Кіріспе
Қаптама түрі
Математикада, инвертирленетін қаптама – модульдер қаптамаларының тензорлық көбейтіндісіне қатысты кері қаптамаға ие сақиналы кеңістіктегі қаптама. Алгебралық геометрияда бұл сызықтық бунделдің топологиялық ұғымымен эквивалентті. Картье бөлгіштерімен байланысының арқасында, олар алгебралық сорттарды зерттеуде маңызды рөл атқарады.
In mathematics, an invertible sheaf is a sheaf on a ringed space which has an inverse with respect to tensor product of sheaves of modules. It is the equivalent in algebraic geometry of the topological notion of a line bundle. Due to their interactions with Cartier divisors, they play a central role in the study of algebraic varieties.
Анықтама
(X, OX) сақиналық кеңістік болсын. OX модульдерінің орамдарының изоморфизм кластары, OX модульдерінің тензорлық көбейтіндісі операциясы бойынша моноид құрайды. Бұл операцияның нейтраль элементі – OX-тың өзі. Кері айналдырылатын орамдар – бұл моноидтың кері элементтері. Атап айтқанда, егер L – OX модульдерінің орамы болса, онда L келесі эквивалентті шарттардың кез келгенін қанағаттандырса, кері айналдырылатын деп аталады: М орамы бар, сондықтан табиғи гомоморфизм изоморфизм болады, мұнда – қос орамды білдіреді. OX модульдерінен OX модульдеріне анықталған функтор санаттардың эквиваленттілігін құрайды. Бірінші дәрежелі әрбір жергілікті бос орам кері айналдырылатын болады. Егер X – жергілікті сақиналық кеңістік болса, онда L кері айналдырылатын болады, егер және тек қана ол бірінші дәрежелі жергілікті бос болса. Осы фактіге байланысты, кері айналдырылатын орамдар сызықтық орамдармен тығыз байланысты, кейде олар біріктіріліп қарастырылады.
There exists a sheaf M such that The natural homomorphism is an isomorphism, where denotes the dual sheaf The functor from OX modules to OX modules defined by is an equivalence of categories. Every locally free sheaf of rank one is invertible. If X is a locally ringed space, then L is invertible if and only if it is locally free of rank one. Because of this fact, invertible sheaves are closely related to line bundles, to the point where the two are sometimes conflated.
Мысалдар
X аффиндік схема Spec R болсын. Онда X-тегі инвертируемый дәнекер – R-дегі бірінші дәрежелі проективті модульға қатысты дәнекер. Мысалы, бұл алгебралық сандық өрістердің бөлшек идеалдарын қамтиды, себебі олар сандық өрістің бүтін сандарының сақиналары бойынша бірінші дәрежелі проективті модульдер болып табылады.
Пикард тобы
Жалпы алғанда, X-тегі инвертируемый қаптардың изоморфизм кластары тензорлық көбейтінді бойынша абелдік топты құрайды. Бұл топ идеалдық кластар тобын жалпылайды. Әдетте, ол Пикард функторы Pic арқылы жазылады. Ол алгебралық қисықтың Якоб сортының теориясын да қамтитындықтан, осы функторды зерттеу алгебралық геометриядағы маңызды мәселе болып табылады. X-тегі деректер арқылы инвертируемый қаптарды тікелей құру Картье бөлгіші түсінігіне алып келеді.
with Pic the Picard functor. Since it also includes the theory of the Jacobian variety of an algebraic curve, the study of this functor is a major issue in algebraic geometry. The direct construction of invertible sheaves by means of data on X leads to the concept of Cartier divisor.