Введение

Область математики; подобласть исчисления

В математике дифференциальное исчисление – это подобласть исчисления, изучающая скорости изменения величин. Это одно из двух традиционных разделов исчисления, другим является интегральное исчисление – изучение площади под кривой. Основными объектами изучения в дифференциальном исчислении являются производная функции, связанные с ней понятия, такие как дифференциал, и их применения. Производная функции в выбранной точке описывает скорость изменения функции в окрестности этой точки. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Геометрически производная в точке представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке, при условии, что производная существует и определена в этой точке. Для вещественной функции одной вещественной переменной производная функции в точке обычно определяет наилучшее линейное приближение к функции в этой точке. Дифференциальное и интегральное исчисления связаны фундаментальной теоремой исчисления, которая утверждает, что дифференцирование является обратным процессом интегрированию. Дифференцирование находит применение практически во всех количественных дисциплинах. В физике производная перемещения движущегося тела по времени является скоростью тела, а производная скорости по времени – ускорением. Производная импульса тела по времени равна силе, действующей на тело; переформулировка этого утверждения о производной приводит к знаменитому уравнению, связанному со вторым законом Ньютона. Скорость химической реакции является производной. В исследовании операций производные определяют наиболее эффективные способы транспортировки материалов и проектирования предприятий. Производные часто используются для нахождения максимумов и минимумов функции. Уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными уравнениями и являются основополагающими при описании природных явлений. Производные и их обобщения встречаются во многих областях математики, таких как комплексный анализ, функциональный анализ, дифференциальная геометрия, теория меры и абстрактная алгебра.

Деривативные

Производная функции в точке – это наклон касательной к графику этой функции в этой точке. Чтобы получить интуитивное понимание этого, необходимо сначала уметь находить наклон линейного уравнения, записанного в виде . Наклон уравнения характеризует его крутизну. Его можно найти, выбрав любые две точки и разделив изменение на изменение , то есть для графика функции наклон равен , как показано на диаграмме ниже:

Для краткости часто записывается как , где – греческая буква дельта, обозначающая «изменение». Наклон линейного уравнения постоянен, то есть крутизна одинакова везде. Однако многие графики, такие как , имеют переменную крутизну. Это означает, что нельзя выбирать любые две произвольные точки для вычисления наклона. Вместо этого наклон графика можно вычислить, рассматривая касательную линию – линию, которая «касается» графика в определенной точке. Наклон кривой в конкретной точке равен наклону касательной к этой точке. Например, функция имеет наклон в точке , потому что наклон касательной прямой к графику в этой точке равен :

Производная функции – это, по сути, наклон этой касательной прямой. Даже если касательная линия касается графика только в одной точке, её можно аппроксимировать прямой, проходящей через две точки. Такая прямая называется секущей. Если две точки, через которые проходит секущая, расположены достаточно близко друг к другу, то секущая хорошо приближает касательную, и, следовательно, её наклон также близок к наклону касательной:

Преимущество использования секущей заключается в том, что её наклон можно вычислить напрямую. Рассмотрим две точки на графике функции и , где – малое число. Как и ранее, наклон прямой, проходящей через эти две точки, можно вычислить по формуле: Это дает

По мере того, как стремится к , наклон секущей стремится к наклону касательной. Это формально записывается как:

Выражение выше означает «по мере приближения к 0, наклон секущей приближается к определенному значению». Это значение является производной функции ; его можно записать как . Если , то производную можно записать как , где обозначает бесконечно малое изменение. Например, обозначает бесконечно малое изменение . В итоге, если , то производная функции равна

при условии существования такого предела. Таким образом, мы успешно дали точное определение производной функции, что означает, что «наклон касательной» теперь имеет четкий математический смысл. Дифференцирование функции с использованием этого определения называется дифференцированием из первых принципов. Вот доказательство, использующее дифференцирование из первых принципов, того, что производная равна :

По мере приближения к , приближается к . Следовательно, Это доказательство можно обобщить, чтобы показать, что если и – константы. Это известно как степенное правило. Например, . Однако многие другие функции нельзя дифференцировать так же легко, как полиномиальные функции, что означает, что иногда для нахождения производной функции требуются дополнительные методы. Эти методы включают правило цепочки, правило произведения и правило частного. Некоторые функции вообще нельзя дифференцировать, что приводит к понятию дифференцируемости. Тесно связанным с производной функции является её дифференциал. Когда и – вещественные переменные, производная в точке является наклоном касательной к графику в этой точке. Поскольку область определения и область значений одномерны, производная – это вещественное число. Если и – векторы, то наилучшее линейное приближение к графику зависит от того, как изменяется сразу в нескольких направлениях. Выбор наилучшего линейного приближения в одном направлении определяет частную производную, которая обычно обозначается . Линеаризация во всех направлениях одновременно называется полной производной.

История дифференциации

Понятие производной в смысле касательной линии очень старое, знакомое древнегреческим математикам, таким как Евклид (ок. 300 до н.э.), Архимед (ок. 287–212 до н.э.) и Аполлоний Пергский (ок. 262–190 до н.э.). Архимед также использовал неделимые, хотя они в основном применялись для изучения площадей и объемов, а не производных и касательных (см. «Метод механических теорем»). Использование бесконечно малых величин для вычисления скоростей изменения было значительно развито Бхаскарой II (1114–1185); действительно, утверждается, что многие ключевые понятия дифференциального исчисления можно найти в его трудах, например, «теорема Ролля». Математик Шараф ад-Дин ат-Туси (1135–1213), в своем трактате об уравнениях, установил условия, при которых некоторые кубические уравнения имеют решения, находя максимумы соответствующих кубических многочленов. Он получил, например, что максимум (для положительного x) кубического многочлена ax² – x³ достигается при x = 2a/3, и заключил из этого, что уравнение ax² – x³ = c имеет ровно одно положительное решение, когда c = 0, и два положительных решения, когда 0 < c < 4a³/27. Историк науки Рошди Рашед утверждает, что ат-Туси, вероятно, использовал производную кубического многочлена для получения этого результата. Однако вывод Рашеда оспаривается другими учеными, которые утверждают, что он мог получить результат другими методами, не требующими знания производной функции. Современное развитие исчисления обычно приписывается Исааку Ньютону (1643–1727) и Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646–1716), которые предложили независимые и унифицированные подходы к дифференцированию и производным. Однако ключевым прозрением, которое принесло им признание, была фундаментальная теорема исчисления, связывающая дифференцирование и интегрирование: она устарела большинство предыдущих методов вычисления площадей и объемов. В своих идеях о производных Ньютон и Лейбниц опирались на значительные более ранние работы таких математиков, как Пьер де Ферма (1607–1665), Исаак Барроу (1630–1677), Рене Декарт (1596–1650), Кристиан Гюйгенс (1629–1695), Блез Паскаль (1623–1662) и Джон Уоллис (1616–1703). Относительно влияния Ферма, Ньютон однажды написал в письме, что «я получил намек на этот метод [флюксий] из способа Ферма построения касательных, и, применяя его к абстрактным уравнениям, прямо и обратно, я обобщил его». Исааку Барроу обычно приписывают раннюю разработку производной. Тем не менее, Ньютон и Лейбниц остаются ключевыми фигурами в истории дифференцирования, не в последнюю очередь потому, что Ньютон первым применил дифференцирование к теоретической физике, а Лейбниц систематически разработал большую часть обозначений, используемых и сегодня. С XVII века многие математики внесли вклад в теорию дифференцирования. В XIX веке исчисление было поставлено на гораздо более строгую основу такими математиками, как Огюстен Луи Коши (1789–1857), Бернхард Риман (1826–1866) и Карл Вейерштрасс (1815–1897). В этот период дифференцирование также было обобщено на евклидово пространство и комплексную плоскость. В XX веке было сделано два важных шага к нашему современному пониманию и практике дифференцирования: интеграл Лебега, помимо расширения интегрального исчисления на множество других функций, прояснил связь между дифференцированием и интегрированием с помощью понятия абсолютной непрерывности. Позже теория распределений (после Лорана Шварца) расширила дифференцирование на обобщенные функции (например, дельта-функцию Дирака, ранее представленную в квантовой механике) и стала фундаментальной для современного прикладного анализа, особенно при использовании слабых решений дифференциальных уравнений в частных производных.

Расчет вариаций

Одним из примеров задачи оптимизации является: найти кратчайшую кривую между двумя точками на поверхности, при условии, что кривая также должна лежать на этой поверхности. Если поверхность является плоскостью, то кратчайшая кривая – это прямая линия. Но если поверхность, например, имеет форму яйца, то кратчайший путь не очевиден. Эти пути называются геодезическими, и одним из наиболее фундаментальных вопросов в вариационном исчислении является нахождение геодезических. Другой пример: найти поверхность наименьшей площади, ограниченную замкнутой кривой в пространстве. Эта поверхность называется минимальной поверхностью, и её также можно найти с помощью вариационного исчисления.

