Кіріспе

Арифметикалық орташа геометриялық орташадан үлкен немесе оған тең болады.

Математикада арифметикалық және геометриялық орташалардың теңсіздігі, немесе қысқаша AM–GM теңсіздігі, жағымсыз емес нақты сандар тізімінің арифметикалық орташасының сол тізімнің геометриялық орташасынан үлкен немесе оған тең екенін көрсетеді; сондай-ақ, екі орташа сан тең болады, тек қана тізімдегі барлық сандар бірдей болған жағдайда (осы жағдайда олардың екеуі де сол санға тең). Ең қарапайым тривиалды емес жағдай – яғни, бірден көп айнымалысы бар, екі жағымсыз емес x және y үшін – мына мәлімдеме:

теңдік тек қана болғанда ғана орын алады. Бұл жағдай нақты санның квадраты әрқашан жағымсыз емес (нөлден үлкен немесе тең) екендігінен және биномдық формуланың қарапайым жағдайынан көрінеді:

Осыдан (x + y)² ≥ 4xy, теңдік тек қана болғанда орын алады, яғни . AM–GM теңсіздігі екі жақтың оң квадрат түбірін алып, екі жақты да 2-ге бөлгеннен шығады. Геометриялық тұрғыдан қарағанда, x және y ұзындығындағы тіктөртбұрышты қарастырайық, оның периметрі 2x + 2y және ауданы xy болады. Сол сияқты, барлық қабырғасы ұзындығы бар квадратының периметрі және ауданы тіктөртбұрышқа тең. AM–GM теңсіздігінің ең қарапайым тривиалды емес жағдайы периметрлер үшін мынаны білдіреді: және тек қана квадраттың тең ауданы бар тіктөртбұрыштардың арасында ең кіші периметрі болады. Ең қарапайым жағдай Евклидтің "Элементтері" кітабының 5-тарауындағы 25-теоремасында келтірілген. AM–GM теңсіздігін кеңейтуге салмақтарды немесе жалпыланған орташа шамаларды қосуға болады.

Теңсіздік

Математикалық белгілерді пайдаланып теңсіздікті қайта жазсақ, кез келген n теріс емес нақты сан тізімі x1, x2, ..., xn үшін,

және теңдік тек қана егер орындалса ғана сақталады.

Геометриялық түсіндіру

Екі өлшемде 2x1 + 2x2 – қабырғалары x1 және x2 ұзындығындағы тіктөртбұрыштың периметрі. Сол сияқты, x1x2 ауданымен тең квадраттың периметрі. Осылайша, AM–GM теңсіздігі бойынша, белгілі бір ауданға ие тіктөртбұрыш, егер ол квадрат болса, ең кіші периметрге ие болады. Толық теңсіздік – бұл идеяның n өлшемге кеңейтілген түрі. x1, x2, ..., xn қабырға ұзындығы бар n өлшемді параллелепипедті қарастырайық. Параллелепипедтің әрбір төбесі әртүрлі бағыттағы n қабырғамен байланысқан, сондықтан төбеге жанасқан қабырғалардың орташа ұзындығы (x1 + x2 + … + xn)/n құрайды. Екінші жағынан, сол көлемдегі n өлшемді кубтың қабырға ұзындығы, демек, куб төбесіне жанасқан қабырғалардың орташа ұзындығы да сондай болады. Осылайша, AM–GM теңсіздігі, бірдей көлемді барлық n өлшемді параллелепипедтердің арасында тек n кубы ғана әр төбесіне қосылған қабырғалардың ең кіші орташа ұзындығына ие екенін көрсетеді.

1-ші мысал

Егер , онда А.М.Г.М. былай дейді:

Қолданбалар

Қаржылық математиканың маңызды практикалық қолданысы – қайтарымдылық деңгейін есептеу болып табылады: геометриялық орташа арқылы есептелген жылдық қайтарым, арифметикалық орташа арқылы есептелген орташа жылдық қайтарымнан кем (немесе барлық қайтарымдар бірдей болса, тең болады). Бұл инвестицияларды талдау үшін маңызды, себебі орташа қайтарым жиынтық эффектіні жоғары бағалайды. Ол сондай-ақ Коши-Шварц теңсіздігін дәлелдеуге де қолданылуы мүмкін.

АМГМ теңсіздікінің дәлелдемелері

AM–GM теңсіздігі дәлелдеуге қолданылатын әртүрлі әдістерімен де белгілі.

Дженсен теңсіздікін қолдану арқылы дәлелдеу

Дженсен теңсіздігінде, арифметикалық орташаның қисық функциясының мәні, функцияның мәндерінің арифметикалық орташасынан үлкен немесе тең болады. Логарифм функциясы қисық болғандықтан, ең сол жақ және ең оң жақ бөліктерінің антилогтарын алып, AM–GM теңсіздігіне жетеміз.

Кошидің алға-артқа индукция арқылы дәлелдеуі

Келесі дәлелдеу жағдайлар бойынша арифметиканың жақсы белгілі ережелеріне тікелей сүйенеді, бірақ сирек қолданылатын алға-кері индукция тәсілін пайдаланады. Бұл негізінен Огюстен Луи Кошидің "Анализ курсы" еңбегінен алынған.

Барлық терминдердің бірдей емес жағдай

Егер барлық мүшелер тең болмаса, арифметикалық орташасы геометриялық орташасынан жоғары екенін көрсету қажет. Бұл тек n > 1 болғанда ғана мүмкін. Бұл жағдай айтарлықтай күрделі, сондықтан біз оны тармақтарға бөліп қарастырамыз.

АММГМ арасындағы теңсіздік

Салмақты арифметикалық орташа және салмақты геометриялық орташа үшін де ұқсас теңсіздік бар. Атап айтқанда, теріс емес сандар x1, x2, ..., xn және теріс емес салмақтар w1, w2, ..., wn берілген. Егер w > 0 болса, онда келесі теңсіздік орындалады:

теңдік тек қана барлық wk > 0 үшін xk тең болғанда ғана орындалады. Мұнда конвенция қолданылады. Егер барлығы , онда бұл теңсіздік арифметикалық және геометриялық орташалардың жоғарыдағы теңсіздігіне дейін тосылады. Оның күштірек нұсқасы, салмақталмаған нұсқаның да күшейтілген түрін береді, және ол Алдазға тиесілі. Атап айтқанда, салмақталған арифметикалық орташа және салмақталған геометриялық орташа үшін де ұқсас теңсіздік бар. Атап айтқанда, теріс емес сандар x1, x2, ..., xn және теріс емес салмақтар w1, w2, ..., wn берілген. Сонымен қатар, салмақтардың қосындысы 1 деп есептейік. Онда: