Кіріспе
Математикада Какея жиыны немесе Бесикович жиыны — Евклид кеңістігіндегі, кез келген бағытта бірлік сызық сегментін қамтитын нүктелер жиыны. Мысалы, Евклид жазықтығындағы 1/2 радиусы бар диск немесе үш өлшемді кеңістіктегі 1/2 радиусы бар шар — Какея жиыны болып табылады. Осы сала бойынша жүргізілген зерттеулердің көп бөлігі мұндай жиынның қаншалықты кішкентай болуы мүмкін екендігі мәселесіне арналған. Бесикович 0 өлшемді Бесикович жиындарының бар екенін көрсетті. Какея инелік жиыны (кейде Какея жиыны деп те аталады) — жазықтықтағы (Бесикович) жиын, ол бірлік сызық сегментін ішінде үздіксіз 180 градусқа бұруға мүмкіндік береді, осылайша бастапқы орнына кері бағытта оралады. Радиусы 1/2 диск — Какея инелік жиынының мысалы.
In mathematics, a Kakeya set, or Besicovitch set, is a set of points in Euclidean space which contains a unit line segment in every direction. For instance, a disk of radius 1/2 in the Euclidean plane, or a ball of radius 1/2 in three dimensional space, forms a Kakeya set. Much of the research in this area has studied the problem of how small such sets can be. Besicovitch showed that there are Besicovitch sets of measure zero. A Kakeya needle set (sometimes also known as a Kakeya set) is a (Besicovitch) set in the plane with a stronger property, that a unit line segment can be rotated continuously through 180 degrees within it, returning to its original position with reversed orientation. Again, the disk of radius 1/2 is an example of a Kakeya needle set.
Кекея ине проблемасы
Kakeya ине мәселесі жазықтықта бірлік ұзындығы бар ине 360° бұрыла алатын аймақтың ең кішкентай ауданы бар ма деген сұрақ қояды. Бұл сұрақ алғаш рет дөңес аймақтар үшін қойылған, және Пál көрсеткендей, дөңес жиынтардың ең кішкентай ауданы биіктігі 1 және ауданы 1/3-ке тең теңқабырлы үшбұрыш арқылы қамтамасыз етіледі. Какея дөңестік шектеусіз, ең кішкентай ауданы бар Kakeya жиынтығы үш ұшты дельтоид пішіндес болатынын болжаған сияқты. Дегенмен, бұл дұрыс емес; дөңес емес, кішкентай Kakeya жиынтықтары бар.
Айтылым
Осы Бесикович жиындары қаншалықты кішкентай болуы мүмкін деген сұрақ жоғары өлшемдерде де қойылды, бұл Какея болжамдары деп аталатын бірнеше болжамға әкелді және геометриялық өлшемдер теориясы деп аталатын математика саласын дамытуға ықпал етті. Атап айтқанда, егер нөлдік өлшемді Бесикович жиындары болса, олардың кейбір s өлшеміндегі Хаусдорф өлшемі де нөлге тең болуы мүмкін бе, мұнда s – олар орналасқан кеңістіктің өлшемінен кіші? Осы сұрақ келесі болжамды тудырады:
Какея жиыны болжамы: Rn-дегі Бесикович жиынын – кез келген бағытта бірлікке тең ұзындықтағы түзу кесіндісін қамтитын жиын деп анықтайық. Мұндай жиындардың Хаусдорф өлшемі мен Минковский өлшемі міндетті түрде n-ге тең болуы керек пе? Бұл n = 1, 2 үшін дұрыс екені белгілі, бірақ жоғары өлшемдерде тек толық емес нәтижелер ғана белгілі.
Талдау үшін қолдану
Біршама таңқаларлықтай, бұл болжамдар басқа салалардағы, әсіресе гармониялық талдаудағы бірқатар сұрақтармен байланысты екені көрсетілді. Мысалы, 1971 жылы Чарльз Фефферман Безикович жиынтығының құрылымын пайдаланып, 1-ден жоғары өлшемдерде, нөлдік нүктеде ортасы орналасқан және радиусы шексіздікке ұмтылатын шарлар бойынша алынған қысқартылған Фурье интегралдары p ≠ 2 болғанда Lp нормасында міндетті түрде жинақталмайтынын көрсетті (бұл бір өлшемді жағдайдан өзгеше, онда мұндай қысқартылған интегралдар жинақталады).
