Кіріспе

Математикалық топ, бір элементтің дәрежелері жиыны ретінде жасалатын. Абстрактік алгебрада, циклдік топ немесе моногендік топ – бұл Cn (сондай-ақ жиі n немесе Zn, p-адық сандардың коммутативтік сақинасымен шатастырылмауы керек) деп белгіленетін, бір элементпен генерленетін топ. Яғни, бұл бір ассоциативті екілік амалға ие болған инверттенетін элементтер жиыны, және ол g элементін қамтиды, сонда топтың басқа барлық элементтерін g немесе оның кері амалын қайталап қолдану арқылы алуға болады. Әрбір элементті көбейту нотациясында g-нің бүтін дәрежесі ретінде немесе қосу нотациясында g-нің бүтін еселігі ретінде жазуға болады. Бұл g элементі топтың генераторы деп аталады. Осы шатасуды болдырмау үшін Бурбаки бір генераторы бар топ үшін моногендік топ терминін енгізді және "циклдік топ" терминін тек шекті моногендік топты білдіру үшін қолданды, "шексиз циклдік топ" термині қолданылмайды.

Бүкіл сандар мен модульді қосу

Z бүтін сандар жиыны қосу операциясы бойынша топты құрайды. Бұл Z/nZ сақинасының бірліктерінің көбейту тобы; олардың саны φ(n) тең, мұнда φ – Эйлердің тотиент функциясы. Мысалы, (Z/6Z)× = {1, 5}, ал 6 екі еселенген тақ сан болғандықтан, бұл циклдік топ. Керісінше, (Z/8Z)× = {1, 3, 5, 7} Клейн 4 тобы болып табылады және циклдік емес. (Z/nZ)× циклдік болған жағдайда, оның генераторлары n модулі бойынша түпнұсқа тамырлар деп аталады.

p жай саны үшін (Z/pZ)× тобы әрқашан циклдік болады, ол p реті бар шекті өрістің нөлдік емес элементтерінен тұрады. Жалпырақ айтқанда, кез келген өрістің көбейту тобының кез келген шекті кіші тобы циклдік болады.

Ротациялық симметриялар

Көпбұрыштың айналу симметриялары жиынтығы шекті циклдік топты құрайды. Егер көпбұрышты айналдыру арқылы (бос айналымды қоса алғанда) өзіне келтірудің n әртүрлі тәсілі болса, онда бұл симметрия тобы Z/nZ-ге изоморфты болады. Үш немесе одан жоғары өлшемдерде циклдік болатын басқа шекті симметрия топтары да бар, бірақ олардың бәрі де ось маңындағы айналу емес, керісінше роторефлексиялар. Шеңбердің барлық айналуларының тобы (шеңбер тобы, сондай-ақ S1 деп белгіленеді) циклдік емес, себебі барлық айналуларды тудыратын бір ғана айналу жоқ. Шындығында, шексіз циклдік топ C∞ санаулы, ал S1 санаулы емес. Рационалды бұрыштар бойынша айналу тобы санаулы, бірақ бәрібір циклдік емес.

Галуа теориясы

Бірліктің n-ші түбірі – n-ші дәрежеге көтерілгенде 1-ге тең болатын кешенді сан, xn − 1 көпмүшесінің түбірі. Бірліктің барлық n-ші түбірлерінің жиыны көбейту бойынша n реттік циклдік топты құрайды. Керісінше, егер F шекті өріс және G шекті циклдік топ берілсе, онда F өрісінің Galois тобы G болатын шекті кеңейтімі бар.

Кіші топтар

Циклдік топтардың барлық кіші топтары мен фактор-топтары циклдік болып табылады. Атап айтқанда, Z-дің барлық кіші топтары m = mZ түрінде болады, мұнда m – оң бүтін сан. Бұл кіші топтардың бәрі бір-бірінен өзгеше, ал тривиалды топ {0} = 0Z-ден басқа, олардың бәрі Z-ге изоморфты. Z кіші топтарының торсы, бөлінгіштік бойынша реттелген натурал сандар торсының дуалына изоморфты. Сондықтан, p жай санының тривиалды емес бөлгіштері болмағандықтан, pZ – максималды дұрыс кіші топ, ал фактор-топ Z/pZ – қарапайым; шындығында, циклдік топ қарапайым болады, егер және тек қана оның реті жай сан болса. Барлық фактор-топтар Z/nZ шекті, бірақ 1=Z/0Z = Z/{0} ерекшелік құрайды. n-нің кез келген оң бөлгіші d үшін, Z/nZ фактор-тобында n/d қалдық класымен туындатылған дәл бір d ретті кіші топ бар. Басқа кіші топтар жоқ.

Қосымша қасиеттері

Әрбір циклдік топ Абельдік болады. (Және егер n жай сан болса, онда n-нің нақты бөлгіші ретіндегі бір ғана элемент бар, яғни бірлік элемент.) Z/nZ-дегі m элементінің реті n/gcd(n,m) тең. Егер n және m өзара жай болса, онда екі циклдік топтың тікелей көбейтіндісі Z/nZ және Z/mZ, Z/nmZ циклдік тобына изоморфты болады, және керісі де дұрыс: бұл қытайлық қалдық теоремасының бір түрі. Мысалы, Z/12Z, (k mod 12) → (k mod 3, k mod 4) изоморфизмі бойынша Z/3Z × Z/4Z тікелей көбейтіндісіне изоморфты, бірақ Z/6Z × Z/2Z-ға изоморфты емес, онда әрбір элементтің реті 6-дан аспайды. Егер p жай сан болса, онда p элементі бар кез келген топ Z/pZ қарапайым тобына изоморфты болады. n саны, егер Z/nZ n ретінің жалғыз тобы болса, циклдік сан деп аталады, бұл 1=gcd(n, φ(n)) = 1 болғанда ғана орындалады. Циклдік сандар тізбегіне барлық жай сандар кіреді, бірақ 15 сияқты кейбіреулері құрама сандар болып табылады. Дегенмен, барлық циклдік сандар 2-ден басқа жұп емес. Циклдік сандар:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143.

