Кіріспе
Тривиалды абелиандастыруға ие математикалық топ. Математикада, әсіресе топтар теориясында, егер топ өзінің коммутаторлық кіші тобына тең болса, немесе балама түрде, егер топтың тривиалды емес абелиандық фактор-тобы болмаса, онда ол толық топ деп аталады (балама түрде, оның абелиандастырылуы, яғни жалпы абелиандық фактор-тобы, тривиалды болады). Белгілермен айқанда, толық топ – G(1) = G (коммутаторлық кіші топ топқа тең) немесе, баламалы түрде, Gab = {1} (оның абелиандастырылуы тривиалды) болып табылады.
In mathematics, more specifically in group theory, a group is said to be perfect if it equals its own commutator subgroup, or equivalently, if the group has no non trivial abelian quotients (equivalently, its abelianization, which is the universal abelian quotient, is trivial). In symbols, a perfect group is one such that G(1) = G (the commutator subgroup equals the group), or equivalently one such that Gab = {1} (its abelianization is trivial).
Оредің болжамы
Коммутаторлық кіші топ коммутаторлар арқылы құрылғандықтан, кемелді топта коммутаторлардың көбейтінділерінен тұратын, бірақ өзі коммутатор емес элементтер кездесуі мүмкін. 1951 жылы Ойстейн Оре бес немесе одан көп элементі бар ауыспалы топтарда тек коммутаторлар ғана болатынын дәлелдеді және бұл барлық шекті абельдік емес жай топтар үшін де осылай деп болжады. Оренің болжамы 2008 жылы толыққанды дәлелденді. Дәлел классификация теоремасына сүйенген.
Грунның леммасы
Толық топтар туралы негізгі факт – Отто Грунның Грун леммасы бойынша тұжырымдамасы: толық топтың өзінің ортасы бойынша алынған бөлшегі ортасыздан (тривиальды ортасы бар) болады. Дәлел: Егер G толық топ болса, Z1 және Z2 G тобының жоғарғы орталық қатарының бірінші екі мүшесін белгілесін (яғни, Z1 – G тобының орталығы, ал Z2/Z1 – G/Z1 тобының орталығы). Егер H және K G тобының кіші топтары болса, H және K-нің коммутаторын [H, K] арқылы белгілеңіз және [Z1, G] = 1 және [Z2, G] ⊆ Z1 екенін ескеріңіз, сондай-ақ ([X, Y, Z] = [[X, Y], Z] конвенциясы қолданылады):
Үш кіші топ леммасы (немесе эквивалентті түрде, Холл-Витт тепе-теңдігі) бойынша, [G, Z2] = [[G, G], Z2] = [G, G, Z2] = {1} екендігі шығады. Сондықтан, Z2 ⊆ Z1 = Z(G), ал G / Z(G) бөлшектік тобының орталығы тривиальды топ болып табылады. Салдарынан, толық топтың барлық жоғары орталықтары (яғни, жоғарғы орталық қатардағы жоғары мүшелері) орталыққа тең болады.
Топтық гомология
Топтық гомология тұрғысынан алғанда, кемелді топ – бірінші гомология тобы нөлге тең болатын топ: H1(G, Z) = 0, себебі топтың бірінші гомология тобы – топтың абелиандалуымен бірдей, ал кемелділік тривиалды абелиандалуды білдіреді. Бұл анықтаманың бір артықшылығы – оны күшейтуге болады: Суперкемелді топ – алғашқы екі гомология тобы нөлге тең болатын топ. Ациклдік топ – барлық (кемітілген) гомология топтары нөлге тең болатын топ (Бұл барлық гомология топтарының, нөлдік топтан басқа, нөлге тең болуымен эквивалентті).
A superperfect group is one whose first two homology groups vanish: An acyclic group is one all of whose (reduced) homology groups vanish (This is equivalent to all homology groups other than vanishing.)
Қалыпты топ
Әсіресе алгебралық K-теория саласында, егер оның коммутаторлық кіші тобы кемелді болса, топ квази кемелді деп аталады; белгілермен, квази кемелді топ – G(1) = G(2) шартын қанағаттандыратын топ (коммутаторлық кіші топтың коммутаторы коммутаторлық кіші топқа тең), ал кемелді топ – G(1) = G шартын қанағаттандыратын топ (коммутаторлық кіші топ бүкіл топқа тең). Қараңыз .