Введение
Метод определения фрактальной размерности
In fractal geometry, the Minkowski–Bouligand dimension, also known as Minkowski dimension or box counting dimension, is a way of determining the fractal dimension of a set in a Euclidean space , or more generally in a metric space It is named after the Polish mathematician Hermann Minkowski and the French mathematician Georges Bouligand. To calculate this dimension for a fractal , imagine this fractal lying on an evenly spaced grid and count how many boxes are required to cover the set. The box counting dimension is calculated by seeing how this number changes as we make the grid finer by applying a box counting algorithm. Suppose that is the number of boxes of side length required to cover the set. Then the box counting dimension is defined as
Roughly speaking, this means that the dimension is the exponent such that , which is what one would expect in the trivial case where is a smooth space (a manifold) of integer dimension
If the above limit does not exist, one may still take the limit superior and limit inferior, which respectively define the upper box dimension and lower box dimension. The upper box dimension is sometimes called the entropy dimension, Kolmogorov dimension, Kolmogorov capacity, limit capacity or upper Minkowski dimension, while the lower box dimension is also called the lower Minkowski dimension. The upper and lower box dimensions are strongly related to the more popular Hausdorff dimension. Only in very special applications is it important to distinguish between the three (see below). Yet another measure of fractal dimension is the correlation dimension.
Во фрактальной геометрии размерность Минковского — Булигана, также известная как размерность Минковского или размерность счета ящиков, является способом определения фрактальной размерности множества в евклидовом пространстве или, в более общем случае, в метрическом пространстве. Она названа в честь польского математика Германна Минковского и французского математика Жоржа Булигана. Чтобы вычислить эту размерность для фрактала, представьте этот фрактал, лежащий на равномерной сетке, и подсчитайте, сколько ящиков требуется для покрытия множества. Размерность счета ящиков вычисляется путем определения того, как это число изменяется при уточнении сетки с помощью алгоритма счета ящиков. Пусть *N* – количество ящиков со стороной *ε*, необходимых для покрытия множества. Тогда размерность счета ящиков определяется как:
In fractal geometry, the Minkowski–Bouligand dimension, also known as Minkowski dimension or box counting dimension, is a way of determining the fractal dimension of a set in a Euclidean space , or more generally in a metric space It is named after the Polish mathematician Hermann Minkowski and the French mathematician Georges Bouligand. To calculate this dimension for a fractal , imagine this fractal lying on an evenly spaced grid and count how many boxes are required to cover the set. The box counting dimension is calculated by seeing how this number changes as we make the grid finer by applying a box counting algorithm. Suppose that is the number of boxes of side length required to cover the set. Then the box counting dimension is defined as
Roughly speaking, this means that the dimension is the exponent such that , which is what one would expect in the trivial case where is a smooth space (a manifold) of integer dimension
If the above limit does not exist, one may still take the limit superior and limit inferior, which respectively define the upper box dimension and lower box dimension. The upper box dimension is sometimes called the entropy dimension, Kolmogorov dimension, Kolmogorov capacity, limit capacity or upper Minkowski dimension, while the lower box dimension is also called the lower Minkowski dimension. The upper and lower box dimensions are strongly related to the more popular Hausdorff dimension. Only in very special applications is it important to distinguish between the three (see below). Yet another measure of fractal dimension is the correlation dimension.
Приблизительно говоря, это означает, что размерность является показателем *D* таким, что *N* ~ *ε*<sup>-D</sup>, что можно ожидать в тривиальном случае, когда множество является гладким пространством (многообразием) целой размерности.
In fractal geometry, the Minkowski–Bouligand dimension, also known as Minkowski dimension or box counting dimension, is a way of determining the fractal dimension of a set in a Euclidean space , or more generally in a metric space It is named after the Polish mathematician Hermann Minkowski and the French mathematician Georges Bouligand. To calculate this dimension for a fractal , imagine this fractal lying on an evenly spaced grid and count how many boxes are required to cover the set. The box counting dimension is calculated by seeing how this number changes as we make the grid finer by applying a box counting algorithm. Suppose that is the number of boxes of side length required to cover the set. Then the box counting dimension is defined as
Roughly speaking, this means that the dimension is the exponent such that , which is what one would expect in the trivial case where is a smooth space (a manifold) of integer dimension
If the above limit does not exist, one may still take the limit superior and limit inferior, which respectively define the upper box dimension and lower box dimension. The upper box dimension is sometimes called the entropy dimension, Kolmogorov dimension, Kolmogorov capacity, limit capacity or upper Minkowski dimension, while the lower box dimension is also called the lower Minkowski dimension. The upper and lower box dimensions are strongly related to the more popular Hausdorff dimension. Only in very special applications is it important to distinguish between the three (see below). Yet another measure of fractal dimension is the correlation dimension.
Если указанный предел не существует, можно все же взять верхний и нижний пределы, которые соответственно определяют верхнюю и нижнюю размерности счета ящиков. Верхняя размерность счета ящиков иногда называется размерностью энтропии, размерностью Колмогорова, емкостью Колмогорова, предельной емкостью или верхней размерностью Минковского, а нижняя размерность счета ящиков также называется нижней размерностью Минковского. Верхние и нижние размерности счета ящиков тесно связаны с более распространенной размерностью Хаусдорфа. Только в очень специфических приложениях важно различать эти три показателя (см. ниже). Еще одним показателем фрактальной размерности является размерность корреляции.
In fractal geometry, the Minkowski–Bouligand dimension, also known as Minkowski dimension or box counting dimension, is a way of determining the fractal dimension of a set in a Euclidean space , or more generally in a metric space It is named after the Polish mathematician Hermann Minkowski and the French mathematician Georges Bouligand. To calculate this dimension for a fractal , imagine this fractal lying on an evenly spaced grid and count how many boxes are required to cover the set. The box counting dimension is calculated by seeing how this number changes as we make the grid finer by applying a box counting algorithm. Suppose that is the number of boxes of side length required to cover the set. Then the box counting dimension is defined as
Roughly speaking, this means that the dimension is the exponent such that , which is what one would expect in the trivial case where is a smooth space (a manifold) of integer dimension
If the above limit does not exist, one may still take the limit superior and limit inferior, which respectively define the upper box dimension and lower box dimension. The upper box dimension is sometimes called the entropy dimension, Kolmogorov dimension, Kolmogorov capacity, limit capacity or upper Minkowski dimension, while the lower box dimension is also called the lower Minkowski dimension. The upper and lower box dimensions are strongly related to the more popular Hausdorff dimension. Only in very special applications is it important to distinguish between the three (see below). Yet another measure of fractal dimension is the correlation dimension.
Свойства
Оба измерения ящика конечно аддитивны, то есть если {A1, …, An} – конечная коллекция множеств, то
Однако, они не являются счетно аддитивными, то есть это равенство не выполняется для бесконечной последовательности множеств. Например, размерность ящика отдельной точки равна 0, но размерность ящика множества рациональных чисел в интервале [0, 1] равна 1. В отличие от этого, мера Хаусдорфа является счетно аддитивной. Интересным свойством верхнего измерения ящика, которое не разделяют ни нижнее измерение ящика, ни измерение Хаусдорфа, является связь с операцией сложения множеств. Если A и B – два множества в евклидовом пространстве, то A + B образуется путем взятия всех пар точек a, b, где a принадлежит A, а b принадлежит B, и вычисления их суммы a + b. Имеем: