Введение

В топологии нервный комплекс семейства множеств — это абстрактный комплекс, который фиксирует структуру пересечений множеств из этого семейства. Он был введен Павлом Александровым и с тех пор имеет множество вариантов и обобщений, среди которых чеховский нерв покрытия, который, в свою очередь, обобщается гиперпокрытиями. Он позволяет выявлять многие важные топологические свойства алгоритмическим или комбинаторным путем.

Основное определение

Пусть – множество индексов, а – семейство множеств. Нервом является множество конечных подмножеств индексного множества. Оно содержит все конечные подмножества такие, что пересечение множеств, чьи индексы входят в , не пусто:

В оригинальном определении Александрова множества являются открытыми подмножествами некоторого топологического пространства. Множество может содержать синглетоны (элементы, такие, что не пусто), пары (пары элементов, такие, что ), тройки и так далее. Если , то любое подмножество также принадлежит , что делает его абстрактным симплициальным комплексом. Следовательно, N(C) часто называют нервным комплексом .

Примеры

Пусть X — окружность и , где — дуга, покрывающая верхнюю половину окружности, а — дуга, покрывающая нижнюю половину, с некоторым перекрытием с обеих сторон (они должны перекрываться с обеих сторон, чтобы покрыть всю окружность). Тогда , являющийся абстрактным 1-симплексом. Пусть X — окружность и , где каждая из дуг покрывает одну треть окружности, с некоторым перекрытием с соседними дугами. Отметим, что {1, 2, 3} не принадлежит , поскольку общее пересечение всех трех множеств пусто; таким образом, является незаполненным треугольником.

Чехский нерв

При заданном открытом покрытии топологического пространства, или, в более общем случае, покрытии в сайте, мы можем рассматривать попарные волокнистые произведения, которые в случае топологического пространства являются просто пересечениями. Коллекцию всех таких пересечений можно обозначить как , а тройные пересечения – как . Рассматривая естественные отображения и , мы можем построить симплициальный объект, определяемый как -кратное волокнистое произведение. Это нерв Чеха. Переходя к связным компонентам, мы получаем симплициальный комплекс, который можно топологически реализовать как .

Нервные теоремы

Нервный комплекс – это простой комбинаторный объект. Часто он намного проще, чем базовое топологическое пространство (объединение множеств в ). Поэтому естественным вопросом является, эквивалентна ли топология нервного комплекса топологии исходного пространства.

В общем случае, это не обязательно так. Например, любую n-сферу можно покрыть двумя стягиваемыми множествами и , имеющими непустое пересечение, как в примере 1 выше. В этом случае нервный комплекс является абстрактным 1-симплексом, который похож на линию, но не на сферу. Однако в некоторых случаях нервный комплекс действительно отражает топологию X. Например, если круг покрыт тремя открытыми дугами, пересекающимися попарно, как в примере 2 выше, то нервный комплекс является 2-симплексом (без его внутренней области) и гомотопно эквивалентен исходному кругу. Нервная теорема (или нервная лемма) – это теорема, которая дает достаточные условия на C, гарантирующие, что нервный комплекс в некотором смысле отражает топологию. Функториальная нервная теорема – это нервная теорема, которая является функториальной в подходящем смысле, что, например, имеет решающее значение в топологическом анализе данных.

Теорема нерва Лерея

Основная теорема нерва Жана Лерея гласит, что если любое пересечение множеств в 𝒞 сократимо (эквивалентно: для каждого конечного множества 𝐼 множество ∩ᵢ∈𝐼 𝒞ᵢ либо пусто, либо сократимо; эквивалентно: 𝒞 – хорошее открытое покрытие), то 𝒞 сократимо к точке.