Введение

Арифметическое среднее больше или равно геометрическому среднему.

В математике неравенство между арифметическим и геометрическим средними, или, кратко, неравенство AM–GM, утверждает, что арифметическое среднее списка неотрицательных вещественных чисел больше или равно геометрическому среднему того же списка; при этом два средних равны тогда и только тогда, когда все числа в списке одинаковы (в этом случае оба средних равны этому числу). Простейший нетривиальный случай – то есть, с более чем одной переменной – для двух неотрицательных чисел x и y, заключается в следующем утверждении:

с равенством тогда и только тогда, когда . Этот случай можно увидеть из того факта, что квадрат вещественного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю), и из элементарного случая биномиальной формулы:

Следовательно, (x + y)² ≥ 4xy, причем равенство достигается точно тогда, когда , то есть . Неравенство AM–GM затем следует из извлечения положительного квадратного корня из обеих частей и последующего деления обеих частей на 2. Для геометрической интерпретации рассмотрим прямоугольник со сторонами длиной x и y, следовательно, его периметр равен 2x + 2y, а площадь – xy. Аналогично, квадрат со всеми сторонами длиной имеет периметр и ту же площадь, что и прямоугольник. Простейший нетривиальный случай неравенства AM–GM подразумевает, что для периметров только квадрат имеет наименьший периметр среди всех прямоугольников одинаковой площади. Самый простой случай содержится в «Началах» Евклида, книга 5, предложение 25. Существуют обобщения неравенства AM–GM, включающие веса или обобщенные средние.

Неравенство

Переформулируя неравенство, используя математическую нотацию, мы имеем, что для любого списка из n неотрицательных вещественных чисел x1, x2, ..., xn,

и равенство достигается тогда и только тогда, когда .

Геометрическая интерпретация

В двух измерениях, 2x1 + 2x2 – это периметр прямоугольника со сторонами длиной x1 и x2. Аналогично, √4x1x2 – это периметр квадрата с той же площадью, x1x2, что и у этого прямоугольника. Таким образом, для случая двух переменных неравенство AM–GM утверждает, что прямоугольник заданной площади имеет наименьший периметр, если этот прямоугольник также является квадратом. Полное неравенство является обобщением этой идеи на n измерений. Рассмотрим n-мерный параллелепипед с длинами рёбер x1, x2, ..., xn. Каждая вершина параллелепипеда соединена с n рёбрами в разных направлениях, поэтому средняя длина рёбер, сходящихся в вершине, равна (x1 + x2 + ... + xn)/n. С другой стороны, √[n]x1x2...xn – это длина ребра n-мерного куба с тем же объёмом, которая, следовательно, также является средней длиной рёбер, сходящихся в вершине куба. Таким образом, неравенство AM–GM утверждает, что только n-мерный куб имеет наименьшую среднюю длину рёбер, сходящихся в каждой вершине, среди всех n-мерных параллелепипедов с одинаковым объёмом.

Пример 1

Если , то неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (А.М.Г.М.) утверждает, что

Приложения

Важным практическим применением в финансовой математике является вычисление доходности: годовая доходность, вычисленная с использованием геометрического среднего, меньше среднегодовой доходности, вычисленной с помощью арифметического среднего (или равна, если все доходности одинаковы). Это важно при анализе инвестиций, поскольку средняя доходность преувеличивает совокупный эффект. Также это может быть использовано для доказательства неравенства Коши — Шварца.

Доказательства неравенства AMGM

Неравенство AM–GM также известно широким спектром методов, которые можно использовать для его доказательства.

Доказательство неравенства Дженсена

Неравенство Йенсена утверждает, что значение вогнутой функции от арифметического среднего больше или равно арифметическому среднему значений функции. Поскольку логарифмическая функция вогнута, мы имеем:

Применяя возведение в степень (обратное к логарифмированию) к крайнему левому и крайнему правому членам, мы получаем неравенство AM–GM.

Доказательство Коши с использованием индукции вперед-назад

Следующее доказательство по случаям опирается непосредственно на хорошо известные правила арифметики, но использует редко применяемую технику прямой и обратной индукции. Оно взято, по сути, у Огюстена Луи Коши и содержится в его «Курсе анализа».

Случай, когда не все условия равны

Остается показать, что если не все слагаемые равны, то арифметическое среднее больше геометрического среднего. Очевидно, что это возможно только при n > 1. Этот случай значительно сложнее, и мы разобьем его на частные случаи.

Взвешенное неравенство AMGM

Аналогичное неравенство существует для взвешенного арифметического среднего и взвешенного геометрического среднего. В частности, пусть даны неотрицательные числа x1, x2, ..., xn и неотрицательные веса w1, w2, ..., wn. Определим: Если w > 0, то выполняется неравенство

которое достигается с равенством тогда и только тогда, когда все xk с wk > 0 равны. Здесь используется соглашение . Если все , то это сводится к вышеупомянутому неравенству между арифметическим и геометрическим средними. Более сильная версия этого неравенства, которая также дает усиленную версию неравенства для невзвешенных средних, принадлежит Aldaz. В частности, существует аналогичное неравенство для взвешенного арифметического среднего и взвешенного геометрического среднего. В частности, пусть даны неотрицательные числа x1, x2, ..., xn и неотрицательные веса w1, w2, ..., wn. Предположим также, что сумма весов равна 1. Тогда .