Кіріспе
Сигнал өңдеу және инженерияның маңызды пәні
Сигнал өңдеуде қайта құру дегеніміз, әдетте, тең қашықтықтағы дискретті үлгілер тізбесінен бастапқы үздіксіз сигналды анықтау. Бұл мақалада сигналды дискреттеу және қайта құруға қатысты жалпыланған, абстрактілі математикалық көзқарас қарастырылады. Жолақты шектелген сигналдарға негізделген практикалық тәсіл үшін Уиттакер-Шеннон интерполяция формуласына жүгініңіз.
Жалпы қағида
F кез келген үлгі алу әдісі болсын, яғни квадраттық интегралданған функциялардың Хилберт кеңістігінен кешенді кеңістікке сызықтық бейнелеу. Біздің мысалымызда, үлгі алынған сигналдардың векторлық кеңістігі – n өлшемді кешенді кеңістік. F-тің кез келген кері R (реконструкция формуласы, терминологияда) кеңістігінің кейбір ішкі жиынына бейнелеуі керек. Бұл ішкі жиынды біз кездейсоқ таңдауға болады, бірақ егер R реконструкция формуласы да сызықтық бейнелеу болса, онда біз кеңістігінің n өлшемді сызықтық ішкі кеңістігін таңдауымыз керек. Бұл өлшемдердің сәйкес келуі керек екендігі Nyquist-Shannon үлгілеу теоремасымен байланысты. Бұл жерде элементар сызықтық алгебра тәсілі жұмыс істейді. (барлық элементтері нөл, тек k-шы элементі бір) немесе кеңістігінің басқа да базисін қарастырайық. F үшін керіні анықтау үшін, әр k үшін шарты орындалатындай таңдаңыз. Бұл F-тің (псевдо) керісін бірегей түрде анықтайды.
In our example, the vector space of sampled signals is n dimensional complex space. Any proposed inverse R of F (reconstruction formula, in the lingo) would have to map to some subset of We could choose this subset arbitrarily, but if we're going to want a reconstruction formula R that is also a linear map, then we have to choose an n dimensional linear subspace of
This fact that the dimensions have to agree is related to the Nyquist–Shannon sampling theorem. The elementary linear algebra approach works here. Let (all entries zero, except for the kth entry, which is a one) or some other basis of To define an inverse for F, simply choose, for each k, an so that This uniquely defines the (pseudo )inverse of F.
Әрине, алдымен қандай да бір реконструкция формуласын таңдап, содан кейін реконструкция формуласынан үлгі алу алгоритмін есептеуге немесе берілген үлгі алу алгоритмінің берілген формулаға қатысты мінез-құлқын талдауға болады. Идеалды жағдайда реконструкция формуласы күтілетін қателік дисперсиясын азайту арқылы туындайды. Бұл сигналдың статистикасы белгілі болуын немесе сигналға алдын ала ықтималдық тағайындалуын қажет етеді. Ақпараттық өріс теориясы – оңтайлы реконструкция формуласын алу үшін тиісті математикалық формализм.