Введение

Представление кривой функцией параметра

В математике параметрическое уравнение определяет набор величин как функции одной или нескольких независимых переменных, называемых параметрами. Параметрические уравнения обычно используются для выражения координат точек, составляющих геометрический объект, такой как кривая или поверхность, которые называются параметрической кривой и параметрической поверхностью соответственно. В таких случаях уравнения в совокупности называются параметрическим представлением, параметрической системой или параметризацией (также параметризацией) объекта. Например, уравнения

образуют параметрическое представление единичной окружности, где t — параметр: точка (x, y) лежит на единичной окружности тогда и только тогда, когда существует значение t, при котором эти два уравнения определяют эту точку. Иногда параметрические уравнения для отдельных скалярных выходных переменных объединяют в одно векторное параметрическое уравнение:

Параметрические представления, как правило, не являются единственными (см. раздел "Примеры в двух измерениях" ниже), поэтому одни и те же величины могут быть выражены несколькими различными параметризациями.

Геометрия целых чисел

Многочисленные задачи в геометрии целых чисел могут быть решены с помощью параметрических уравнений. Классическим примером такого решения является параметризация Евклида прямоугольных треугольников, в которой длины их сторон a, b и гипотенузы c – взаимно простые целые числа. Поскольку a и b не могут быть оба четными (иначе a, b и c не были бы взаимно простыми), можно поменять их местами, чтобы a было четным, и тогда параметризация выглядит следующим образом:

где параметры m и n – положительные взаимно простые целые числа, не являющиеся оба нечетными. Умножая a, b и c на произвольное положительное целое число, получаем параметризацию всех прямоугольных треугольников, у которых три стороны имеют целые длины.

Кривая Лиссажоуса

Кривая Лиссажу́ похожа на эллипс, но синусоиды по оси x и оси y не находятся в фазе. В каноническом положении кривая Лиссажу́ задаётся выражением

где α и β — константы, описывающие число лепестков фигуры.

Неопределенные линейные системы

Система из m линейных уравнений с n неизвестными является неопределённой, если она имеет более одного решения. Это происходит, когда матрица системы и её расширенная матрица имеют одинаковый ранг r и r < n. В этом случае можно выбрать n − r неизвестных в качестве параметров и представить все решения в виде параметрического уравнения, где все неизвестные выражены как линейные комбинации выбранных параметров. То есть, если неизвестные – x₁, x₂, ..., xₙ, то можно переупорядочить их для выражения решений как …

Такое параметрическое уравнение называется параметрическим представлением решения системы. Стандартный метод вычисления параметрической формы решения – использование метода Гаусса для приведения расширенной матрицы к приведённому ступенчатому виду. Тогда неизвестные, которые могут быть использованы в качестве параметров, соответствуют столбцам, не содержащим ведущих элементов (то есть, крайнего слева ненулевого элемента в строке матрицы), и параметрическая форма может быть непосредственно получена.