Якоб Штайнер: Жизнь и вклад в геометрию

Введение

Швейцарский математик (1796–1863)

Якоб Штайнер (18 марта 1796 – 1 апреля 1863) – швейцарский математик, чья деятельность была сосредоточена главным образом в области геометрии.

Математические вклады

Математическая работа Штайнера была в основном ограничена геометрией. Он рассматривал её синтетически, полностью исключая анализ, который он ненавидел, и, как говорят, считал позором для синтетической геометрии, если равные или более высокие результаты достигались методами аналитической геометрии. В своей области он превзошел всех своих современников. Его исследования отличаются большой общностью, богатством идей и строгостью доказательств. Он считается величайшим геометром со времен Аполлония Пергского. В своей работе "Систематическое развитие зависимости геометрических форм друг от друга" он заложил основы современной синтетической геометрии. В проективной геометрии даже параллельные прямые имеют общую точку – точку на бесконечности. Таким образом, две точки определяют прямую, а две прямые – точку. Симметрия точки и прямой выражается как проективная двойственность. Начиная с перспективных преобразований, преобразования проективной геометрии формируются композицией, порождая проективности. Штайнер определил множества, инвариантные относительно проективностей, такие как проективный ряд и пучки прямых. Он особенно известен своим подходом к коническому сечению посредством проективности, называемой коникой Штайнера. В другом небольшом томе "Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises" (1833), переизданном в 1895 году Оттингеном, он показал, что уже было предложено Ж.В. Понселе, как все задачи второго порядка можно решить с помощью одной лишь линейки, без использования циркуля, если на чертеже задана одна окружность. Он также написал "Vorlesungen über synthetische Geometrie", опубликованную посмертно в Лейпциге К.Ф. Гейзером и Х. Шрётером в 1867 году; третье издание Р. Штурма вышло в 1887–1898 годах. Другие геометрические результаты Штайнера включают разработку формулы для разбиения пространства плоскостями (максимальное число частей, на которые разбивают пространство n плоскостей), несколько теорем о знаменитой цепи касательных окружностей Штайнера и доказательство изопериметрической теоремы (позже в доказательстве была обнаружена ошибка, но она была исправлена Вейерштрассом). Остальные труды Штайнера можно найти в многочисленных статьях, в основном опубликованных в журнале Крелля, первый том которого содержит его первые четыре работы. Наиболее важные из них посвящены алгебраическим кривым и поверхностям, особенно краткая статья "Allgemeine Eigenschaften algebraischer Curven". Она содержит только результаты, без указания метода их получения, поэтому, по словам О. Гессе, они, как и теоремы Ферма, представляют собой загадку для нынешнего и будущих поколений. Выдающимся аналитикам удалось доказать некоторые из этих теорем, но Луиджи Кремоне удалось доказать их все единым синтетическим методом в своей книге об алгебраических кривых. Другие важные исследования касаются максимумов и минимумов. Начиная с простых элементарных положений, Штайнер приходит к решению задач, которые аналитически требуют вариационного исчисления, но которые в то время полностью превосходили возможности этого исчисления. С этим связана статья "Vom Krümmungsschwerpuncte ebener Curven", содержащая многочисленные свойства педальных кривых и рулет, особенно их площадей. Штайнер также внес небольшой, но важный вклад в комбинаторику. В 1853 году Штайнер опубликовал в журнале Крелля двухстраничную статью о том, что сегодня называется системами Штайнера – базовом типе блочного плана. Его старейшие работы и рукописи (1823–1826) были опубликованы его поклонником Фрицем Бютцбергером по просьбе Бернского общества естествоиспытателей.

Steiner's mathematical work was mainly confined to geometry. This he treated synthetically, to the total exclusion of analysis, which he hated, and he is said to have considered it a disgrace to synthetic geometry if equal or higher results were obtained by analytical geometry methods. In his own field he surpassed all his contemporaries. His investigations are distinguished by their great generality, by the fertility of his resources, and by the rigour in his proofs. He has been considered the greatest pure geometer since Apollonius of Perga. In his Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander he laid the foundation of modern synthetic geometry. In projective geometry even parallel lines have a point in common: a point at infinity. Thus two points determine a line and two lines determine a point. The symmetry of point and line is expressed as projective duality. Starting with perspectivities, the transformations of projective geometry are formed by composition, producing projectivities. Steiner identified sets preserved by projectivities such as a projective range and pencils. He is particularly remembered for his approach to a conic section by way of projectivity called the Steiner conic. In a second little volume, Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises (1833), republished in 1895 by Ottingen, he shows, what had been already suggested by J. V. Poncelet, how all problems of the second order can be solved by aid of the straight edge alone without the use of compasses, as soon as one circle is given on the drawing paper. He also wrote "Vorlesungen über synthetische Geometrie", published posthumously at Leipzig by C. F. Geiser and H. Schroeter in 1867; a third edition by R. Sturm was published in 1887–1898. Other geometric results by Steiner include development of a formula for the partitioning of space by planes (the maximal number of parts created by n planes), several theorems about the famous Steiner's chain of tangential circles, and a proof of the isoperimetric theorem (later a flaw was found in the proof, but was corrected by Weierstrass). The rest of Steiner's writings are found in numerous papers mostly published in Crelle's Journal, the first volume of which contains his first four papers. The most important are those relating to algebraic curves and surfaces, especially the short paper Allgemeine Eigenschaften algebraischer Curven. This contains only results, and there is no indication of the method by which they were obtained, so that, according to O. Hesse, they are, like Fermat's theorems, riddles to the present and future generations. Eminent analysts succeeded in proving some of the theorems, but it was reserved to Luigi Cremona to prove them all, and that by a uniform synthetic method, in his book on algebraic curves. Other important investigations relate to maxima and minima. Starting from simple elementary propositions, Steiner advances to the solution of problems which analytically require the calculus of variations, but which at the time altogether surpassed the powers of that calculus. Connected with this is the paper Vom Krümmungsschwerpuncte ebener Curven, which contains numerous properties of pedals and roulettes, especially of their areas. Steiner also made a small but important contribution to combinatorics. In 1853, Steiner published a two page article in Crelle's Journal on what nowadays is called Steiner systems, a basic kind of block design. His oldest papers and manuscripts (1823 1826) were published by his admirer Fritz Bützberger on the request of the Bernese Society for Natural Scientists.