Введение

Математическая группа, которая может быть порождена как множество степеней одного элемента.

В абстрактной алгебре циклическая группа или моногенная группа — это группа, обозначаемая Cn (также часто n или Zn, не следует путать с коммутативным кольцом p-адических чисел), которая порождается единственным элементом. То есть, это множество обратимых элементов с одной ассоциативной бинарной операцией, содержащее элемент g, такой что каждый другой элемент группы может быть получен путем многократного применения групповой операции к g или его обратной. Каждый элемент может быть записан как целая степень g в мультипликативной записи или как целое кратное g в аддитивной записи. Этот элемент g называется генератором группы. Чтобы избежать путаницы, Бурбаки ввёл термин "моногенная группа" для группы с единственным генератором и ограничил использование термина "циклическая группа" для обозначения конечной моногенной группы, избегая термина "бесконечная циклическая группа".

Целые числа и модульное сложение

Множество целых чисел Z с операцией сложения образует группу. Это мультипликативная группа единиц кольца Z/nZ; их количество равно φ(n), где φ – функция Эйлера. Например, (Z/6Z)× = {1, 5}, и поскольку 6 равно удвоенному нечетному простому числу, это циклическая группа. Напротив, (Z/8Z)× = {1, 3, 5, 7} является группой Кляйна 4 и не является циклической. Когда (Z/nZ)× является циклической, её генераторы называются примитивными корнями по модулю n. Для простого числа p группа (Z/pZ)× всегда циклична и состоит из ненулевых элементов конечного поля порядка p. В более общем случае, каждая конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля является циклической.

Ротационные симметрии

Набор вращательных симметрий многоугольника образует конечную циклическую группу. Если существует n различных способов совместить многоугольник с самим собой посредством вращения (включая тождественное вращение), то эта группа симметрии изоморфна Z/nZ. В трех и более измерениях существуют другие конечные группы симметрии, которые являются циклическими, но не состоят только из вращений вокруг оси, а представляют собой роторефлексии. Группа всех вращений окружности (группа окружности, также обозначаемая S1) не является циклической, поскольку не существует такого вращения, чьи целые степени порождают все вращения. Фактически, бесконечная циклическая группа C∞ счетна, а S1 – нет. Группа вращений на рациональные углы счетна, но всё равно не циклична.

Теория Галуа

Н-й корень из единицы — это комплексное число, при возведении в n-ю степень дающее 1, являющееся корнем многочлена xⁿ − 1. Множество всех n-х корней из единицы образует циклическую группу порядка n относительно умножения. Обратно, для любого конечного поля F и конечной циклической группы G существует конечное расширение поля F, группа Галуа которого изоморфна G.

Подгруппы

Все подгруппы и факторгруппы циклических групп являются циклическими. В частности, все подгруппы Z имеют вид ⟨m⟩ = mZ, где m – положительное целое число. Все эти подгруппы различны друг от друга, и за исключением тривиальной группы {0} = 0Z, все они изоморфны Z. Решетка подгрупп Z изоморфна двойственной решетке натуральных чисел, упорядоченной по делимости. Таким образом, поскольку простое число p не имеет нетривиальных делителей, pZ является максимальной собственной подгруппой, а факторгруппа Z/pZ проста; более того, циклическая группа проста тогда и только тогда, когда её порядок является простым числом. Все факторгруппы Z/nZ конечны, за исключением случая Z/0Z = Z/{0}, который равен 1. Для каждого положительного делителя d числа n факторгруппа Z/nZ имеет ровно одну подгруппу порядка d, порожденную классом вычетов n/d. Других подгрупп нет.