Осы анықтама циклдік топтардың топтық ұсынылуына және шекті n үшін оның бар екеніне тікелей сілтеме жасайды.

Өкілдіктер

Циклдік топтың бейнелеу теориясы, әдеттегі шекті топтардың бейнелеу теориясы үшін маңызды бастапқы жағдай болып табылады. Күрделі жағдайда, циклдік топтың бейнелеуі сызықтық мінездемелердің тікелей қосындысына жіктеледі, бұл мінездеме теориясы мен бейнелеу теориясы арасындағы байланысты айқынды етеді. Оң сипаттама жағдайында, циклдік топтың бөлшектік емес бейнелеулері циклдік Силоу топшалары бар топтардың бейнелеу теориясы үшін модель және индуктивті негіз құрайды, сондай-ақ жалпы алғанда, циклдік кемшіліктері бар блоктардың бейнелеу теориясы үшін де қолданылады.

Кейли графигі

Кейли графигі – G тобы және S генераторлар жиынынан тұратын (G, S) жұп арқылы анықталатын график; оның әрбір топ элементе үшін бір төбесі бар, ал әр генератормен элементтің көбейтіндісі үшін бір қабырғасы бар. Бір ғана генераторы бар шекті циклдік топ үшін Кейли графигі циклдық график болып табылады, ал генераторы бар шексіз циклдік топ үшін Кейли графигі екі жақты шексіз жол график болып табылады. Дегенмен, Кейли графигін басқа генераторлар жиындарынан да құруға болады. Кез келген генератор жиындары бар циклдік топтардың Кейли графиктері циркулянттық графиктер деп аталады. Бұл графиктерді геометриялық түрде шеңберде немесе түзуде тең арақашықтықта орналасқан нүктелер жиыны ретінде бейнелеуге болады, мұнда әрбір нүкте көрші нүктелерімен бірдей қашықтықтар жиыны арқылы байланысқан. Олар – симметрия тобы транзитивті циклдік топты қамтитын, төбелік транзитивті графиктердің нақты мысалы.

Эндоморфизмдер

Абельдік топтың эндоморфизм сақинасы сақина ретінде Z/nZ-ның өзіне изоморфты. Бұл изоморфизм бойынша r саны Z/nZ эндоморфизміне сәйкес келеді, ол әрбір элементті оның r көшірмесінің қосындысына бейнелейді. Бұл биекция болып табылады, егер және тек қана r саны n санымен өзара жай болса, сондықтан Z/nZ автоморфизм тобы бірлік топқа (Z/nZ)× изоморфты. Мұндай топтың мысалы – Z/nZ және Z тікелей көбейтіндісі, онда Z факторының шекті индексі n-ге тең. Громов гиперболалық тобының кез келген абельдік кіші тобы дерлік циклдік болып табылады.

Проциклді топтар

Проциклді топ – бір элементпен топологиялық түрде құралатын топ. Проциклді топтардың мысалдарына түпкілікті бүтін сандар немесе p жай саны үшін p-адық бүтін сандар жатады.

Жергілікті циклдік топтар

Жергілікті циклдік топ — әрбір шекті түрде жасалған кіші топ циклдік болатын топ. Мысалы, рационал сандардың қосым тобы: рационал сандардың кез келген шекті жиыны — бір ғана бірлік бөлшектің бүтін еселіктерінен тұратын жиын, яғни олардың ең кіші ортақ бөлігінің кері шамасы, және бұл жиын аталған бірлік бөлшектің бүтін еселіктерінен құралған циклдік кіші топты жасайды. Топ жергілікті циклдік болады, егер және ғана егер оның кіші топтар торы үлестірімдік тор болса.

Циклдік реттелген топтар

Циклдік реттелген топ — топ құрылымымен сақталатын циклдік тәртіпке ие топ. Кез келген циклдік топқа бүтін сандардың ретіне (немесе топтың реті бойынша модульдік бүтін сандарға) сәйкес келетін циклдік реттелген топ ретінде құрылым беруге болады. Циклдік реттелген топтың кез келген шекті кіші тобы циклдік болады.

Метациклдік және полициклдік топтар

Метациклдік топ – циклді нормальды кіші топты қамтитын, ал оның фактортобы да циклді болатын топ. Бұл топтарға циклдік топтар, дициклдік топтар және екі циклдік топтың тікелей қосындылары жатады. Полициклдік топтар метациклдік топтарды жалпылайды, бірнеше деңгейде топты кеңейтуге мүмкіндік береді. Топ полициклді болып есептеледі, егер ол шекті төмендеу тізбегіне ие болса, онда әрбір кіші топ алдыңғы кіші топта нормальды болады және циклді фактортобымен аяқталады, соңында тривиальды топқа жетеді. Кез келген шекті жасалған абельдік немесе нильпотенттік топ полициклді болып табылады.