Дифференциалдық есептеулер

Кіріспе

Математиканың саласы; есептеудің кіші саласы

Математикада дифференциалдық есептеу – шамалардың өзгеру жылдамдығын зерттейтін есептеудің кіші саласы. Бұл есептеудің екі дәстүрлі бөлімінің бірі, екіншісі – интегралдық есептеу, ол қисық астындағы ауданды зерттейді. Дифференциалдық есептеудегі негізгі зерттеу нысандары – функцияның туындысы, дифференциал сияқты байланысты ұғымдар және олардың қолданылуы. Функцияның белгілі бір кіріс мәніндегі туындысы сол кіріс мәнінің жанындағы функцияның өзгеру жылдамдығын сипаттайды. Туындыны табу процесі дифференциациялау деп аталады. Геометриялық тұрғыдан алғанда, егер туынды сол нүктеде бар және анықталған болса, түбірлік нүктедегі функция графигіне қатысты жанама сызықтың еңісін көрсетеді. Нақты мәнді функция үшін, бір нақты айнымалысы бар функцияның нүктедегі туындысы әдетте сол нүктедегі функцияға ең жақсы сызықтық жуықтауды анықтайды. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер негізгі есептеу теоремасымен байланыстырылған. Бұл теорема дифференциациялау интеграциялаудың кері процесі екенін көрсетеді. Дифференциациялау шамалық ғылымдардың барлық салаларында қолданылады. Физикада, қозғалатын дененің уақытқа қатысты орын ауыстыруының туындысы дененің жылдамдығын, ал жылдамдықтың уақытқа қатысты туындысы – үдеуін көрсетеді. Дененің импульсінің уақытқа қатысты туындысы денеге қолданылатын күшке тең; осы туындыны өзгерту Ньютонның екінші заңымен байланысты белгілі теңдеуге әкеледі. Химиялық реакцияның жылдамдығы – туынды. Операциялық зерттеулерде туындылар материалдарды тасымалдаудың ең тиімді жолдарын және зауыттарды жобалауды анықтайды. Туындылар функцияның максимумдарын және минимумдарын табу үшін жиі қолданылады. Туындыларды қамтитын теңдеулер дифференциалдық теңдеулер деп аталады және табиғат құбылыстарын сипаттауда маңызды рөл атқарады. Туындылар және олардың жалпыламалары математиканың көптеген салаларында кездеседі, мысалы, комплекс сандарды зерттеу, функционалдық талдау, дифференциалдық геометрия, өлшемдер теориясы және абстрактілі алгебра.

In mathematics, differential calculus is a subfield of calculus that studies the rates at which quantities change. It is one of the two traditional divisions of calculus, the other being integral calculus—the study of the area beneath a curve. The primary objects of study in differential calculus are the derivative of a function, related notions such as the differential, and their applications. The derivative of a function at a chosen input value describes the rate of change of the function near that input value. The process of finding a derivative is called differentiation. Geometrically, the derivative at a point is the slope of the tangent line to the graph of the function at that point, provided that the derivative exists and is defined at that point. For a real valued function of a single real variable, the derivative of a function at a point generally determines the best linear approximation to the function at that point. Differential calculus and integral calculus are connected by the fundamental theorem of calculus. This states that differentiation is the reverse process to integration. Differentiation has applications in nearly all quantitative disciplines. In physics, the derivative of the displacement of a moving body with respect to time is the velocity of the body, and the derivative of the velocity with respect to time is acceleration. The derivative of the momentum of a body with respect to time equals the force applied to the body; rearranging this derivative statement leads to the famous equation associated with Newton's second law of motion. The reaction rate of a chemical reaction is a derivative. In operations research, derivatives determine the most efficient ways to transport materials and design factories. Derivatives are frequently used to find the maxima and minima of a function. Equations involving derivatives are called differential equations and are fundamental in describing natural phenomena. Derivatives and their generalizations appear in many fields of mathematics, such as complex analysis, functional analysis, differential geometry, measure theory, and abstract algebra.

