Кіріспе
Параметр функциясы арқылы қисықты бейнелеу. Математикада параметрлік теңдеу бір немесе бірнеше тәуелсіз айнымалылардың функциялары ретінде шамалар тобын анықтайды. Параметриялық теңдеулер геометриялық нысанды құрайтын нүктелердің координаттарын, мысалы, қисық немесе бетті, сәйкесінше параметриялық қисық және параметриялық бет түрінде көрсету үшін қолданылады. Мұндай жағдайларда теңдеулер жиынтығы объектінің параметрлік бейнелеуі немесе параметрлік жүйесі немесе параметрленуі (сондай-ақ параметризация деп жазылады) деп аталады. Мысалы, теңдеулер
In mathematics, a parametric equation defines a group of quantities as functions of one or more independent variables called parameters. Parametric equations are commonly used to express the coordinates of the points that make up a geometric object such as a curve or surface, called a parametric curve and parametric surface, respectively. In such cases, the equations are collectively called a parametric representation, or parametric system, or parameterization (alternatively spelled as parametrisation) of the object. For example, the equations
form a parametric representation of the unit circle, where t is the parameter: A point (x, y) is on the unit circle if and only if there is a value of t such that these two equations generate that point. Sometimes the parametric equations for the individual scalar output variables are combined into a single parametric equation in vectors:
Parametric representations are generally nonunique (see the "Examples in two dimensions" section below), so the same quantities may be expressed by a number of different parameterizations.
бірлік шеңбердің параметрлік бейнелеуін құрайды, мұнда t – параметр. (x, y) нүктесі бірлік шеңберде орналасқан, егер және тек қана t-ның белгілі бір мәні үшін осы екі теңдеу сол нүктенің координаталарын анықтаса. Кейде жеке скалярлық шығыс айнымалыларына арналған параметрлік теңдеулер векторлық бір параметрлік теңдеуге біріктіріледі:
In mathematics, a parametric equation defines a group of quantities as functions of one or more independent variables called parameters. Parametric equations are commonly used to express the coordinates of the points that make up a geometric object such as a curve or surface, called a parametric curve and parametric surface, respectively. In such cases, the equations are collectively called a parametric representation, or parametric system, or parameterization (alternatively spelled as parametrisation) of the object. For example, the equations
form a parametric representation of the unit circle, where t is the parameter: A point (x, y) is on the unit circle if and only if there is a value of t such that these two equations generate that point. Sometimes the parametric equations for the individual scalar output variables are combined into a single parametric equation in vectors:
Parametric representations are generally nonunique (see the "Examples in two dimensions" section below), so the same quantities may be expressed by a number of different parameterizations.
Параметрлік бейнелеулер көбінесе бірегей болмайды (төмендегі "Екі өлшемдегі мысалдар" бөлімін қараңыз), сондықтан бірдей шамалар әртүрлі параметрленулер арқылы берілуі мүмкін.
In mathematics, a parametric equation defines a group of quantities as functions of one or more independent variables called parameters. Parametric equations are commonly used to express the coordinates of the points that make up a geometric object such as a curve or surface, called a parametric curve and parametric surface, respectively. In such cases, the equations are collectively called a parametric representation, or parametric system, or parameterization (alternatively spelled as parametrisation) of the object. For example, the equations
form a parametric representation of the unit circle, where t is the parameter: A point (x, y) is on the unit circle if and only if there is a value of t such that these two equations generate that point. Sometimes the parametric equations for the individual scalar output variables are combined into a single parametric equation in vectors:
Parametric representations are generally nonunique (see the "Examples in two dimensions" section below), so the same quantities may be expressed by a number of different parameterizations.
Бүкіл сандар геометриясы
Бүкіл сан геометриясындағы көптеген мәселелерді параметрлік теңдеулерді пайдалану арқылы шешуге болады. Мұндай классикалық шешімнің бірі – Евклидтің тікбұрышты үшбұрыштарды параметрлеуі, онда қабырғаларының ұзындығы a, b және гипотенузасы c өзара жай бүтін сандар болады. a және b екеуі де жұп болмайды (әйтпесе a, b және c өзара жай болмас еді), сондықтан оларды алмастырып, a жұп сан болуын қамтамасыз етуге болады. Онда параметрлеу мына түрде болады:
мұндағы m және n параметрлері – оң, өзара жай бүтін сандар, олардың екеуі де тақ емес. a, b және c-ті кез келген оң бүтін санға көбейту арқылы үш қабырғасы бүтін сан ұзындығындағы барлық тікбұрышты үшбұрыштардың параметрленуіне қол жеткізіледі.
Лиссажоус қисығы
Лиссажу қисығы эллипс сияқты, бірақ x және y синусоидтары бір фазада болмайды. Канондық жағдайда Лиссажу қисығы келесідей беріледі:
мұнда және – фигураның жапырақшаларының санын сипаттайтын тұрақты шамалар.
Белгісіз сызықтық жүйелер
Егер сызықтық теңдеулер жүйесінде m теңдеу және n белгісіз болса, және жүйе бірнеше шешімге ие болса, онда ол анықталмаған жүйе деп аталады. Бұл жүйенің матрицасы мен толықтырылған матрицасының рангі r-ге тең болғанда және r < n шарты орындалғанда болады. Мұндай жағдайда n - r белгісіздерді параметрлер ретінде таңдап, барлық шешімдерді таңдалған белгісіздердің сызықтық комбинациясы түрінде жазылатын параметрлік теңдеу арқылы көрсетуге болады. Яғни, егер белгісіздер x₁, x₂, ..., xₙ болса, оларды шешімдерді өрнектеу үшін қайта реттеуге болады. Мұндай параметрлік теңдеу жүйенің шешімінің параметрленуі деп аталады. Шешімнің параметрлік түрін табудың стандартты әдісі – толықтырылған матрицаның бағаналық эшелондық түрін табу үшін Гаусс әдісін қолдану. Параметрлер ретінде қолданылатын белгісіздер – бұл бағаналық эшелондық түрінде жетекші элементі жоқ бағаналарға сәйкес келетін белгісіздер (яғни, жолдағы немесе матрицадағы сол жақтағы бірінші нөлдік емес элемент), ал параметрлік түрін осыдан тікелей табуға болады.
Such a parametric equation is called a of the solution of the system. The standard method for computing a parametric form of the solution it to use Gaussian elimination for computing a reduced row echelon form of the augmented matrix. Then the unknowns that can be used as parameters are the ones that correspond to columns not containing any leading entry (that is the left most non zero entry in a row or the matrix), and the parametric form can be straightforwardly deduced.