Введение

Форма, содержащая единичные отрезки прямых во всех направлениях.

В математике множество Какеи, или множество Бесиковича, — это множество точек в евклидовом пространстве, содержащее единичный отрезок прямой в каждом направлении. Например, диск радиуса 1/2 в евклидовой плоскости или шар радиуса 1/2 в трехмерном пространстве являются множествами Какеи. Значительная часть исследований в этой области посвящена проблеме определения минимально возможного размера таких множеств. Бесикович показал, что существуют множества Бесиковича с мерой нуль. Множество игл Какеи (иногда также называемое множеством Какеи) — это (множество Бесиковича) в плоскости, обладающее более строгим свойством: единичный отрезок прямой может непрерывно поворачиваться на 180 градусов внутри него, возвращаясь в исходное положение с обратной ориентацией. Диск радиуса 1/2 также является примером множества игл Какеи.

Проблема иглы Какея

Проблема иглы Какеи ставит вопрос о том, существует ли минимальная площадь области на плоскости, в которой можно повернуть иглу единичной длины на 360°. Этот вопрос был впервые сформулирован для выпуклых областей, и минимальная площадь для выпуклых множеств достигается равносторонним треугольником высотой 1 и площадью 1/3, как показал Пал. Какея, по-видимому, предполагал, что множество Какеи минимальной площади, без ограничения выпуклости, будет иметь форму трехлучевого дельтоида. Однако это не так; существуют невыпуклые множества Какеи меньшей площади.

Заявление

Тот же вопрос о том, насколько малыми могут быть эти множества Бесиковича, был затем сформулирован для более высоких размерностей, что привело к возникновению ряда гипотез, известных как гипотезы Какеи, и способствовало становлению области математики, известной как геометрическая теория меры. В частности, если существуют множества Бесиковича нулевой меры, могут ли они также иметь нулевую размерность Хаусдорфа для некоторой размерности s, меньшей размерности пространства, в котором они расположены? Этот вопрос порождает следующую гипотезу:

Гипотеза о множестве Какеи: Определим множество Бесиковича в Rn как множество, содержащее единичный отрезек прямой в каждом направлении. Верно ли, что такие множества обязательно имеют размерность Хаусдорфа и размерность Минковского, равные n? Это известно для n = 1, 2, но для более высоких размерностей известны лишь частичные результаты.

Применение в анализе

К несколько неожиданному удивлению, эти предположения оказались связанными с рядом вопросов в других областях, в частности, в гармоническом анализе. Например, в 1971 году Чарльзу Фефферману удалось использовать построение множества Безиковича, чтобы показать, что в размерностях, больших 1, усечённые интегралы Фурье, вычисленные по шарам с центром в начале координат и радиусами, стремящимися к бесконечности, не обязаны сходиться в норме Lp при p ≠ 2 (это отличается от одномерного случая, где такие усечённые интегралы сходятся).

Комплекты, содержащие круги и сферы

Аналоги проблемы Какеи включают рассмотрение множеств, содержащих более общие формы, чем прямые, такие как окружности. В 1997 и 1999 годах Вольф доказал, что множества, содержащие сферу любого радиуса, должны иметь полную размерность, то есть их размерность равна размерности пространства, в котором они расположены, и доказал это, получив оценки для круговой максимальной функции, аналогичной максимальной функции Какеи. Было высказано предположение о существовании множеств, содержащих сферу в окрестности каждой точки меры нуль. Результаты Элиаса Стейна показали, что все такие множества должны иметь положительную меру при n ≥ 3, а Марстранд доказал то же самое для случая n = 2.

Комплекты с k-мерными дисками

Обобщение гипотезы Какеи состоит в рассмотрении множеств, содержащих, вместо отрезков прямых в каждом направлении, части k-мерных подпространств. Определим множество (n, k) Безиковича K как компактное множество в Rn, содержащее сдвиг каждого k-мерного единичного диска, имеющего меру Лебега, равную нулю. То есть, если B обозначает единичный шар с центром в нуле, то для каждого k-мерного подпространства P существует x ∈ Rn, такой что (P ∩ B) + x ⊆ K. Следовательно, множество Безиковича (n, 1) является стандартным множеством Безиковича, описанным ранее. Гипотеза (n, k) Безиковича: множеств (n, k) Безиковича при k > 1 не существует. В 1979 году Марстранд доказал отсутствие (3, 2) множеств Безиковича. Примерно в то же время Фальконер доказал отсутствие (n, k) множеств Безиковича при 2k > n. Наилучшая на сегодняшний день оценка принадлежит Бургейну, который доказал, что таких множеств не существует при 2k−1 + k > n.

Установка Kakeya в векторных пространствах на конечных полях

В 1999 году Вольф предложил аналогию задачи Какеи для конечных полей, надеясь, что методы решения этой гипотезы можно будет перенести на евклидов случай. Гипотеза Какеи для конечного поля: пусть F – конечное поле, K ⊆ Fn – множество Какеи, то есть для каждого вектора y ∈ Fn существует x ∈ Fn, такой что K содержит прямую {x + ty : t ∈ F}. Тогда размер множества K не меньше cn|F|n, где cn > 0 – константа, зависящая только от n.

Зeev Двир доказал эту гипотезу в 2008 году, показав, что утверждение верно при cn = 1/n!. В своем доказательстве он заметил, что любой многочлен от n переменных степени, меньшей чем |F|, обращающийся в нуль на множестве Какеи, должен быть тождественно равен нулю. С другой стороны, многочлены от n переменных степени, меньшей чем |F|, образуют векторное пространство размерности…

Следовательно, существует по крайней мере один нетривиальный многочлен степени, меньшей чем |F|, который обращается в нуль в любой заданной точке множества, содержащего менее чем это число точек. Сочетание этих двух наблюдений показывает, что множества Какеи должны содержать не менее |F|n/n! точек. Неясно, можно ли распространить эти методы на доказательство исходной гипотезы Какеи, но это доказательство придает ей правдоподобие, делая по существу алгебраические контрпримеры маловероятными. Двир написал обзорную статью о недавнем прогрессе в задаче Какеи для конечных полей и ее связи с экстракторами случайности.