Деривативтер

Тангенсқа тиісті нүктедегі туындысы – бұл графиктің тік өсуі. Осыны түсіну үшін, ең алдымен сызықтық теңдеудің еңістігін табуды үйрену керек, оның еңістігі – тіктігі. Оны кез келген екі нүктені таңдап, y-тің өзгеруін x-тің өзгеруіне бөлу арқылы табуға болады, яғни: . Мысалы, графигінің еңісі , төмендегі диаграммада көрсетілгендей: Ықшамдық үшін , көбінесе , грек әрпі дельтамен жазылады, бұл «өзгеріс» дегенді білдіреді. Сызықтық теңдеудің еңісі тұрақты, яғни еңіс барлық жерде бірдей. Алайда, көптеген графиктерде, мысалы, олардың тіктігі әр түрлі. Бұл дегеніміз, кез келген екі кездейсоқ нүктені таңдап, еңісті есептеу мүмкін емес. Оның орнына, графиктің еңістігін белгілі бір нүктеге «тек қана тиетін» сызық – тангенс сызығын қарастыру арқылы есептеуге болады. Белгілі бір нүктедегі қисықтың еңісі сол нүктеге жанасатын сызықтың еңісіне тең. Мысалы, функциясы нүктесінде еңісіне ие, өйткені сол нүктеге дейінгі тангенс сызығының еңісі : Функцияның туындысы – осы тангенс сызығының еңісі. Тангенс сызық тангенс нүктесінде бір нүктеге ғана тисе де, оны екі нүктеден өтетін сызықпен шамалауға болады. Бұл секант сызығы деп аталады. Егер секант сызық өтетін екі нүкте бір-біріне жақын болса, онда секант сызық тангенс сызығына өте ұқсас болады, нәтижесінде оның еңісі де өте ұқсас болады: Секант сызықты пайдаланудың артықшылығы – оның еңісін тікелей есептеуге болады. Графиктегі екі нүктеге қараңыз және , мұндағы – кішкентай сан. Бұрынғыдай, осы екі нүктеден өтетін түзудің еңістігін формуламен есептеуге болады. Бұл береді:

The derivative of at the point is the slope of the tangent to In order to gain an intuition for this, one must first be familiar with finding the slope of a linear equation, written in the form The slope of an equation is its steepness. It can be found by picking any two points and dividing the change in by the change in , meaning that For, the graph of has a slope of , as shown in the diagram below:

For brevity, is often written as , with being the Greek letter delta, meaning 'change in'. The slope of a linear equation is constant, meaning that the steepness is the same everywhere. However, many graphs such as vary in their steepness. This means that you can no longer pick any two arbitrary points and compute the slope. Instead, the slope of the graph can be computed by considering the tangent line—a line that 'just touches' a particular point. The slope of a curve at a particular point is equal to the slope of the tangent to that point. For example, has a slope of at because the slope of the tangent line to that point is equal to :

The derivative of a function is then simply the slope of this tangent line. Even though the tangent line only touches a single point at the point of tangency, it can be approximated by a line that goes through two points. This is known as a secant line. If the two points that the secant line goes through are close together, then the secant line closely resembles the tangent line, and, as a result, its slope is also very similar:

The advantage of using a secant line is that its slope can be calculated directly. Consider the two points on the graph and , where is a small number. As before, the slope of the line passing through these two points can be calculated with the formula This gives

As gets closer and closer to , the slope of the secant line gets closer and closer to the slope of the tangent line. This is formally written as

The above expression means 'as gets closer and closer to 0, the slope of the secant line gets closer and closer to a certain value'. The value that is being approached is the derivative of ; this can be written as If , the derivative can also be written as , with representing an infinitesimal change. For example, represents an infinitesimal change in x. In summary, if , then the derivative of is

provided such a limit exists. We have thus succeeded in properly defining the derivative of a function, meaning that the 'slope of the tangent line' now has a precise mathematical meaning. Differentiating a function using the above definition is known as differentiation from first principles. Here is a proof, using differentiation from first principles, that the derivative of is :

As approaches , approaches Therefore, This proof can be generalised to show that if and are constants. This is known as the power rule. For example, However, many other functions cannot be differentiated as easily as polynomial functions, meaning that sometimes further techniques are needed to find the derivative of a function. These techniques include the chain rule, product rule, and quotient rule. Other functions cannot be differentiated at all, giving rise to the concept of differentiability. A closely related concept to the derivative of a function is its differential. When x and y are real variables, the derivative of f at x is the slope of the tangent line to the graph of f at x. Because the source and target of f are one dimensional, the derivative of f is a real number. If x and y are vectors, then the best linear approximation to the graph of f depends on how f changes in several directions at once. Taking the best linear approximation in a single direction determines a partial derivative, which is usually denoted The linearization of f in all directions at once is called the total derivative.

-ге жақындаған сайын, секант сызығының еңісі тангенс сызығының еңісіне жақындаған сайын жақын болады. Бұл формальды түрде былай жазылады:

Жоғарыда көрсетілген өрнек «-ге жақындаған сайын, секант сызығының еңісі белгілі бір мәнге жақындаған сайын» дегенді білдіреді. Жақындатылған мән – ; бұны деп жазуға болады. Егер , туындысын , сансыз кішігірім өзгерісті білдіретін , деп жазуға болады. Мысалы, x-тің шексіз кіші өзгерісін білдіреді. Осылайша, функцияның туындысын дұрыс анықтауға қол жеткіздік, яғни «тангенс сызығының еңісі» қазір нақты математикалық мағынаға ие. Жоғарыда берілген анықтаманы пайдалана отырып функцияларды дифференциациялау – бірінші принциптерден дифференциациялау деп аталады. Бұл қуат ережесі деп аталады. Мысалы, . Басқа көптеген функцияларды полиномиялық функциялар сияқты оңай дифференциациялау мүмкін емес, яғни функцияның туындысын табу үшін кейде қосымша әдістер қажет. Бұл әдістерге тізбек ережесі, көбейту ережесі және бөлу ережесі кіреді. Басқа функцияларды мүлдем дифференциациялау мүмкін емес, бұл дифференциалданушылық ұғымына әкеледі. Функцияның туындысына жақын тұжырымдама – оның дифференциалы. Егер x және y нақты айнымалы болса, f-тің x-тегі туындысы f-тің x-тегі графигіне жанасатын түзудің еңістігі болады. f-тің көзі мен нысанасы бір өлшемді болғандықтан, f-тің туындысы нақты сан. Егер x және y вектор болса, онда f графигінің ең жақсы сызықтық шамалауы f бір мезгілде бірнеше бағытта қалай өзгеріп отыратынына байланысты. Бір бағыттағы ең жақсы сызықтық шамалауды қабылдау ішінара туындыны анықтайды, ол әдетте деп белгіленеді. f-тің барлық бағыттағы сызықтыққа айналуы жалпы туынды деп аталады.

