Введение

В математике барицентрическое разбиение — стандартный способ разделить данный симплекс на более мелкие симплексы. Его расширение на симплициальные комплексы является каноническим методом их уточнения. Следовательно, барицентрическое разбиение является важным инструментом в алгебраической топологии.

Мотивация

Барицентрическое подразделение — это операция над симплициальными комплексами. В алгебраической топологии иногда полезно заменять исходные пространства на симплициальные комплексы посредством триангуляций: такая замена позволяет приписывать пространствам комбинаторные инварианты, такие как характеристика Эйлера. Можно задаться вопросом, существует ли аналогичный способ замены непрерывных функций, определенных на топологических пространствах, функциями, линейными на симплексах и гомотопными исходным отображениям (см. также симплициальное приближение). В общем случае, такое соответствие требует уточнения заданного комплекса, то есть замены больших симплексов объединением меньших симплексов. Стандартным способом осуществления такого уточнения является барицентрическое подразделение. Более того, барицентрическое подразделение индуцирует отображения на группах гомологий и полезно для вычислительных целей, см. теоремы об вырезании и последовательность Майера — Вьеториса.

Барицентрическое подразделение симплекса

Для симплекса, заданного точками , барицентр определяется как точка . Для определения подразделения мы будем рассматривать симплекс как симплициальный комплекс, содержащий только один симплекс максимальной размерности, а именно сам симплекс. Барицентрическое подразделение симплекса может быть определено индуктивно по его размерности. Для точек, то есть симплексов размерности 0, барицентрическое подразделение определяется как сама точка. Предположим, что для симплекса размерности его грани размерности уже подразделены. Следовательно, существуют симплексы, покрывающие . Барицентрическое подразделение тогда определяется как геометрический симплициальный комплекс, максимальные симплексы которого размерности являются выпуклыми оболочками для одной пары для некоторого , таким образом, будет симплексов, покрывающих .

Можно обобщить подразделение для симплициальных комплексов, симплексы которых не все содержатся в одном симплексе максимальной размерности, то есть симплициальных комплексов, которые геометрически не соответствуют одному симплексу. Это можно сделать, выполняя описанные выше шаги одновременно для каждого симплекса максимальной размерности. Индукция будет основана на -м скелете симплициального комплекса. Это позволяет выполнять подразделение несколько раз.

Барицентрическое подразделение выпуклого политопа

Операция барицентрического подразделения может быть применена к любому выпуклому политопу любой размерности, в результате чего получается другой выпуклый политоп той же размерности. В этой версии барицентрического подразделения не требуется, чтобы политоп образовывал симплициальный комплекс: он может иметь грани, которые не являются симплексами. Эта операция двойственна всеобщей усекации. Вершины барицентрического подразделения соответствуют граням всех размерностей исходного политопа. Две вершины смежны в барицентрическом подразделении, если они соответствуют двум граням разных размерностей, при этом грань меньшей размерности содержится в грани большей размерности. Грани барицентрического подразделения являются симплексами, соответствующими флагам исходного политопа. Например, барицентрическое подразделение куба или правильного октаэдра является дисдиякис-додекаэдром. Вершины степени 6, 4 и 8 дисдиякис-додекаэдра соответствуют вершинам, ребрам и квадратным граням куба, соответственно.

Сетка

Пусть дан симплекс и определим. Один из способов измерения сетки геометрического симплициального комплекса — взять максимальный диаметр симплексов, содержащихся в этом комплексе. Пусть — мерный симплекс, полученный из покрытия, образованного барицентрическим делением. Тогда справедлива следующая оценка:
Следовательно, достаточно часто применяя барицентрическое деление, можно сделать наибольшую длину ребра сколь угодно малой.

Гомология

Для некоторых утверждений в теории гомологии желательно заменить симплициальные комплексы их подразбиением. На уровне групп симплициальной гомологии требуется отображение из группы гомологии исходного симплициального комплекса в группы гомологии подразбитого комплекса. Действительно, можно показать, что для любого подразбиения конечного симплициального комплекса существует единственная последовательность отображений между группами гомологии, такая, что для каждого элемента отображения выполняется равенство, и такая, что эти отображения индуцируют эндоморфизмы цепных комплексов. Более того, индуцированное отображение является изоморфизмом: подразбиение не меняет гомологию комплекса. Эта теорема играет важную роль в некоторых утверждениях алгебраической топологии, позволяя свести изучение поведения непрерывных отображений к изучению поведения симплициальных отображений, например, в теореме Лефшеца о неподвижной точке.

Теорема о фиксированной точке Лефшеца

Число Лефшеца — полезный инструмент для определения, имеет ли непрерывная функция неподвижные точки. Эти данные вычисляются следующим образом: предположим, что и — топологические пространства, допускающие конечные триангуляции. Непрерывное отображение индуцирует гомоморфизмы между его группами сингулярной гомологии с коэффициентами в поле. Это линейные отображения между векторными пространствами, поэтому их след можно определить, а их знакопеременная сумма

называется числом Лефшеца отображения . Если , это число является характеристикой Эйлера пространства . Теорема о неподвижной точке утверждает, что всякий раз, когда , имеет неподвижную точку. В доказательстве это сначала показывается только для сингулярных отображений, а затем обобщается на любые непрерывные функции с помощью теоремы об аппроксимации. Таким образом, теорема о неподвижной точке Брауэра является частным случаем этого утверждения. Пусть — эндоморфизм единичного шара. Для всех его групп гомологии равны нулю, а след всегда равен единице, так что , следовательно, имеет неподвижную точку.

Вырез

Для определения относительных гомологических групп можно использовать вырезание. Оно позволяет в некоторых случаях игнорировать подмножества топологических пространств при вычислении их гомологических групп и, следовательно, упрощает эти вычисления:

Пусть – топологическое пространство и – подмножества, где замкнуто и Тогда включение индуцирует изоморфизм для всех .

Вновь, в сингулярной гомологии могут встречаться отображения такие, что их образ не принадлежит указанным в теореме подмножествам. Аналогично, их можно рассматривать как сумму образов меньших симплексов, полученных барицентрическим подразделением.