Дополнительные свойства

Каждая циклическая группа является абелевой. (И обратите внимание, что когда n – простое число, существует ровно один элемент, порядок которого является собственным делителем n, а именно единичный элемент.) Порядок элемента m в Z/nZ равен n/НОД(n, m). Если n и m взаимно просты, то прямое произведение двух циклических групп Z/nZ и Z/mZ изоморфно циклической группе Z/nmZ, и обратное также верно: это одна из форм китайской теоремы об остатках. Например, Z/12Z изоморфно прямому произведению Z/3Z × Z/4Z при изоморфизме (k mod 12) → (k mod 3, k mod 4); но оно не изоморфно Z/6Z × Z/2Z, в которой каждый элемент имеет порядок не более 6. Если p – простое число, то любая группа с p элементами изоморфна простой группе Z/pZ. Число n называется циклическим числом, если Z/nZ является единственной группой порядка n, что верно ровно тогда, когда НОД(n, φ(n)) = 1. Последовательность циклических чисел включает в себя все простые числа, но некоторые из них являются составными, например 15. Однако все циклические числа нечетны, за исключением 2. Циклические числа: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143. Из определения непосредственно следует, что циклические группы имеют групповое представление и для конечного n.

Представительства

Теория представлений циклической группы является важнейшим базовым случаем для теории представлений более общих конечных групп. В комплексном случае представление циклической группы раскладывается в прямую сумму линейных характеров, что делает связь между теорией характеров и теорией представлений очевидной. В случае положительной характеристики неразложимые представления циклической группы служат моделью и индуктивной основой для теории представлений групп с циклическими силовскими подгруппами и, в более общем смысле, теории представлений блоков циклического дефекта.

График Кейли

Граф Кейли — это граф, определяемый парой (G, S), где G — группа, а S — множество генераторов этой группы. Он имеет вершину для каждого элемента группы и ребро для каждого произведения элемента на генератор. В случае конечной циклической группы с её единственным генератором граф Кейли является циклом, а для бесконечной циклической группы с её генератором граф Кейли представляет собой бесконечную двунаправленную цепь. Однако графы Кейли могут быть определены и на основе других множеств генераторов. Графы Кейли циклических групп с произвольными множествами генераторов называются циркулянтными графами. Эти графы можно геометрически представить как набор равноудалённых точек на окружности или на прямой, где каждая точка соединена с соседями на тех же расстояниях, что и любая другая точка. Это ровно те вершинно-транзитивные графы, группа симметрий которых содержит транзитивную циклическую группу.

Эндоморфизмы

Кольцо эндоморфизмов абелевой группы Z/nZ изоморфно самому Z/nZ как кольцу. При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм Z/nZ, который отображает каждый элемент в сумму r его копий. Это отображение является биекцией тогда и только тогда, когда r и n взаимно просты, следовательно, группа автоморфизмов Z/nZ изоморфна группе единиц (Z/nZ)×. Примером такой группы является прямое произведение Z/nZ и Z, в котором фактор Z имеет конечный индекс n. Каждая абелева подгруппа группы Громова гиперболического типа является практически циклической.

Проциклические группы

Проконечная группа называется проциклической, если она может быть топологически порождена одним элементом. Примерами проконечных групп являются проконечные целые числа или p-адические числа для простого числа p.

Локально циклические группы

Локально циклическая группа — это группа, в которой каждая конечно порождённая подгруппа является циклической. Примером служит аддитивная группа рациональных чисел: любое конечное множество рациональных чисел является множеством целых кратных некоторой единичной дроби, обратной их наименьшему общему знаменателю, и порождает как подгруппу циклическую группу целых кратных этой единичной дроби. Группа локально циклична тогда и только тогда, когда её решётка подгрупп является распределительной решёткой.

Циклически упорядоченные группы

Циклически упорядоченная группа — это группа вместе с циклическим порядком, сохраняемым групповой структурой. Любой циклической группе можно придать структуру циклически упорядоченной группы, согласованную с порядком целых чисел (или целых чисел по модулю порядка группы). Каждая конечная подгруппа циклически упорядоченной группы является циклической.

Метациклические и полициклические группы

Метациклическая группа — это группа, содержащая циклическую нормальную подгруппу, факторгруппа которой также циклическая. Эти группы включают в себя циклические группы, дициклические группы и прямые произведения двух циклических групп. Полициклические группы обобщают метациклические группы, допуская более одного уровня расширения группы. Группа является полициклической, если она имеет конечную убывающую последовательность подгрупп, каждая из которых нормальна в предыдущей подгруппе и имеет циклическую факторгруппу, завершающуюся тривиальной группой. Каждая конечно порожденная абелева группа или нильпотентная группа является полициклической.