Дифференциацияның тарихы

Тангенс сызығының ұғымындағы туындының идеясы өте ерте заманнан келеді, б.з.д. 300 ж. Евклид, б.з.д. 287–212 ж. Архимед және б.з.д. 262–190 ж. Пергалық Аполлоний сияқты ежелгі грек математиктеріне мәлім болған. Архимед де бөлінбейтін шамаларды қолданды, бірақ олар негізінен туындылар мен тангенстердің орнына аудандар мен көлемдерді зерттеу үшін пайдаланылды (қараңыз, Механикалық теоремалар әдісі). Өзгеріс жылдамдығын есептеу үшін шексіз кіші шамаларды қолдануды Бхаскара II (1114–1185) едәуір дамытты; іс жүзінде, оның еңбектерінде дифференциалдық есептеудің көптеген негізгі ұғымдарын табуға болады, мысалы, «Ролл теоремасы». Математик Шараф ад-Дин ат-Туси (1135–1213) «Теңдеулер туралы трактат» атты еңбегінде, кейбір кубтық теңдеулердің шешімдерін табу үшін тиісті кубтық көпмүшелердің максимумдарын анықтау арқылы шарттарды белгіледі. Мысалы, ол кубтық теңдеу ax^(2) – x^(3) максимумы (оң x үшін) кездесетінін анықтады және одан теңдеуде 0 < c < 4a^(3) / 27 болғанда дәл бір оң шешім бар екендігіне және екі оң шешім болғандағы жағдайды қорытындылады. Ғылым тарихшысы Рошди Рашид ат-Тусидің бұл нәтижені алу үшін кубтың туындысын қолданған болуы керек деп санайды. Алайда, Рашидтің тұжырымын басқа ғалымдар да жоққа шығарды, олар функцияның туындысын білуді қажет етпейтін басқа әдістермен нәтижеге қол жеткізуге болар еді деп мәлімдейді. Дифференциалдық және интегралдық есептеудің қазіргі заманғы дамуы, әдетте, Исаак Ньютонға (1643–1727) және Готфрид Вильгельм Лейбницке (1646–1716) байланыстырылады, олар дифференциация мен туындыларға тәуелсіз және біріктірілген тәсілдер ұсынды. Бірақ оларға осы еңбегі үшін құрмет беруге лайық болған негізгі түсінік – дифференциация мен интеграцияны байланыстыратын дифференциалдық және интегралдық есептеудің негізгі теоремасы болды: бұл аудандар мен көлемдерді есептеудің бұрынғы әдістерінің көпшілігін ескірген. Туындылар туралы идеялары үшін Ньютон да, Лейбниц те Пьер де Ферма (1607–1665), Исаак Барроу (1630–1677), Рене Декарт (1596–1650), Кристиан Гюйгенс (1629–1695), Блез Паскаль (1623–1662) және Джон Уоллис (1616–1703) сияқты математиктердің бұрынғы жұмыстарына сүйенді. Ферманың ықпалы туралы Ньютон бір хатында былай деп жазды: «Мен бұл әдісті [флюксияларды] Ферманың тангенстерді салу тәсілінен алдым, және оны абстрактілі теңдеулерге тікелей және кері қолданып, оны жалпылады». Исаак Барроуға туындыны ерте дамытқандығы үшін құрмет көрсетіледі. Дегенмен, Ньютон мен Лейбниц дифференциация тарихындағы маңызды тұлғалар болып қала береді, себебі Ньютон алғаш рет дифференциацияны теориялық физикаға қолданды, ал Лейбниц қазірге дейін қолданылып келе жатқан белгілердің көп бөлігін жүйелі түрде дамытты. 17 ғасырдан бері көптеген математиктер дифференциация теориясына үлес қосты. 19 ғасырда Огюстен Луи Коши (1789–1857), Бернхард Риман (1826–1866) және Карл Вейерштрасс (1815–1897) сияқты математиктер дифференциалдық және интегралдық есептеуді әлдеқайда қатаң негізге қойды. Осы кезеңде дифференциация Эвклид кеңістігіне және комплекс жазықтыққа жалпыланды. 20 ғасыр біздің бүгінгі түсінігімізге және туындыны қолдану практикасына екі маңызды қадам жасады: Лебег интегралы, интегралдық есептеуді көптеген функцияларға кеңейтуден басқа, абсолютті үздіксіздік ұғымымен туынды мен интеграция арасындағы байланысты нақтылады. Кейіннен үлестірулер теориясы (Лоран Шварцтан кейін) жалпыланған функцияларға (мысалы, бұрын кванттық механикада енгізілген Дирак дельта функциясы) туындыны кеңейтті және қазіргі қолданбалы талдау үшін, әсіресе, бөлшекті дифференциалдық теңдеулердің әлсіз шешімдерін пайдалану арқылы маңызды болды.

