Введение

Производная функции с несколькими переменными

В математике частичная производная функции нескольких переменных — это её производная по одной из этих переменных, при этом остальные переменные считаются постоянными (в отличие от полной производной, в которой все переменные могут изменяться). Частичные производные используются в векторном анализе и дифференциальной геометрии. Частичная производная функции по переменной обозначается как ∂f/∂x, fₓ, ∂z/∂x, Dₓf, или f'ₓ. Её можно рассматривать как скорость изменения функции в направлении этой переменной. Иногда, для f, частичная производная по x обозначается как fₓ. Поскольку частичная производная обычно имеет те же аргументы, что и исходная функция, её функциональная зависимость иногда явно указывается в обозначении, например:

Символ, используемый для обозначения частичных производных, — ∂. Одно из первых известных применений этого символа в математике принадлежит маркизу де Кондорсе (1770 год), который использовал его для обозначения частных разностей. Современное обозначение частной производной было введено Адриеном Мари Лежандром (1786 год), хотя позже он отказался от него; Карл Густав Якоб Якоби вновь ввёл этот символ в 1841 году.

Определение

Как и обычные производные, частная производная определяется как предел. Пусть U – открытое подмножество ℝⁿ, а f – функция. Частная производная функции f в точке a по i-й переменной xᵢ определяется как

где **eᵢ** – единичный вектор i-й переменной xᵢ. Даже если все частные производные ∂f/∂xᵢ существуют в данной точке a, функция не обязательно должна быть непрерывной в этой точке. Однако, если все частные производные существуют в некоторой окрестности точки a и непрерывны в этой окрестности, то функция f является полностью дифференцируемой в этой окрестности, а полная производная непрерывна. В этом случае говорят, что f является функцией класса C¹ (или C^(1)). Это можно обобщить для векторно-значных функций **f**: ℝⁿ → ℝᵐ, аккуратно используя компонентный подход. Частную производную ∂f/∂xᵢ можно рассматривать как другую функцию, определенную на U, и ее, в свою очередь, можно частично дифференцировать. Если направление дифференцирования не повторяется, то это называется смешанной частной производной. Если все смешанные частные производные второго порядка непрерывны в точке (или на множестве), то функция f называется функцией класса C² (или C^(2)) в этой точке (или на этом множестве); в этом случае частные производные можно менять местами в соответствии с теоремой Клеро:

Оптимизация

Частичные производные возникают в любой задаче оптимизации, основанной на методах математического анализа, с более чем одной переменной выбора. Например, в экономике фирма может стремиться максимизировать прибыль π(x, y) относительно выбора объемов выпуска x и y двух различных видов продукции. Условия первого порядка для этой оптимизации: ∂π/∂x = 0 и ∂π/∂y = 0. Поскольку обе частные производные ∂π/∂x и ∂π/∂y обычно сами являются функциями обоих аргументов x и y, эти два условия первого порядка образуют систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Изменение размера изображения

Частичные производные играют ключевую роль в алгоритмах изменения размера изображения с учетом важности областей. Широко известные как "вырезание швов", эти алгоритмы требуют присвоения каждому пикселю изображения числового значения "энергии", характеризующего его отличие от ортогонально смежных пикселей. Затем алгоритм последовательно удаляет строки или столбцы с наименьшей энергией. Формула для определения энергии пикселя (величины градиента в пикселе) существенно зависит от использования частичных производных.

Экономика

Частичные производные играют важную роль в экономике, где большинство функций, описывающих экономическое поведение, предполагают зависимость этого поведения от нескольких переменных. Например, функция совокупного потребления может описывать объем расходов на потребительские товары как зависящий как от дохода, так и от богатства; предельная склонность к потреблению в этом случае является частной производной функции потребления по доходу.