Введение
Тип снопа
В математике инвертируемый сноп — это сноп на кольцевом пространстве, имеющий обратный относительно тензорного произведения снопов модулей. Он является эквивалентом понятия линейного расслоения в алгебраической геометрии. Благодаря своей связи с делителями Картье, инвертируемые слои играют центральную роль в изучении алгебраических многообразий.
In mathematics, an invertible sheaf is a sheaf on a ringed space which has an inverse with respect to tensor product of sheaves of modules. It is the equivalent in algebraic geometry of the topological notion of a line bundle. Due to their interactions with Cartier divisors, they play a central role in the study of algebraic varieties.
Определение
Пусть (X, OX) — кольцевое пространство. Классы изоморфизма снопов модулей над OX образуют моноид относительно операции тензорного произведения модулей над OX. Нейтральным элементом этой операции является сам OX. Обратимые снопы — это обратимые элементы этого моноида. В частности, сноп L модулей над OX называется обратимым, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
Существует сноп M такой, что естественный гомоморфизм является изоморфизмом, где обозначает двойственный сноп.
Функтор из модулей над OX в модули над OX, заданный формулой , является эквивалентностью категорий.
Любой локально свободный сноп ранга один является обратимым.
Если X — локально кольцевое пространство, то L обратим тогда и только тогда, когда он локально свободен ранга один. В силу этого факта, обратимые снопы тесно связаны с линейными расслоениями, настолько тесно, что иногда их отождествляют.
There exists a sheaf M such that The natural homomorphism is an isomorphism, where denotes the dual sheaf The functor from OX modules to OX modules defined by is an equivalence of categories. Every locally free sheaf of rank one is invertible. If X is a locally ringed space, then L is invertible if and only if it is locally free of rank one. Because of this fact, invertible sheaves are closely related to line bundles, to the point where the two are sometimes conflated.
Примеры
Пусть X — аффинная схема Spec R. Тогда инвертируемый пучок на X — это пучок, ассоциированный с проективным модулем ранга один над R. Например, это включает в себя дробные идеалы алгебраических числовых полей, поскольку они являются проективными модулями ранга один над кольцами целых чисел соответствующего числового поля.
Группа Пикарда
В целом, классы изоморфизма обратимых пучков на X сами образуют абелеву группу относительно тензорного произведения. Эта группа является обобщением группы классов идеалов. В общем виде это записывается как
с функтором Пикара. Поскольку она также охватывает теорию якобиана алгебраической кривой, изучение этого функтора является важной задачей в алгебраической геометрии. Непосредственное построение обратимых пучков с использованием данных на X приводит к понятию делителя Картье.