The concept of a derivative in the sense of a tangent line is a very old one, familiar to ancient Greek mathematicians such as Euclid (c. 300 BC), Archimedes (c. 287–212 BC), and Apollonius of Perga (c. 262–190 BC). Archimedes also made use of indivisibles, although these were primarily used to study areas and volumes rather than derivatives and tangents (see The Method of Mechanical Theorems). The use of infinitesimals to compute rates of change was developed significantly by Bhāskara II (1114–1185); indeed, it has been argued that many of the key notions of differential calculus can be found in his work, such as "Rolle's theorem". The mathematician, Sharaf al Dīn al Tūsī (1135–1213), in his Treatise on Equations, established conditions for some cubic equations to have solutions, by finding the maxima of appropriate cubic polynomials. He obtained, for example, that the maximum (for positive x) of the cubic ax^(2) – x^(3) occurs when , and concluded therefrom that the equation has exactly one positive solution when , and two positive solutions whenever 0 < c < 4a^(3) / 27. The historian of science, Roshdi Rashed, has argued that al Tūsī must have used the derivative of the cubic to obtain this result. Rashed's conclusion has been contested by other scholars, however, who argue that he could have obtained the result by other methods which do not require the derivative of the function to be known. The modern development of calculus is usually credited to Isaac Newton (1643–1727) and Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), who provided independent and unified approaches to differentiation and derivatives. The key insight, however, that earned them this credit, was the fundamental theorem of calculus relating differentiation and integration: this rendered obsolete most previous methods for computing areas and volumes. For their ideas on derivatives, both Newton and Leibniz built on significant earlier work by mathematicians such as Pierre de Fermat (1607 1665), Isaac Barrow (1630–1677), René Descartes (1596–1650), Christiaan Huygens (1629–1695), Blaise Pascal (1623–1662) and John Wallis (1616–1703). Regarding Fermat's influence, Newton once wrote in a letter that "I had the hint of this method [of fluxions] from Fermat's way of drawing tangents, and by applying it to abstract equations, directly and invertedly, I made it general." Isaac Barrow is generally given credit for the early development of the derivative. Nevertheless, Newton and Leibniz remain key figures in the history of differentiation, not least because Newton was the first to apply differentiation to theoretical physics, while Leibniz systematically developed much of the notation still used today. Since the 17th century many mathematicians have contributed to the theory of differentiation. In the 19th century, calculus was put on a much more rigorous footing by mathematicians such as Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866), and Karl Weierstrass (1815–1897). It was also during this period that the differentiation was generalized to Euclidean space and the complex plane. The 20th century brought two major steps towards our present understanding and practice of derivation : Lebesgue integration, besides extending integral calculus to many more functions, clarified the relation between derivation and integration with the notion of absolute continuity. Later the theory of distributions (after Laurent Schwartz) extended derivation to generalized functions (e. g., the Dirac delta function previously introduced in Quantum Mechanics) and became fundamental to nowadays applied analysis especially by the use of weak solutions to partial differential equations.

Өзгерістерді есептеу

Оптимизациялау мәселесінің бір мысалы: бетте жатқан екі нүкте арасындағы ең қысқа қисықты табу, қисық сол бетте болу шартымен. Егер бет жазық болса, ең қысқа қисық түзу сызық болады. Бірақ егер бет, мысалы, жұмыртқа тәрізді болса, ең қысқа жол бірден көрінбейді. Мұндай жолдар геодезиялық деп аталады, ал вариациялар есебіндегі ең маңызды мәселелердің бірі – геодезиялықты табу. Тағы бір мысал: кеңістіктегі жабық контурді толтыратын ең кішкентай ауданы бар бетті табу. Бұл бет минималды бет деп аталады, және оны да вариациялар есебін қолдану арқылы табуға болады.

Орташалық мәні теоремасы

Орташа мән теоремасы туындының мәндері мен бастапқы функцияның мәндері арасындағы қатынасты көрсетеді. Егер f(x) – нақты мәнді функция болса және a мен b – a < b шартын қанағаттандыратын сандар болса, онда орташа мән теоремасы, белгілі бір шарттар орындалғанда, (a, f(a)) және (b, f(b)) екі нүктесі арасындағы еңіс, f функциясының a мен b арасындағы кейбір c нүктесіндегі жанама сызығының еңісіне тең болатынын айтады. Басқаша айтқанда,

Іс жүзінде орташа мән теоремасы функцияны оның туындысы арқылы бақылауға мүмкіндік береді. Мысалы, f функциясының әрбір нүктеде туындысы нөлге тең болсын делік. Бұл оның жанама сызығының кез келген нүктеде көлденең екенін білдіреді, демек функция да көлденең болуы керек. Орташа мән теоремасы осыны дәлелдейді: f графигіндегі кез келген екі нүкте арасындағы еңіс, f функциясының жанама сызықтарының бірінің еңісіне тең болуы тиіс. Бұл еңістердің бәрі нөлге тең болғандықтан, график бойындағы кез келген нүктеден екінші нүктеге жүргізілген түзудің де еңісі нөлге тең болуы керек. Бірақ бұл функцияның жоғары немесе төмен жылмайтынын білдіреді, сондықтан ол көлденең түзу болуы керек. Туындыға қойылған күрделірек шарттар бастапқы функция туралы аз дәл, бірақ әлі де өте пайдалы ақпарат береді.