Дөңгелектер мен шарларды қамтитын жиынтықтар
Kakeya проблемасының аналогтары шеңберлер сияқты түзулерден артық жалпы пішіндерді қамтитын жиындарды қарастыруды да қамтиды. 1997 және 1999 жылдары Вольф, кез келген радиустағы сфераны қамтитын жиынтықтардың толық өлшемді болуы керек екенін дәлелдеді, яғни өлшемі ол жатқан кеңістіктің өлшемімен тең, және бұл дәлелдемені Kakeya максималдық функциясына ұқсас дөңгелек максималдық функциясының шектерін анықтау арқылы жасады. Нөлдік өлшемге ие кез келген нүктесінде сфераны қамтитын жиынтықтардың бар екендігі болжалды. Элиас Стейннің нәтижелері n ≥ 3 болғанда мұндай жиынтықтардың барлығының оң өлшемге ие болуын көрсетті, ал Марстранд n = 2 жағдайы үшін де дәл сол нәрсені дәлелдеді.
K-өлшекті дискілерді қамтитын жиынтықтар
Какея болжамының жалпылануы – әр бағыттағы түзу кесінділерінің орнына, мысалы, k өлшемді кіші кеңістіктердің бөліктерін қамтитын жиындарды қарастыру. (n, k) Безикович жиыны K – Rn кеңістігіндегі, Lebesgue өлшемі нөлге тең болатын әрбір k өлшемді бірлік дискінің жылжуын қамтитын, компактты жиын деп анықталады. Яғни, егер B нөлге ортақталған бірлік шарды білдірсе, кез келген k өлшемді P кіші кеңістігі үшін, Rn-де x нүктесі бар, онда (P ∩ B) + x ⊆ K. Осылайша, (n, 1) Безикович жиыны – бұрын сипатталған стандартты Безикович жиыны болып табылады. (n, k) Безикович болжамы: k > 1 болғанда (n, k) Безикович жиындары жоқ. 1979 жылы Марстранд (3, 2) Безикович жиынының бар екенін жоққа шығарды. Алайда, сол шамада Фальконер 2k > n үшін (n, k) Безикович жиындарының жоқтығын дәлелдеді. Бүгінгі күнге дейін ең жақсы нәтиже Бургайнге тиесілі, ол 2k−1 + k > n болғанда мұндай жиындардың жоқ екенін көрсетті.
Кекея шекті өрістердегі векторлық кеңістіктерде орналасады
1999 жылы Вольф Какея мәселесіне ұқсас шекті өріс аналогын ұсынды, бұл болжамды шешуге қолданылатын әдістерді Евклид жағдайына көшіруге болады деген үмітте. Шектелген өріс Какея болжамы: F – шекті өріс болсын, K ⊆ Fn – Какея жиыны болсын, яғни кез келген y ∈ Fn векторы үшін K-да {x + ty : t ∈ F} түзуін қамтитын x ∈ Fn бар. Онда K жиынының өлшемі кем дегенде cn|F|n тең болады, мұнда cn>0 тек n-ге байланысты тұрақты шама. Зив Двир 2008 жылы бұл болжамды дәлелдеді, бұл cn = 1/n! жағдайында дұрыс екенін көрсетті. Ол дәлелдеу барысында, |F| дәрежесінен төмен n айнымалыдағы кез келген полином, егер ол Какея жиынында нөлге тең болса, онда толығымен нөлге тең болуы керек екенін байқады. Екінші жағынан, |F| дәрежесінен төмен n айнымалыдағы полиномдар |F| дәрежесінен төмен өлшемді векторлық кеңістік құрайды. Сондықтан, |F| дәрежесінен төмен дәрежелі кем дегенде бір тривиальды емес полином бар, ол берілген жиынның нүктелерінің санынан кем болғанда нөлге тең болады. Бұл екі байқауды біріктіргенде, Какея жиындарының өлшемі кем дегенде |F|n/n! тең болуы керек екені көрінеді. Бұл әдістер бастапқы Какея болжамын дәлелдеуге көмектеседін бе, әлі белгісіз, бірақ бұл дәлелдеме алгебралық қарсы мысалдарды екіұшты етеді және бастапқы болжамға сенімділік береді. Двир шекті өрістегі Какея мәселесі және оның кездейсоқтық экстракторлармен байланысы туралы жақындағы жетістіктерге арналған шолу мақаласын жазды.
Zeev Dvir proved this conjecture in 2008, showing that the statement holds for cn = 1/n!. In his proof, he observed that any polynomial in n variables of degree less than |F| vanishing on a Kakeya set must be identically zero. On the other hand, the polynomials in n variables of degree less than |F| form a vector space of dimension
Therefore, there is at least one non trivial polynomial of degree less than |F| that vanishes on any given set with less than this number of points. Combining these two observations shows that Kakeya sets must have at least |F|n/n! points. It is not clear whether the techniques will extend to proving the original Kakeya conjecture but this proof does lend credence to the original conjecture by making essentially algebraic counterexamples unlikely. Dvir has written a survey article on recent progress on the finite field Kakeya problem and its relationship to randomness extractors.