Введение

Ортогональные вейвлеты

Вейвлеты Добеши, разработанные на основе работ Ингрид Добеши, представляют собой семейство ортогональных вейвлетов, определяющих дискретное вейвлет-преобразование и характеризующихся максимальным числом исчезающих моментов при заданной поддержке. Для каждого типа вейвлета этого класса существует масштабирующая функция (называемая вейвлетом-отцом), которая генерирует ортогональный мультиразрешающий анализ.

Последовательность масштабирования наименьшего порядка приближения

Ниже приведены коэффициенты для функций масштабирования для D2 20. Коэффициенты вейвлета получаются путем обращения порядка коэффициентов функции масштабирования и последующего изменения знака каждого второго коэффициента (т. е. вейвлет D4 {−0.1830127, −0.3169873, 1.1830127, −0.6830127}). Математически это выглядит следующим образом: где k – индекс коэффициента, b – коэффициент последовательности вейвлетов, а a – коэффициент последовательности масштабирования. N – индекс вейвлета, т.е. 2 для D2. +Ортогональные коэффициенты Добеши (нормализованные так, чтобы их сумма была равна 2) D2 (Haar) D4 D6 D8 D10 D12 D14 D16 D18 D20 10.6830127 0.4704672 0.32580343 0.22641898 0.15774243 0.11009943 0.07695562 0.05385035 0.03771716 11.1830127 1.14111692 1.01094572 0.85394354 0.69950381 0.56079128 0.44246725 0.3448343 0.26612218 0.3169873 0.650365 0.89220014 1.02432694 1.06226376 1.03114849 0.95548615 0.85534906 0.74557507 −0.1830127 −0.19093442 −0.03957503 0.19576696 0.44583132 0.66437248 0.82781653 0.92954571 0.97362811 −0.12083221 −0.26450717 −0.34265671 −0.31998660 −0.20351382 −0.02238574 0.18836955 0.39763774 0.0498175 0.0436163 −0.04560113 −0.18351806 −0.31683501 −0.40165863 −0.41475176 −0.3533362 0.0465036 0.10970265 0.13788809 0.10084676 6.8194092 × 10−4 −0.13695355 −0.27710988 −0.01498699 −0.0088268 0.03892321 0.11400345 0.18207636 0.21006834 0.18012745 −0.01779187 −0.04466375 −0.05378245 −0.0245639 0.04345267 0.13160299 4.71742793 × 10−3 7.83251152 × 10−4 −0.02343994 −0.06235021 −0.09564726 −0.10096657 6.75606236 × 10−3 0.01774979 0.01977216 3.54892813 × 10−4 −0.04165925 −1.52353381 × 10−3 6.07514995 × 10−4 0.01236884 0.03162417 0.04696981 −2.54790472 × 10−3 −6.88771926 × 10−3 −6.67962023 × 10−3 5.10043697 × 10−3 5.00226853 × 10−4 −5.54004549 × 10−4 −6.05496058 × 10−3 −0.015179 9.55229711 × 10−4 2.61296728 × 10−3 1.97332536 × 10−3 −1.66137261 × 10−4 3.25814671 × 10−4 2.81768659 × 10−3 −3.56329759 × 10−4 −9.6994784 × 10−4 5.5645514 × 10−5 −1.64709006 × 10−4 1.32354367 × 10−4 −1.875841 × 10−5

Части конструкции также используются для получения биортогональных вейвлетов Коэна – Добеши – Фово (CDF).

Реализация

В то время как такое программное обеспечение, как Mathematica, напрямую поддерживает вейвлеты Добеши, в MATLAB возможна базовая реализация (в данном случае, Добеши 4). Эта реализация использует периодизацию для обработки проблемы сигналов конечной длины. Существуют и другие, более сложные методы, но часто они не требуются, так как влияют только на самые концы преобразованного сигнала. Периодизация выполняется при прямом преобразовании непосредственно в векторной нотации MATLAB, а обратное преобразование – с использованием функции `circshift`.

Биномиальный-QMF

Али Акансу в 1990 году показал, что биномиальный квадратурный зеркальный фильтр (биномиальный QMF) идентичен вейвлет-фильтру Даубеши, а его характеристики были оценены наряду с известными решениями, основанными на подпространствах, с точки зрения дискретной обработки сигналов. Это стало развитием более ранних исследований биномиальных коэффициентов и полиномов Эрмита, которые привели к разработке модифицированного эрмитова преобразования (MHT) в 1987 году. Квадраты амплитудных характеристик биномиальных QMF-фильтров представляют собой уникальные функции максимальной плоскостности в рамках разработки двухполосного QMF (PR QMF) с идеальной реконструкцией, что связано с регулярностью вейвлета в непрерывной области.

Приложения

Применение волнового преобразования Даубеши в качестве схемы водяных знаков доказало свою эффективность. Этот подход работает в эффективной многоразрешающей частотной области, позволяя встраивать зашифрованный цифровой логотип в формате QR-кодов. Аппроксимация вейвлетов Даубеши может быть использована для анализа поведения трещин Гриффита при нелокальном магнитоупругом распространении горизонтальной сдвиговой (SH) волны в пределах конечной толщины бесконечно длинной однородной изотропной полосы. Цепстральные коэффициенты вейвлетов Даубеши могут быть полезны в контексте диагностики болезни Паркинсона. Вейвлеты Даубеши, известные своим эффективным многоразрешающим анализом, используются для извлечения цепстральных признаков из данных голосового сигнала. Эти коэффициенты, основанные на вейвлетах, могут служить разделительными признаками для точной идентификации паттернов, указывающих на болезнь Паркинсона, предлагая новый подход к диагностическим методикам. При анализе и выявлении внебольничной пневмонии (ВБП) сложные вейвлеты Даубеши могут быть использованы для идентификации сложных деталей пораженных участков ВБП в инфицированных легких, обеспечивая точные результаты. Задача эластогидродинамической смазки включает изучение режимов смазки, в которых деформация контактирующих поверхностей существенно влияет на смазывающую пленку. Вейвлеты Даубеши могут решить проблемы, связанные с точным моделированием и имитацией таких сложных явлений смазки. Вейвлеты Даубеши позволяют более детально и точно исследовать взаимодействие между смазочным материалом и контактирующими поверхностями. Вейвлеты Даубеши способны извлекать сложные детали и признаки из виброакустических сигналов, предлагая комплексный диагностический подход для оценки состояния и производительности дизельных двигателей в зерноуборочных комбайнах. Спектр вейвлетов Даубеши служит мощным аналитическим инструментом, позволяющим исследователям идентифицировать закономерности, аномалии и характерные сигнатуры в сигналах, связанных с различными состояниями двигателя. Этот детальный спектральный анализ способствует повышению точности диагностических оценок, обеспечивая более тонкое понимание вибрационных и акустических характеристик, указывающих на состояние двигателя или потенциальные проблемы. На практике вейвлеты Даубеши облегчают тонкое изучение временных и пространственных характеристик динамических волн в упругих материалах. Этот подход позволяет более тонко понять, как упругие твердые тела реагируют на изменяющиеся динамические условия с течением времени. Интеграция вейвлетов Даубеши в метод конечных вейвлетов, вероятно, способствует созданию более универсальной и надежной аналитической структуры для изучения переходных динамических волн в упругих твердых телах. Задача о брахистохроне может быть сформулирована и выражена как вариационная задача, подчеркивающая важность поиска оптимальной кривой, минимизирующей время спуска. Вводя вейвлеты Даубеши в математическую структуру, масштабирующие функции, связанные с этими вейвлетами, могут построить приближение оптимальной кривой. Вейвлеты Даубеши, благодаря своей способности захватывать как высокочастотные, так и низкочастотные компоненты функции, оказываются важными для достижения детального представления брахистохронной кривой.