Тейлордың көптіктері мен Тейлордың тізбектері

Туынды функцияның берілген нүктедегі ең жақсы сызықтық жуықтауын береді, бірақ бұл бастапқы функциядан мүлдем өзгеше болуы мүмкін. Жуықтауды жақсартудың бір жолы – квадраттық жуықтауды қолдану. Яғни, x₀ нүктесіндегі f(x) нақты мәнді функцияның сызықтық жуықтауы a + b(x − x₀) түріндегі сызықтық көпмүше болып табылады, ал квадраттық көпмүше a + b(x − x₀) + c(x − x₀)² деп қарастыру арқылы жақсырақ жуықтауға қол жеткізуге болады. Одан да жақсырақ нәтиже алу үшін a + b(x − x₀) + c(x − x₀)² + d(x − x₀)³ кубтық көпмүшесін пайдалануға болады, және бұл идея кез келген жоғары дәрежелі көпмүшелерге дейін жалғастырылуы мүмкін. Бұл көпмүшелердің әрқайсысы үшін a, b, c және d коэффициенттерінің ең жақсы таңдауы болуы керек, бұл жуықтауды мүмкіндігінше жақсы етеді. x₀ нүктесінің маңында a үшін ең жақсы таңдау әрқашан f(x₀) болады, ал b үшін ең жақсы таңдау әрқашан f'(x₀) болады. c, d және жоғары дәрежелі коэффициенттер үшін бұл коэффициенттер f функциясының жоғары туындыларымен анықталады. c әрқашан f''(x₀)/2! болып табылады, ал d әрқашан f'''(x₀)/3! болады. Бұл коэффициенттерді пайдалану f функциясының Тейлор көпмүшесін береді. d дәрежелі Тейлор көпмүшесі – d дәрежелі f функциясына ең жақсы жуықтайтын көпмүше, ал оның коэффициенттерін жоғарыда келтірілген формулаларды жалпылау арқылы табуға болады. Тейлор теоремасы жуықтаудың қаншалықты жақсы екеніне нақты шек қояды. Егер f функциясы d дәрежесінен кем немесе оған тең болса, онда d дәрежелі Тейлор көпмүшесі f функциясына тең болады.

Тейлор көпмүшелерінің лиміті – Тейлор қатары деп аталатын шексіз қатар. Тейлор қатары көбінесе бастапқы функцияға өте жақсы жуықтау болып табылады. Тейлор қатарына тең функциялар аналитикалық функциялар деп аталады. Үзілістері немесе өткір бұрыштары бар функциялар аналитикалық бола алмайды; сонымен қатар, аналитикалық емес тегіс функциялар да бар.

Имплицитті функция теоремасы

Кейбір табиғи геометриялық пішіндер, мысалы шеңберлер, функция графигі ретінде салынбайды. Мысалы, егер онда шеңбер (x, y) жұптарының жиыны болып табылады, мұндағы бұл жиын f функциясының нөлдік жиыны деп аталады және f графигінен, яғни параболоидтан өзгеше. Имплицитті функция теоремасы сияқты қатынастарды функцияларға түрлендіреді. Ол егер f үздіріссіз дифференциалданатын болса, онда көптеген нүктелердің маңында f функциясының нөлдік жиыны функциялардың графиктерінің біріктірілген түріне ұқсайды. Бұл орынды емес нүктелер f функциясының туындысына байланысты анықталады. Мысалы, шеңберді екі функцияның графиктерінен біріктіруге болады. Шеңбердегі (−1, 0) және (1, 0) нүктелерінен басқа әрбір нүктенің маңында осы екі функцияның біреуі шеңберге ұқсас графикке ие. (Бұл екі функция сондай-ақ (−1, 0) және (1, 0) нүктелерінен өтеді, бірақ бұл имплицитті функция теоремасымен қамтамасыз етілмейді.) Имплицитті функция теоремасы кері функция теоремасымен тығыз байланысты, ол функция инвертирленетін функциялардың графиктерінің біріктірілген түріне ұқсағандағы жағдайды көрсетеді.

Басқа дереккөздер

Боман, Юджин және Роберт Роджерс. Дифференциалдық есептеу: тәжірибеден теорияға. 2022, жеке. psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf.