Кіріспе
Топологияда жиынтықтар отбасының жүйке кешені – бұл отбасыдағы жиынтықтардың өзара қиылысу схемасын тіркеп алатын абстрактілік кешен. Оны Павел Александров енгізген, қазір оның көптеген түрі мен жалпыламалары бар, соның ішінде жабынның Чех жүйкесі де бар, ол гипержабындар арқылы одан әрі жалпыланады. Ол көптеген қызықты топологиялық қасиеттерді алгоритмдік немесе комбинаторлық түрде бейнелейді.
Негізгі анықтама
Болсын – индекстер жиыны және – жиынтар отбасы. –ның нерві – индекс жиынының шекті кіші жиындарының жиыны. Ол барлық шекті кіші жиындарды қамтиды, мұндағы кіші жиындарының индекстері жиынында болатын элементтерінің қиылысы бос емес:
Александровтың бастапқы анықтамасында жиынтар кейбір топологиялық кеңістіктің ашық кіші жиындары болып табылады. Жиынтықта жеке элементтер (бос емес элементтер), жұптар (элементтердің жұптары), үштіктер және т.б. болуы мүмкін. Егер , онда -ның кез келген кіші жиыны да -да болады, бұл оны абстрактілік симплекстік кешен жасайды. Сондықтан N(C) көбінесе нервтік кешен деп аталады.
The set may contain singletons (elements such that is non empty), pairs (pairs of elements such that ), triplets, and so on. If , then any subset of is also in , making an abstract simplicial complex. Hence N(C) is often called the nerve complex of .
Мысалдар
X шеңбер болсын және , мұндағы доға оның жоғарғы жартысын, ал доға оның төменгі жартысын қамтиды, екі жағында да бір-бірімен тоғысады (барлық жағын қамту үшін екі жағында да тоғысуы керек). Онда , бұл абстракт 1-симплекс. X шеңбер болсын және , мұндағы әрқайсысы шеңбердің үштен бір бөлігін қамтитын доға, көршілес доғалармен біршама тоғысқанда. Содан кейін, {1,2,3} жиыны ішінде жоқ екенін ескеріңіз, себебі барлық үш жиынның ортақ қиылысы бос; демек, бұл толмаған үшбұрыш.
Чех нерві
Топологиялық кеңістіктің ашық жабыны немесе, жалпы алғанда, сайттағы жабын берілген жағдайда, біз жұптық талшықтық көбейтінділерді қарастыра аламыз, олар топологиялық кеңістік үшін нақты қиылыстар болып табылады. Мұндай қиылыстардың барлық жиынтығын деп атауға болады, ал үштік қиылыстарды деп атаймыз. Табиғи бейнелеулер және арқылы, біз , n есе талшықтық көбейтіндімен анықталатын қарапайым объектіні құра аламыз. Бұл Чех нерві. Байланысты компоненттерді алып, біз топологиялық түрде жүзеге асыруға болатын қарапайым жиынтық аламыз: .
By considering the natural maps and , we can construct a simplicial object defined by , n fold fibre product. This is the Čech nerve. By taking connected components we get a simplicial set, which we can realise topologically: .
Нерв теоремалары
Жүйке кешені – қарапайым комбинаторлық объект. Көбінесе, ол негізгі топологиялық кеңістікке (жинақтардың бірігіне) қарағанда әлдеқайда қарапайым. Сондықтан, табиғи сұрақ туындайды: -тің топологиясы -тің топологиясына эквиваленті ме?
Жалпы алғанда, бұл міндетті түрде осылай болуы керек емес. Мысалы, кез келген n сферасын екі жиырмамен жабуға болады, олардың қиылысы бос емес, жоғарыдағы 1-мысал сияқты. Бұл жағдайда – абстракт 1-симплекс, ол сызыққа ұқсас, бірақ сфераға емес. Дегенмен, кейбір жағдайларда – X-тің топологиясын көрсетеді. Мысалы, егер шеңбер үш ашық доғамен жабылса, олар жұптар бойынша қиылысса, 2-мысал сияқты, онда – 2-симплекс (ішкі бөлігі жоқ) және ол бастапқы шеңберге гомотопиялық түрде тең. Нерв теоремасы (немесе нерв леммасы) – C-ге жеткілікті шарттар беретін теорема, ол белгілі бір мағынада -тің топологиясын көрсетеді. Функторлық нерв теоремасы – бұл, мысалы, топологиялық деректерді талдауда маңызды болатын, тиісті мағынада функторлық нерв теоремасы.
Лерейдің жүйке теоремасы
Жан Лерейдің негізгі жүйке теоремасы былай гластейды: егер жиындардың кез келген қиылысы қысылғыш болса (эквивалентті түрде: кез келген шекті жиынтық бос немесе қысылғыш; эквивалентті түрде: С – жақсы ашық жабын), онда гомотопиялық түрде тең болады.