Якоб Штейнер: Швейцар математигі және геометрияның шебері

Кіріспе

Швейцария математигі (1796–1863)

Якоб Штайнер (18 наурыз 1796 – 1 сәуір 1863) – геометрия саласында негізгі жұмыстарын жүргізген швейцариялық математик.

Математикалық үлестері

Штайнердің математикалық еңбегі негізінен геометриямен шектелген. Ол синтетикалық геометрияны жақтады және талдауды ұнатпады, тіпті оны синтетикалық геометрияға ар-ұят деп санады, егер аналитикалық геометрия әдістерімен сол сияқты немесе жақсы нәтижелер алынса. Өзінің саласында ол замандастарының бәрінен де басым болды. Оның зерттеулерінің ерекшелігі – жоғары дәрежедегі жалпылық, идеяларының молдығы және дәлелдерінің қатаңдығы. Ол Пергалық Аполлонийден кейінгі ең ірі геометр саналады. «Геометриялық пішіндердің бір-біріне тәуелділігінің жүйелі дамуы» атты еңбегінде ол қазіргі синтетикалық геометрияның негізін қалады. Проективтік геометрияда тіпті параллель түзулердің де ортақ нүктесі болады: шексіз нүкте. Сондықтан екі нүкте түзуді, ал екі түзу нүктені анықтайды. Нүкте мен түзудің симметриясы проективтік дуалдық ретінде көрінеді. Перспективадан бастап, проективтік геометрияның түрленулері композиция арқылы құралады, проективтіліктерді тудырады. Штайнер проективтік сәуле және қарындаш сияқты проективтіліктерге қатысты сақталатын жиынтықтарды анықтады. Ол ең әйгілі «Штайнер коникасы» деп аталатын проективтілік арқылы коникалық қисыққа қараған әдісімен есімдері таныс. «Түзу сызық және тұрақты шеңбер арқылы геометриялық құрылымдар» атты екінші кішкентай томы (1833) 1895 жылы Оттингенде қайта басылды, онда ол И.В. Понселе ұсынғандай, екінші реттің барлық мәселелерін тек түзу сызықты пайдаланып, циркуль қолданбастан шешуге болатынын көрсетті, егер қағазға бір шеңбер салынған болса. Ол сондай-ақ «Синтетикалық геометрия бойынша лекциялар» атты еңбегін жазды, ол 1867 жылы Лейпцигте К.Ф. Гейзер мен Х. Шрётердің редакциясымен, ал 1887-1898 жылдары Р. Штурмның үшінші басылымымен жарық көрді. Штайнердің басқа геометриялық нәтижелеріне жазықтықтармен кеңістікті бөлу формуласын жасау (n жазықтықпен құрылған бөліктердің максималды саны), танымал Штайнердің жанама шеңберлер тізбегі туралы бірнеше теоремалар және изопериметриялық теореманың дәлелі (кейінірек дәлелдеуде қате табылды, бірақ Вейерштрасс түзетті) кіреді. Штайнердің қалған жазбалары көбінесе Крелле журналында жарияланған көптеген мақалаларда кездеседі, оның бірінші томында оның алғашқы төрт мақаласы бар. Ең маңыздылары алгебралық қисықтар мен беттерге қатысты, әсіресе «Алгебралық қисықтардың жалпы қасиеттері» атты қысқаша мақала. Бұл тек нәтижелерді қамтиды және олардың қандай әдіспен алынғаны көрсетілмейді, сондықтан О. Гессенің айтуынша, олар Ферма теоремалары сияқты қазіргі және болашақ ұрпақтар үшін жұмбақ. Көрнекті сарапшылар теоремалардың кейбіреулерін дәлелдеуге қол жеткізді, бірақ олардың барлығын дәлелдеу Луиджи Кремонаға бұйрылды, ол алгебралық қисықтар туралы кітабында біркелкі синтетикалық әдіспен дәлелдеді. Басқа маңызды зерттеулер максималар мен минимумдарға қатысты. Қарапайым элементарлық қағидалардан бастап, Штайнер талдау тұрғысынан вариациялар есебін қажет ететін, бірақ сол кезде осы есептеудің мүмкіндіктерінен асып түсетін мәселелерді шешуге жетеді. Осыған байланысты «Жазық қисықтардың қисықтық орталықтары» атты мақала бар, онда педальдар мен рулеткалардың, әсіресе олардың аудандарының көптеген қасиеттері келтірілген. Штайнер сондай-ақ комбинаторикаға шағын, бірақ маңызды үлес қосты. 1853 жылы Штайнер Крелле журналында қазіргі кезде Штайнер жүйелері деп аталатын, блоктардың негізгі түрі туралы екі беттік мақала жариялады. Оның ең көне еңбектері мен қолжазбалары (1823-1826) оның жанкүйері Фриц Бюцбергер Берн табиғат зерттеушілер қоғамының тапсырысымен жарияланды.

Steiner's mathematical work was mainly confined to geometry. This he treated synthetically, to the total exclusion of analysis, which he hated, and he is said to have considered it a disgrace to synthetic geometry if equal or higher results were obtained by analytical geometry methods. In his own field he surpassed all his contemporaries. His investigations are distinguished by their great generality, by the fertility of his resources, and by the rigour in his proofs. He has been considered the greatest pure geometer since Apollonius of Perga. In his Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander he laid the foundation of modern synthetic geometry. In projective geometry even parallel lines have a point in common: a point at infinity. Thus two points determine a line and two lines determine a point. The symmetry of point and line is expressed as projective duality. Starting with perspectivities, the transformations of projective geometry are formed by composition, producing projectivities. Steiner identified sets preserved by projectivities such as a projective range and pencils. He is particularly remembered for his approach to a conic section by way of projectivity called the Steiner conic. In a second little volume, Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises (1833), republished in 1895 by Ottingen, he shows, what had been already suggested by J. V. Poncelet, how all problems of the second order can be solved by aid of the straight edge alone without the use of compasses, as soon as one circle is given on the drawing paper. He also wrote "Vorlesungen über synthetische Geometrie", published posthumously at Leipzig by C. F. Geiser and H. Schroeter in 1867; a third edition by R. Sturm was published in 1887–1898. Other geometric results by Steiner include development of a formula for the partitioning of space by planes (the maximal number of parts created by n planes), several theorems about the famous Steiner's chain of tangential circles, and a proof of the isoperimetric theorem (later a flaw was found in the proof, but was corrected by Weierstrass). The rest of Steiner's writings are found in numerous papers mostly published in Crelle's Journal, the first volume of which contains his first four papers. The most important are those relating to algebraic curves and surfaces, especially the short paper Allgemeine Eigenschaften algebraischer Curven. This contains only results, and there is no indication of the method by which they were obtained, so that, according to O. Hesse, they are, like Fermat's theorems, riddles to the present and future generations. Eminent analysts succeeded in proving some of the theorems, but it was reserved to Luigi Cremona to prove them all, and that by a uniform synthetic method, in his book on algebraic curves. Other important investigations relate to maxima and minima. Starting from simple elementary propositions, Steiner advances to the solution of problems which analytically require the calculus of variations, but which at the time altogether surpassed the powers of that calculus. Connected with this is the paper Vom Krümmungsschwerpuncte ebener Curven, which contains numerous properties of pedals and roulettes, especially of their areas. Steiner also made a small but important contribution to combinatorics. In 1853, Steiner published a two page article in Crelle's Journal on what nowadays is called Steiner systems, a basic kind of block design. His oldest papers and manuscripts (1823 1826) were published by his admirer Fritz Bützberger on the request of the Bernese Society for Natural Scientists.