Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Гиперкомплексная система чисел
Hypercomplex number system
В математике октонионы — это нормированная алгебра деления над действительными числами, являющаяся разновидностью гиперкомплексной системы чисел. Октонионы обычно обозначаются заглавной буквой О, полужирным шрифтом 'O' или обозначением, используемым на доске. Октонионы имеют восемь измерений, что вдвое больше числа измерений кватернионов, расширением которых они являются. Они некоммутативны и неассоциативны, но удовлетворяют более слабой форме ассоциативности, называемой альтернативностью. Они также обладают свойством силового ассоциативности. Октонионы менее известны, чем кватернионы и комплексные числа, которые гораздо шире изучаются и применяются. Октонионы связаны с исключительными структурами в математике, в частности с исключительными группами Ли. Октонионы находят применение в таких областях, как теория струн, специальная теория относительности и квантовая логика. Применение конструкции Кейли — Диксона к октонионам приводит к седенионам.
In mathematics, the octonions are a normed division algebra over the real numbers, a kind of hypercomplex number system. The octonions are usually represented by the capital letter O, using boldface 'O' or blackboard bold Octonions have eight dimensions; twice the number of dimensions of the quaternions, of which they are an extension. They are noncommutative and nonassociative, but satisfy a weaker form of associativity; namely, they are alternative. They are also power associative. Octonions are not as well known as the quaternions and complex numbers, which are much more widely studied and used. Octonions are related to exceptional structures in mathematics, among them the exceptional Lie groups. Octonions have applications in fields such as string theory, special relativity and quantum logic. Applying the Cayley–Dickson construction to the octonions produces the sedenions.
История
Октонионы были открыты в 1843 году Джоном Т. Грейвсом, вдохновленным открытием его друга Уильяма Роуэна Гамильтона кватернионов. Грейвс назвал свое открытие "октавами" и упомянул о них в письме Гамильтону от 26 декабря 1843 года. Он опубликовал свои результаты чуть позже, чем статья Артура Кейли. Октонионы были открыты Кейли независимо и иногда называются "числами Кейли" или "алгеброй Кейли". Гамильтон описал раннюю историю открытия Грейвса.
The octonions were discovered in 1843 by John T. Graves, inspired by his friend William Rowan Hamilton's discovery of quaternions. Graves called his discovery "octaves", and mentioned them in a letter to Hamilton dated 26 December 1843. He first published his result slightly later than Arthur Cayley's article. The octonions were discovered independently by Cayley and are sometimes referred to as "Cayley numbers" or the "Cayley algebra". Hamilton described the early history of Graves's discovery.
Изотопы
Изотопия алгебры — это тройка биективных линейных отображений a, b, c, таких что если , то . Для этого эквивалентно автоморфизму. Изотопическая группа алгебры — это группа всех изотопий, содержащая группу автоморфизмов как подгруппу. Изотопическая группа октонионов — это группа Spin8(ℝ), где a, b, c действуют как три восьмимерных представления. Подгруппа элементов, в которой c фиксирует единицу, является подгруппой Spin7(ℝ), а подгруппа, в которой a, b и c все фиксируют единицу, является группой автоморфизмов G2.
An isotopy of an algebra is a triple of bijective linear maps a, b, c such that if then For this is the same as an automorphism. The isotopy group of an algebra is the group of all isotopies, which contains the group of automorphisms as a subgroup. The isotopy group of the octonions is the group Spin8('R'), with a, b, c acting as the three 8 dimensional representations. The subgroup of elements where c fixes the identity is the subgroup Spin7('R'), and the subgroup where a, b, c all fix the identity is the automorphism group G2.
Приложения
Октонионы играют значительную роль в классификации и построении других математических объектов. Например, исключительная группа Ли [[G2 (математика) ]] является группой автоморфизмов октонионов, а другие исключительные группы Ли [[F4 (математика), [[E6 (математика), [[E7 (математика) ]] и [[E8 (математика) ]] могут быть интерпретированы как изометрии определенных проективных плоскостей, заданных с использованием октонионов. Множество самосопряжённых 3 × 3 октонионных матриц, снабжённых симметризованным матричным произведением, определяет алгебру Альберта. В дискретной математике октонионы предоставляют элементарное выведение решётки Лича и, таким образом, тесно связаны со спорадическими простыми группами. Применение октонионов в физике в основном носит гипотетический характер. Например, в 1970-х годах предпринимались попытки понять кварки с помощью октонионного гильбертова пространства. Известно, что октонионы и тот факт, что существует только четыре нормированные алгебры с делением, связаны с пространственно-временными размерностями, в которых могут быть построены суперсимметричные квантовые теории поля. Также предпринимались попытки получить Стандартную модель физики элементарных частиц из октонионных конструкций, например, с использованием "алгебры Диксона" 'C' ⊗ 'H' ⊗ 'O'. Октонионы также возникали при изучении энтропии чёрных дыр, квантовой информатики и теории струн. Октонионы использовались в решениях задачи калибровки «рука-глаз» в робототехнике. Глубокие октонионные сети обеспечивают эффективное и компактное представление в приложениях машинного обучения.
The octonions play a significant role in the classification and construction of other mathematical entities. For example, the exceptional Lie group [[G2 (mathematics) is the automorphism group of the octonions, and the other exceptional Lie groups [[F4 (mathematics), [[E6 (mathematics), [[E7 (mathematics) and [[E8 (mathematics) can be understood as the isometries of certain projective planes defined using the octonions. The set of self adjoint 3 × 3 octonionic matrices, equipped with a symmetrized matrix product, defines the Albert algebra. In discrete mathematics, the octonions provide an elementary derivation of the Leech lattice, and thus they are closely related to the sporadic simple groups. Applications of the octonions to physics have largely been conjectural. For example, in the 1970s, attempts were made to understand quarks by way of an octonionic Hilbert space. It is known that the octonions, and the fact that only four normed division algebras can exist, relates to the spacetime dimensions in which supersymmetric quantum field theories can be constructed. Also, attempts have been made to obtain the Standard Model of elementary particle physics from octonionic constructions, for example using the "Dixon algebra" 'C' ⊗ 'H' ⊗ 'O'. Octonions have also arisen in the study of black hole entropy, quantum information science, and string theory. Octonions have been used in solutions to the hand eye calibration problem in robotics. Deep octonion networks provide a means of efficient and compact expression in machine learning applications.