Теорема средней стоимости

Теорема о среднем значении устанавливает связь между значениями производной и значениями исходной функции. Если f(x) – функция, принимающая действительные значения, а a и b – числа, такие что a < b, то теорема о среднем значении утверждает, что при определенных условиях наклон между двумя точками (a, f(a)) и (b, f(b)) равен наклону касательной к графику f в некоторой точке c между a и b. Другими словами,

на практике теорема о среднем значении позволяет контролировать поведение функции, исходя из ее производной. Например, предположим, что производная f равна нулю в каждой точке. Это означает, что касательная к графику функции в каждой точке горизонтальна, следовательно, сама функция должна быть горизонтальной. Теорема о среднем значении доказывает это: наклон между любыми двумя точками на графике f должен быть равен наклону одной из касательных к графику f. Поскольку все эти наклоны равны нулю, любая прямая, соединяющая две точки на графике, также будет иметь нулевой наклон. Это означает, что функция не возрастает и не убывает, то есть представляет собой горизонтальную прямую. Более сложные условия, наложенные на производную, приводят к менее точной, но все еще полезной информации об исходной функции.

Полиномы Тейлора и ряды Тейлора

Производная дает наилучшее линейное приближение функции в данной точке, но это приближение может сильно отличаться от исходной функции. Один из способов улучшения приближения — использование квадратичного приближения. То есть, линеаризация вещественной функции f(x) в точке x₀ является линейным многочленом a + b(x − x₀), и можно получить лучшее приближение, рассмотрев квадратичный многочлен a + b(x − x₀) + c(x − x₀)². Еще лучше может быть кубический многочлен a + b(x − x₀) + c(x − x₀)² + d(x − x₀)³, и эта идея может быть расширена до многочленов произвольно высокой степени. Для каждого из этих многочленов должен существовать наилучший выбор коэффициентов a, b, c и d, который делает приближение максимально точным. В окрестности x₀ для a наилучший выбор всегда f(x₀), а для b — всегда f'(x₀). Для c, d и коэффициентов более высокой степени эти коэффициенты определяются более высокими производными f. c всегда должно быть f''(x₀)/2!, а d всегда должно быть f'''(x₀)/3!. Используя эти коэффициенты, получается полином Тейлора функции f. Полином Тейлора степени d — это многочлен степени d, который наилучшим образом приближает f, и его коэффициенты можно найти путем обобщения вышеуказанных формул. Теорема Тейлора дает точную оценку точности приближения. Если f — многочлен степени меньше или равной d, то полином Тейлора степени d равен f.

Предел полиномов Тейлора — бесконечный ряд, называемый рядом Тейлора. Ряд Тейлора часто является очень хорошим приближением к исходной функции. Функции, равные своему ряду Тейлора, называются аналитическими функциями. Функции с разрывами или острыми углами не могут быть аналитическими; более того, существуют гладкие функции, которые также не являются аналитическими.

Теорема о имплицитной функции

Некоторые естественные геометрические формы, такие как окружности, нельзя представить в виде графика функции. Например, если , то окружность – это множество всех пар (x, y), удовлетворяющих условию . Это множество называется нуль-множеством функции f и не совпадает с графиком f, который является параболоидом. Теорема о неявных функциях преобразует соотношения, такие как , в функции. Она утверждает, что если f непрерывно дифференцируема, то в окрестности большинства точек нуль-множество f выглядит как графики функций, соединенные вместе. Точки, где это не так, определяются условием на производной f. Окружность, например, можно составить из графиков двух функций. В окрестности каждой точки на окружности, кроме (−1, 0) и (1, 0), график одной из этих двух функций выглядит как окружность. (Эти две функции также проходят через точки (−1, 0) и (1, 0), но это не гарантируется теоремой о неявных функциях.) Теорема о неявных функциях тесно связана с теоремой об обратной функции, которая определяет, когда функция выглядит как графики обратимых функций, соединенных вместе.

Другие источники

Боман, Юджин и Роберт Роджерс. Дифференциальное исчисление: от практики к теории. 2022, personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf.