Кіріспе
Фракталдық өлшемді анықтау әдісі
Фракталдық геометрияда Минковский–Булиганд өлшем, сондай-ақ Минковский өлшем немесе қорапты санау өлшем деп аталады, ол Евклид кеңістігіндегі немесе жалпы алғанда метрикалық кеңістіктегі жиынның фракталдық өлшемін анықтау тәсілі. Ол поляк математигі Герман Минковский мен француз математигі Жорж Булигандтың есімімен аталған. Фракталдың осы өлшемін есептеу үшін, осы фракталды біркелкі орналасқан торда жатқандай елестетіп, жиынтықты жабу үшін қанша қорап қажет екенін санап алыңыз. Қорапты санау өлшемдері осы санның қалай өзгергенін көру арқылы есептеледі. Егер - жиынтықты жабу үшін қажетті қабырға ұзындығындағы қораптардың саны болса, онда қорапты санау өлшемдері былайша анықталады:
Шамамен айтқанда, бұл өлшем – експонентасы, мұндай нәтиже бүтін өлшемді тегіс кеңістік (көпқырлы) үшін күтіледі. Егер жоғарыда көрсетілген шек болмаса, жоғарғы және төменгі шектерді алуға болады, олар сәйкесінше жоғарғы қорап өлшем және төменгі қорап өлшем деп аталады. Жоғарғы қорап өлшемі кейде энтропиялық өлшем, Колмогоров өлшемі, Колмогоров сыйымдылығы, шекті сыйымдылық немесе жоғарғы Минковский өлшемі деп аталады, ал төменгі қорап өлшемі төменгі Минковский өлшемі деп те аталады. Жоғарғы және төменгі қорап өлшемдері кең таралған Хаусдорф өлшемдерімен тығыз байланысты. Тек ерекше жағдайларда ғана оларды ажырату маңызды (төменде қараңыз). Фракталдық өлшемнің тағы бір өлшемі – корреляциялық өлшем.
If the above limit does not exist, one may still take the limit superior and limit inferior, which respectively define the upper box dimension and lower box dimension. The upper box dimension is sometimes called the entropy dimension, Kolmogorov dimension, Kolmogorov capacity, limit capacity or upper Minkowski dimension, while the lower box dimension is also called the lower Minkowski dimension. The upper and lower box dimensions are strongly related to the more popular Hausdorff dimension. Only in very special applications is it important to distinguish between the three (see below). Yet another measure of fractal dimension is the correlation dimension.
Қасиеттері
Екі қорап өлшемдері де шекті қосымша, яғни егер {A1, ..., An} жиынтықтардың шекті жиыны болса, онда
Дегенмен, олар санаулы қосымша емес, яғни бұл теңдік жиынтықтардың шексіз тізбегі үшін орындалмайды. Мысалы, бір нүктенің қорап өлшемі 0-ге тең, бірақ [0, 1] аралығындағы рационал сандар жиынының қорап өлшемі 1-ге тең. Хаусдорф өлшемі салыстырмалы түрде санаулы қосымша. Жоғарғы қорап өлшемінің төменгі қорап өлшемімен немесе Хаусдорф өлшемімен ортақ емес қызықты қасиеті – жиынтықтарды қосумен байланысы. Егер A және B Евклид кеңістігіндегі екі жиын болса, онда A + B жиыны A-дан алынған a және B-дан алынған b нүктелерінің барлық жұптарын алып, a + b қосып құралады. Онда: