Введение
Важная область обработки сигналов и инженерии
В обработке сигналов реконструкция обычно означает определение исходного непрерывного сигнала по последовательности равномерно отстоящих отсчетов. В данной статье рассматривается обобщенный абстрактный математический подход к дискретизации и реконструкции сигналов. Для более практичного подхода, основанного на сигналах, ограниченных по полосе, обратитесь к формуле интерполяции Уиттакера — Шеннона.
Общий принцип
Пусть F – любой метод дискретизации, то есть линейное отображение из пространства Гильберта квадратично интегрируемых функций в комплексное пространство. В нашем примере векторное пространство дискретизированных сигналов является n-мерным комплексным пространством. Любая предлагаемая обратная функция R к F (формула восстановления, как это принято называть) должна отображать некоторое подмножество в . Мы могли бы выбрать это подмножество произвольно, но если мы хотим получить формулу восстановления R, которая также является линейным отображением, то мы должны выбрать n-мерное линейное подпространство в . Тот факт, что размерности должны совпадать, связан с теоремой Котельникова — Найквиста о дискретизации. Здесь применим элементарный подход линейной алгебры. Пусть (все элементы нулевые, кроме k-го, который равен единице) или какой-либо другой базис в . Чтобы определить обратную функцию для F, просто выберите для каждого k такое , чтобы . Это однозначно определяет (псевдо)обратную функцию к F.
In our example, the vector space of sampled signals is n dimensional complex space. Any proposed inverse R of F (reconstruction formula, in the lingo) would have to map to some subset of We could choose this subset arbitrarily, but if we're going to want a reconstruction formula R that is also a linear map, then we have to choose an n dimensional linear subspace of
This fact that the dimensions have to agree is related to the Nyquist–Shannon sampling theorem. The elementary linear algebra approach works here. Let (all entries zero, except for the kth entry, which is a one) or some other basis of To define an inverse for F, simply choose, for each k, an so that This uniquely defines the (pseudo )inverse of F.
Разумеется, можно сначала выбрать некоторую формулу восстановления, а затем либо вычислить алгоритм дискретизации на основе этой формулы, либо проанализировать поведение заданного алгоритма дискретизации по отношению к заданной формуле. В идеале формула восстановления выводится путем минимизации дисперсии ошибки. Для этого необходимо знать статистику сигнала или задать априорную вероятность для сигнала. Теория информационных полей является подходящим математическим формализмом для получения оптимальной формулы восстановления.