Ортогоналды Даубеши толқындары

Кіріспе

Ортогональды толқыншалар

Ингрид Добешидің еңбектеріне негізделген Добеши толқыншалары – дискретті толқынша түрлендіруін анықтайтын және белгілі бір қолдау үшін жоғалатын моменттердің максимал санымен сипатталатын ортогональды толқыншалар отбасы. Осы кластағы әрбір толқынша түрі үшін ортогональды көп ажыратымдылық талдауын жасайтын масштабтау функциясы (әке толқыны деп аталады) бар.

Ең төменгі шамалау ретімен масштабтау реті

Төменде D2 20 масштабтау функцияларының коэффициенттері келтірілген. Толқындық коэффициенттер масштабтау функциясының коэффициенттерінің реттілігін кері қайтару арқылы және содан кейін әрбір екіншісінің таңбасын өзгерту арқылы шығарылады (яғни D4 толқындығы {−0.1830127, −0.3169873, 1.1830127, −0.6830127}). Математикалық тұрғыдан алғанда, бұл k – коэффициент индексі, b – толқындық тізбектің коэффициенті, ал a – масштабтау тізбегінің коэффициенті. N – бұл толқындық индексі, яғни D2 үшін 2. +Ортогональды Даубеши коэффициенттері (қосындысы 2-ге тең етіп нормаланған) D2 (Хаар) D4 D6 D8 D10 D12 D14 D16 D18 D20 10.6830127 0.4704672 0.32580343 0.22641898 0.15774243 0.11009943 0.07695562 0.05385035 0.03771716 11.1830127 1.14111692 1.01094572 0.85394354 0.69950381 0.56079128 0.44246725 0.3448343 0.26612218 0.3169873 0.650365 0.89220014 1.02432694 1.06226376 1.03114849 0.95548615 0.85534906 0.74557507 −0.1830127 −0.19093442 −0.03957503 0.19576696 0.44583132 0.66437248 0.82781653 0.92954571 0.97362811 −0.12083221 −0.26450717 −0.34265671 −0.31998660 −0.20351382 −0.02238574 0.18836955 0.39763774 0.0498175 0.0436163 −0.04560113 −0.18351806 −0.31683501 −0.40165863 −0.41475176 −0.3533362 0.0465036 0.10970265 0.13788809 0.10084676 6.8194092 × 10−4 −0.13695355 −0.27710988 −0.01498699 −0.0088268 0.03892321 0.11400345 0.18207636 0.21006834 0.18012745 −0.01779187 −0.04466375 −0.05378245 −0.0245639 0.04345267 0.13160299 4.71742793 × 10−3 7.83251152 × 10−4 −0.02343994 −0.06235021 −0.09564726 −0.10096657 6.75606236 × 10−3 0.01774979 0.01977216 3.54892813 × 10−4 −0.04165925 −1.52353381 × 10−3 6.07514995 × 10−4 0.01236884 0.03162417 0.04696981 −2.54790472 × 10−3 −6.88771926 × 10−3 −6.67962023 × 10−3 5.10043697 × 10−3 5.00226853 × 10−4 −5.54004549 × 10−4 −6.05496058 × 10−3 −0.015179 9.55229711 × 10−4 2.61296728 × 10−3 1.97332536 × 10−3 −1.66137261 × 10−4 3.25814671 × 10−4 2.81768659 × 10−3 −3.56329759 × 10−4 −9.6994784 × 10−4 5.5645514 × 10−5 −1.64709006 × 10−4 1.32354367 × 10−4 −1.875841 × 10−5

Below are the coefficients for the scaling functions for D2 20. The wavelet coefficients are derived by reversing the order of the scaling function coefficients and then reversing the sign of every second one, (i. e., D4 wavelet {−0.1830127, −0.3169873, 1.1830127, −0.6830127}). Mathematically, this looks like where k is the coefficient index, b is a coefficient of the wavelet sequence and a a coefficient of the scaling sequence. N is the wavelet index, i. e., 2 for D2. +Orthogonal Daubechies coefficients (normalized to have sum 2)D2 (Haar)D4D6D8D10D12D14D16D18D2010.68301270.470467210.325803430.226418980.157742430.110099430.076955620.053850350.0377171611.18301271.141116921.010945720.853943540.699503810.560791280.442467250.344834300.266122180.31698730.6503650.892200141.024326941.062263761.031148490.955486150.855349060.74557507 −0.1830127 −0.19093442 −0.039575030.195766960.445831320.664372480.827816530.929545710.97362811 −0.12083221 −0.26450717 −0.34265671 −0.31998660 −0.20351382 −0.022385740.188369550.397637740.04981750.0436163 −0.04560113 −0.18351806 −0.31683501 −0.40165863 −0.41475176 −0.353336200.04650360.109702650.137888090.10084676.68194092 × 10−4 −0.13695355 −0.27710988 −0.01498699 −0.008826800.038923210.114003450.182076360.210068340.18012745 −0.01779187 −0.04466375 −0.05378245 −0.024563900.0434526750.131602994.71742793 × 10−37.83251152 × 10−4 −0.02343994 −0.06235021 −0.09564726 −0.100966576.75606236 × 10−30.017749790.019772163.54892813 × 10−4 −0.04165925 −1.52353381 × 10−36.07514995 × 10−40.012368840.031624170.04696981 −2.54790472 × 10−3 −6.88771926 × 10−3 −6.67962023 × 10−35.10043697 × 10−3 5.00226853 × 10−4 −5.54004549 × 10−4 −6.05496058 × 10−3 −0.015179009.55229711 × 10−42.61296728 × 10−31.97332536 × 10−3 −1.66137261 × 10−43.25814671 × 10−42.81768659 × 10−3 −3.56329759 × 10−4 −9.69947840 × 10−4 5.5645514 × 10−5 −1.64709006 × 10−41.32354367 × 10−4 −1.875841 × 10−5

Бұл құрылымның бөліктері биортогональды Коэн–Даубеши–Фово толқындықтарын (CDFs) шығару үшін де қолданылады.

Іске асыру

Mathematica сияқты бағдарламалық қамтамасыз ету Daubechies толқындықтарын тікелей қолдайды, ал MATLAB-та қарапайым іске асыруға болады (мысалы, Daubechies 4). Бұл іске асыру шекті ұзындықтағы сигналдар мәселесін шешу үшін периодтауды пайдаланады. Басқа, күрделірек әдістер де бар, бірақ оларды қолдану жиі қажет емес, себебі бұл өзгертілген сигналдың соңғы бөліктеріне ғана әсер етеді. Периодизация MATLAB векторлық нотациясында тікелей алға түрлендіру кезінде, ал кері түрлендіру цирк ауыстыру (circshift) функциясын қолдану арқылы жүзеге асырылады:

Биномиалдық-QMF

1990 жылы Али Акансу биномиалдық квадраттық айна сүзгілер жинағының (биномиалдық QMF) Daubechies толқын сүзгісімен бірдей екенін көрсетті, ал оның өнімділігі дискретті уақыт сигналдарын өңдеу саласындағы белгілі субкеңістік шешімдерінің қатарында бағаланды. Бұл 1987 жылы Модификацияланған Гермит Трансформациясының (МГТ) жасалуына себеп болған биномдық коэффициенттер және Гермит полиномдары бойынша жасалған бұрынғы зерттеулерді кеңейту болды. Биномиалдық QMF сүзгілерінің амплитудасының квадраты – үздіксіз домендегі толқынның реттелуімен байланысты екі жолақты толық қалпына келтіру QMF (PR QMF) жобалау формуласындағы бірегей максималды тегіс функциялар болып табылады.

Қолданбалар

Даубехиес толқындық трансформациясын су белгісі ретінде қолдану тиімді екені дәлелденді. Бұл тәсіл тиімді көп ажыратымдылықты жиілік доменінде жұмыс істейді, QR кодтар форматында шифрланған цифрлық логотипті қосуға мүмкіндік береді. Даубехис толқыншасының жуықтауы Гриффит жарығының жергілікті емес магниттік-эластикалық көлденең (SH) толқын таралуын, шекті қалыңдықтағы, шексіз ұзын гомогенді изотроптық жолақта талдау үшін пайдаланылуы мүмкін. Даубехис толқыншасының сепстральдық коэффициенттері Паркинсон ауруын анықтауда пайдалы болуы мүмкін. Даубехи толқындықтары, тиімді көп ажыратымдылықты талдауымен белгілі, дауыстық сигнал деректерінен сепстральдық ерекшеліктерді алу үшін қолданылады. Бұл толқыншалық негізделген коэффициенттер Паркинсон ауруын көрсететін үлгілерді дәл анықтау үшін дискриминациялық белгілер ретінде әрекет ете алады, бұл диагностикалық әдістемелерге жаңа тәсіл ұсынады. Қоғамдық пневмонияны (ҚП) талдау және анықтау кезінде күрделі Даубехис толқыншалары инфекцияланған өкпедегі ҚП зардап шеккен аймақтардың күрделі бөлшектерін анықтау үшін дәл нәтижелер алуға мүмкіндік береді. Эластогидродинамикалық майлау мәселесі майлау режимдерін зерттеуді қамтиды, онда жанасқан беттердің деформациясы майлау пленкасына маңызды әсер етеді. Даубехис толқыншалары мұндай күрделі майлау құбылыстарын дәл модельдеу және симуляциялаумен байланысты қиындықтарды шеше алады. Даубехис толқыншалары майлаушы зат пен жанасқан беттер арасындағы өзара әрекеттестіктерді егжей-тегжейлі және жетілдірілген зерттеуге мүмкіндік береді. Даубехис толқыншасы виброакустикалық сигналдардан күрделі бөлшектер мен ерекшеліктерді шығарады, бұл комбайн дизельдік қозғалтқыштарының жағдайы мен өнімділігін бағалау үшін кешенді диагностикалық тәсіл ұсынады. Даубехис толқыншасының спектрі зерттеушілерге түрлі қозғалтқыш жағдайларымен байланысты сигналдардағы үлгілерді, аномалияларды және сипаттамалық белгілерді анықтауға мүмкіндік беретін қуатты талдау құралы болып табылады. Бұл егжей-тегжейлі спектрлік талдау диагностикалық бағалаудың дәлдігін арттыруға көмектеседі, бұл қозғалтқыштың денсаулығын немесе ықтимал мәселелерді көрсететін тербеліс және акустикалық сипаттамаларды толығырақ түсінуге мүмкіндік береді. Даубехис толқыншалары эластикалық материалдағы динамикалық толқындардың уақыт және кеңістіктегі сипаттамаларын жақсылап тексеруді жеңілдетеді. Бұл тәсіл эластикалық қатты денелердің уақыт өте келе әр түрлі динамикалық жағдайларға қалай жауап беретінін түсінуге мүмкіндік береді. Даубехис толқыншаларын шекті толқыншалар доменінің әдісіне интеграциялау эластикалық қатты денелердегі өткінші динамикалық толқындарды зерттеу үшін әмбебап және берік талдамалық құралға ықпал етеді. Брахистохрондық мәселе вариациялық мәселе ретінде тұжырымдалып, төмендеу уақытын азайтатын оңтайлы қисықты табудың маңыздылығын көрсетеді. Даубехис толқыншаларын математикалық құрылымға енгізу арқылы осы толқыншалармен байланысты масштабтау функциялары оңтайлы қисықтың жуықтауын құра алады. Функцияның жоғары және төмен жиілікті компоненттерін түсіре алу қабілетіне ие Даубехис толқыншалары брахистохрон қисығының егжей-тегжейлі бейнелеуіне қол жеткізуде маңызды рөл атқарады.

The application of Daubechies wavelet transform as a watermarking scheme has been proved effective. This approach operates in a proficient multi resolution frequency domain, enabling the incorporation of an encrypted digital logo in the format of QR codes. Daubechies wavelet approximation can be used to analyze Griffith crack behavior in nonlocal magneto elastic horizontally shear (SH) wave propagation within a finite thickness, infinitely long homogeneous isotropic strip. Daubechies wavelet cepstral coefficients can be useful in the context of Parkinson's disease detection. Daubechies wavelets, known for their efficient multi resolution analysis, are utilized to extract cepstral features from vocal signal data. These wavelet based coefficients can act as discriminative features for accurately identifying patterns indicative of Parkinson's disease, offering a novel approach to diagnostic methodologies. When it comes to analysis and detection of Community Acquired Pneumonia (CAP), Complex Daubechies wavelets can be used to identify intricate details of the CAP affected areas in infected lungs to produce accurate results. The elastohydrodynamic lubrication problem involves the study of lubrication regimes in which the deformation of the contacting surfaces significantly influences the lubricating film. Daubechies wavelets can address the challenges associated with accurately modeling and simulating such intricate lubrication phenomena. Daubechies wavelets allows for a more detailed and refined exploration of the interactions between the lubricant and the contacting surfaces. Daubechies Wavelet can extract intricate details and features from the vibroacoustic signals, offering a comprehensive diagnostic approach for evaluating the condition and performance of diesel engines in combine harvesters. The Daubechies Wavelet spectrum serves as a powerful analytical tool, allowing the researchers to identify patterns, anomalies, and characteristic signatures within the signals associated with different engine conditions. This detailed spectral analysis aids in enhancing the accuracy of diagnostic assessments, enabling a more nuanced understanding of the vibrational and acoustic characteristics indicative of engine health or potential issues. In practical terms, the Daubechies wavelets facilitate a finely tuned examination of the temporal and spatial characteristics of dynamic waves within elastic materials. This approach enables a more nuanced understanding of how elastic solids respond to varying dynamic conditions over time. The integration of Daubechies wavelets into the finite wavelet domain method likely contributes to a more versatile and robust analytical framework for studying transient dynamic waves in elastic solids. The brachistochrone problem can be formulated and expressed as a variational problem, emphasizing the importance of finding the optimal curve that minimizes the time of descent. By introducting Daubechies wavelets into the mathematical framework, scaling functions associated with these wavelets can construct an approximation of the optimal curve. Daubechies wavelets, with their ability to capture both high and low frequency components of a function, prove instrumental in achieving a detailed representation of the brachistochrone curve.