоту 0 Гц, поскольку преобразование Фурье с оконной функцией является просто преобразованием Фурье самой оконной функции (см.):

При применении дискретизации и оконной функции к s(t) в любом порядке, "утечка" сигнала, вызванная оконной функцией, представляет собой относительно локализованное размытие частотных составляющих, часто приводящее к эффекту размытия, в то время как алиасинг, вызванный дискретизацией, проявляется в виде периодического повторения всего размытого спектра.

Выбор функции окна

Окончание простой формы волны, такой как cos(ωt), приводит к появлению ненулевых значений (обычно называемых спектральной утечкой) в преобразовании Фурье на частотах, отличных от ω. Утечка, как правило, наиболее выражена (максимальна) вблизи ω и наименее выражена на частотах, наиболее удаленных от ω. Если анализируемая форма волны состоит из двух синусоид разных частот, утечка может затруднить их спектральное различение. Возможные типы помех часто подразделяются на два противоположных класса следующим образом: если частоты компонентов различны и один компонент слабее, то утечка от более сильного компонента может замаскировать присутствие более слабого. Но если частоты слишком близки, утечка может сделать их неразличимыми даже при равной силе синусоид. Окна, эффективные против первого типа помех, то есть когда компоненты имеют разные частоты и амплитуды, называются окнами с высоким динамическим диапазоном. И наоборот, окна, способные различать компоненты с близкими частотами и амплитудами, называются окнами с высоким разрешением. Прямоугольное окно является примером окна с высоким разрешением, но низким динамическим диапазоном, что означает, что оно хорошо подходит для различения компонентов сопоставимой амплитуды, даже если частоты также близки, но плохо подходит для различения компонентов с разной амплитудой, даже если частоты далеки друг от друга. Окна с высоким разрешением и низким динамическим диапазоном, такие как прямоугольное окно, также обладают высокой чувствительностью, то есть способностью обнаруживать относительно слабые синусоиды в присутствии аддитивного случайного шума. Это связано с тем, что шум создает более сильный отклик при использовании окон с высоким динамическим диапазоном, чем при использовании окон с высоким разрешением. На другом конце спектра типов окон находятся окна с высоким динамическим диапазоном, но низким разрешением и чувствительностью. Окна с высоким динамическим диапазоном чаще всего оправданы в широкополосных приложениях, где анализируемый спектр, как ожидается, содержит множество различных компонентов с разными амплитудами. Между этими крайностями находятся умеренные окна, такие как окна Ханна и Хамминга. Они обычно используются в узкополосных приложениях, таких как спектр телефонного канала. В итоге, спектральный анализ предполагает компромисс между разрешением компонентов сопоставимой силы с близкими частотами (высокое разрешение / чувствительность) и разрешением компонентов разной силы с различными частотами (высокий динамический диапазон). Этот компромисс возникает при выборе оконной функции.