Кіріспе
Көп айнымалы функцияның туындысы
In mathematics, a partial derivative of a function of several variables is its derivative with respect to one of those variables, with the others held constant (as opposed to the total derivative, in which all variables are allowed to vary). Partial derivatives are used in vector calculus and differential geometry. The partial derivative of a function with respect to the variable is variously denoted by
em = 1.2 | text = , , , , , , or It can be thought of as the rate of change of the function in the direction. Sometimes, for , the partial derivative of with respect to is denoted as Since a partial derivative generally has the same arguments as the original function, its functional dependence is sometimes explicitly signified by the notation, such as in:
The symbol used to denote partial derivatives is ∂. One of the first known uses of this symbol in mathematics is by Marquis de Condorcet from 1770, who used it for partial differences. The modern partial derivative notation was created by Adrien Marie Legendre (1786), although he later abandoned it; Carl Gustav Jacob Jacobi reintroduced the symbol in 1841.
Математикада, бірнеше айнымалы функцияның ішінара туындысы – бұл функцияның бір айнымалыға қатысты туындысы, ал қалған айнымалылар тұрақты болып қалады (барлық туындыға қарағанда, онда барлық айнымалылар өзгеріп отыруы мүмкін). Ішінара туындылар векторлық есептеу және дифференциалдық геометрияда қолданылады. Функцияның айнымалыға қатысты ішінара туындысы мына символдармен белгіленеді: , , , , немесе . Бұл функцияның сол бағыттағы өзгеру деңгейі ретінде қарастырылуы мүмкін. Кейде, үшін, айнымалыға қатысты ішінара туындысы деп белгіленеді. Ішінара туындының әдетте бастапқы функциямен бірдей аргументтері болғандықтан, оның функционалдық тәуелділігі кейде белгімен нақты көрсетіледі, мысалы: Ішінара туындыларды белгілеу үшін ∂ символы қолданылады. Бұл символдың математикадағы алғашқы пайдалануы 1770 жылы маркиз де Кондорсе ішінара айырмашылықтар үшін қолданған кезде белгілі болды. Қазіргі кездегі ішінара туындылар нотациясын Адриен Мари Лежандр (1786) жасаған, бірақ кейіннен одан бас тарды; Карл Густав Якоб Якоби 1841 жылы бұл символды қайта енгізді.
In mathematics, a partial derivative of a function of several variables is its derivative with respect to one of those variables, with the others held constant (as opposed to the total derivative, in which all variables are allowed to vary). Partial derivatives are used in vector calculus and differential geometry. The partial derivative of a function with respect to the variable is variously denoted by
em = 1.2 | text = , , , , , , or It can be thought of as the rate of change of the function in the direction. Sometimes, for , the partial derivative of with respect to is denoted as Since a partial derivative generally has the same arguments as the original function, its functional dependence is sometimes explicitly signified by the notation, such as in:
The symbol used to denote partial derivatives is ∂. One of the first known uses of this symbol in mathematics is by Marquis de Condorcet from 1770, who used it for partial differences. The modern partial derivative notation was created by Adrien Marie Legendre (1786), although he later abandoned it; Carl Gustav Jacob Jacobi reintroduced the symbol in 1841.
Анықтама
Кәдімгі туындылар сияқты, ішінара туынды да шек ретінде анықталады. U функцияның ашық ішкі жиыны болсын, ал f – функция. f функциясының i-ші айнымалы xᵢ бойынша, x₀ нүктесіндегі ішінара туындысы былай анықталады:
мұнда eᵢ – i-ші айнымалы xᵢ бірлік векторы. Барлық ішінара туындылар берілген a нүктесінде болған жағдайда да, функция сол нүктеде үзіліссіз болуы міндетті емес. Дегенмен, егер барлық ішінара туындылар a нүктесінің маңында болса және сол маңда үзіліссіз болса, онда f функциясы сол маңда толық дифференциалданады және толық туындысы үзіліссіз болады. Мұндай жағдайда f функциясы C^(1) функциясы деп аталады. Бұл векторлық функциялар үшін де қолданылуы мүмкін, компоненттік аргументтерді мұқият пайдалану арқылы. Ішінара туындыны U жиынында анықталған жаңа функция деп қарастыруға болады және оны қайтадан ішінара дифференциалдауға болады. Егер туынды бағыты қайталанбаса, онда ол аралас ішінара туынды деп аталады. Егер барлық аралас екінші реттік ішінара туындылар бір нүктеде (немесе жиында) үзіліссіз болса, онда f функциясы сол нүктеде (немесе сол жиында) C^(2) функциясы деп аталады; мұндай жағдайда ішінара туындыларды Клер теоремасы бойынша алмастыруға болады:
Оңтайландыру
Ішінара туындылар бірден көп таңдау айнымалысы бар кез келген есептеуге негізделген оптимизациялық мәселеде кездеседі. Мысалы, экономикада фирма екі түрлі өнімнің x және y көлемін таңдау арқылы π(x, y) пайдасын барынша арттыруға тырысады. Бұл оптимизацияның бірінші реттік шарттары: ∂π/∂x = 0 және ∂π/∂y = 0. πx және πy екі жартылай туындылары әдетте x және y аргументтерінің функциялары болғандықтан, бұл екі бірінші реттік шарт екі белгісізі бар екі теңдеудің жүйесін құрайды.
Кескіннің өлшемін өзгерту
Жарым-жартылай туындылар – мақсатты бағытталған кескіннің мөлшерін өзгерту алгоритмдерінің негізгі құралы болып табылады. «Тігістерді кесу» деп кеңінен танылған бұл алгоритмдер, әр пикселге олардың ортогональды жанындағы пикселдерден өзгешелігін сипаттау үшін сандық "энергия" мөлшерін тағайындауды қажет етеді. Содан кейін алгоритм ең төмен энергияға ие жолдарды немесе бағандарды біртіндеп жояды. Пикселдің энергиясын анықтауға арналған формула (пикселдегі градиент шамасы) жарым-жартылай туындылардың құрылысына тікелей байланысты.
Экономика
Экономикада ішінара туындылар маңызды рөл атқарады, себебі экономикалық мінез-құлықты сипаттайтын көптеген функциялар осы мінез-құлықтың бірнеше айнымалыға тәуелді екенін көрсетеді. Мысалы, қоғамдық тұтыну функциясы тұтыну тауарларына жұмсалатын соманың кіріс пен байлыққа қатысты екенін сипаттауы мүмкін; тұтынуға шекті ұмтылыс – бұл тұтыну функциясының кіріске қатысты ішінара туындысы болып табылады.