Введение
Математическая группа с тривиальной абелианизацией
In mathematics, more specifically in group theory, a group is said to be perfect if it equals its own commutator subgroup, or equivalently, if the group has no non trivial abelian quotients (equivalently, its abelianization, which is the universal abelian quotient, is trivial). In symbols, a perfect group is one such that G(1) = G (the commutator subgroup equals the group), or equivalently one such that Gab = {1} (its abelianization is trivial).
В математике, в частности в теории групп, группа называется совершенной, если она совпадает со своей собственной коммутаторной подгруппой, или, что эквивалентно, если у группы нет нетривиальных абелевых факторгрупп (что эквивалентно, её абелианизация, являющаяся универсальной абелевой факторгруппой, тривиальна). В символах, совершенная группа – это группа, для которой G’ = G (коммутаторная подгруппа равна группе), или, что эквивалентно, Gab = {1} (её абелианизация тривиальна).
In mathematics, more specifically in group theory, a group is said to be perfect if it equals its own commutator subgroup, or equivalently, if the group has no non trivial abelian quotients (equivalently, its abelianization, which is the universal abelian quotient, is trivial). In symbols, a perfect group is one such that G(1) = G (the commutator subgroup equals the group), or equivalently one such that Gab = {1} (its abelianization is trivial).
Предположение Оре
Поскольку подгруппа коммутаторов порождается коммутаторами, совершенная группа может содержать элементы, являющиеся произведениями коммутаторов, но сами не являющиеся коммутаторами. Эйстейн Оре доказал в 1951 году, что для чередующихся групп на пяти и более элементах все элементы являются коммутаторами, и предположил, что это верно для всех конечных неабелевых простых групп. Предположение Оре было окончательно доказано в 2008 году. Доказательство опирается на теорему о классификации.
Лемма Грун
Основным фактом о совершенных группах является предложение Отто Груна, известное как лемма Груна: факторгруппа совершенной группы по ее центру является бесцентровой (имеет тривиальный центр). Доказательство: Если G — совершенная группа, обозначим Z1 и Z2 первыми двумя членами верхнего центрального ряда G (то есть Z1 — центр G, а Z2/Z1 — центр G/Z1). Если H и K — подгруппы G, обозначим коммутант H и K как [H, K] и заметим, что [Z1, G] = 1 и [Z2, G] ⊆ Z1, а следовательно (при условии, что [X, Y, Z] = [[X, Y], Z]):
По лемме о трех подгруппах (или, эквивалентно, по тождеству Холла — Витта) следует, что [G, Z2] = [[G, G], Z2] = [G, G, Z2] = {1}. Следовательно, Z2 ⊆ Z1 = Z(G), и центр факторгруппы G / Z(G) является тривиальной группой. Как следствие, все высшие центры (то есть последующие члены верхнего центрального ряда) совершенной группы равны ее центру.
Гомология группы
С точки зрения групповой гомологии, совершенная группа – это именно та, первая гомологическая группа которой равна нулю: H1(G, Z) = 0, поскольку первая гомологическая группа группы является абелизацией группы, а совершенство означает тривиальную абелизацию. Преимущество этого определения заключается в том, что оно допускает усиление: суперсовершенная группа – это группа, первые две гомологические группы которой равны нулю: ациклическая группа – это группа, все (редуцированные) гомологические группы которой равны нулю (это эквивалентно тому, что все гомологические группы, кроме нулевой, равны нулю).
A superperfect group is one whose first two homology groups vanish: An acyclic group is one all of whose (reduced) homology groups vanish (This is equivalent to all homology groups other than vanishing.)
Почти идеальная группа
Особенно в области алгебраической K-теории, группа называется квазисовершенной, если её коммутаторная подгруппа совершенна; в символах, квазисовершенная группа – это группа, для которой G(1) = G(2) (коммутатор коммутаторной подгруппы равен коммутаторной подгруппе), а совершенная группа – это группа, для которой G(1) = G (коммутаторная подгруппа совпадает со всей группой). См. и .