Кешенді айнымалы функциялар теориясы

Кіріспе

Күрделі айнымалының функцияларын зерттейтін математиканың саласы.

Күрделі талдау, дәстүрлі түрде күрделі айнымалының функциялары теориясы деп аталады, бұл күрделі сандардың функцияларын зерттейтін математикалық талдау саласы. Ол математиканың көптеген салаларында, соның ішінде алгебралық геометрияда, сандар теориясында, аналитикалық комбинаторикада және қолданбалы математикада, сондай-ақ физиканың гидродинамика, термодинамика, кванттық механика және твистор теориясы сияқты салаларында көмектеседі. Күрделі талдауты қолдану ядролық, аэроғарыштық, механикалық және электрлік инженерия сияқты инженерлік салаларда да қолданылады. Күрделі айнымалының дифференциалданатын функциясы оның Тейлор қатарына тең болғандықтан (яғни, ол аналитикалық), күрделі талдау күрделі айнымалының аналитикалық функцияларына, яғни голоморфтық функцияларға ерекше назар береді. Бұл ұғым бірнеше күрделі айнымалылардың функцияларына дейін кеңейтілуі мүмкін.

Тарих

Күрделі талдау – математиканың классикалық салаларының бірі, оның тамыры 18 ғасырда және одан бұрынғы кезеңде жатыр. Күрделі сандармен байланысты маңызды математиктер қатарында Эйлер, Гаусс, Риман, Коши, Гёста Миттаг-Леффлер, Вейерштрасс және 20 ғасырдағы тағы да көптеген ғалымдар бар. Күрделі талдау, әсіресе конформды бейнелеу теориясы, көптеген физикалық қолданыстарға ие және аналитикалық сандар теориясының барлық салаларында қолданылады. Қазіргі заманда күрделі динамиканың жаңа серпілісі мен голоморфтық функцияларды итерациялау арқылы жасалған фракталдардың суреттері арқасында бұл сала кең танымал болды. Күрделі талдаудың тағы бір маңызды қолданылуы – кванттық өріс теориясындағы конформдық инварианттарды зерттейтін іс тізбегі теориясында.

Голоморфты функциялар

Комплекстік жазықтықтың ашық ішкі жиынының әрбір нүктесінде дифференциалданатын күрделі функциялар голоморфты деп аталады. Комплекстік анализ контекстінде, -тағың туындысы деп анықталады. Бұл анықтама сырттай, нақты функцияның туындысының анықтамасына формальды түрде ұқсас. Дегенмен, күрделі туындылар және дифференциалданатын функциялар нақты функцияларға қарағанда айтарлықтай өзгеше қасиеттерге ие. Атап айтқанда, бұл шек болуы үшін, айырмашылықтардың қатынасының мәні күрделі жазықтықта қандай жолмен жақындасқанға қарамастан, бірдей күрделі санға жақындауы керек. Осылайша, күрделі дифференциалдану, нақты дифференциалданудан гөрі күштірек шарттар қояды. Мысалы, голоморфтық функциялар шексіз дифференциалданады, ал нақты функциялар үшін -ші туындының болуы, (n + 1)-ші туындының болуын міндетті түрде білдірмейді. Сонымен қатар, барлық голоморфтық функциялар аналитикалық жағдайды қанағаттандырады, яғни функция өзінің анықталу облысындағы әрбір нүктеде жергілікті түрде жинақты қуат қатарымен беріледі. Бұл дифференциалданатын нақты функциялармен күрт қайшы келеді; ешқандай жерде аналитикалық емес, шексіз дифференциалданатын нақты функциялар бар; қараңыз. Экспоненциалдық функция, тригонометриялық функциялар және барлық полиномдық функциялар, күрделі аргументтерге функция ретінде тиісті түрде кеңейтілген, барлық күрделі жазықтықта голоморфты болып табылады, оларды толық функцияларға айналдырады, ал рационалдық функциялар, мұнда p және q полиномдар, q нөлге тең болатын нүктелерді қоспағанда, домендерде голоморфты болып табылады. Оқшауланған нүктелер жиынынан басқа барлық жерде голоморфты болатын функциялар мероморфты функциялар деп аталады. Екінші жағынан, функциялар және ешқандай жерде күрделі жазықтықта голоморфты емес, себебі олар Коши-Риманн шарттарын қанағаттандырмайды (төменде қараңыз). Голоморфтық функциялардың маңызды қасиеті – олардың нақты және жолғарымды бөліктерінің ішінара туындылары арасындағы байланыс, ол Коши-Риманн шарттары деп аталады. Егер , анықтамасы бойынша , онда , барлық үшін , функцияның нақты және жолғарымды бөліктері бойынша, u және v, бұл теңдеулер жұбына тең және , мұнда төменгі индекстер ішінара дифференциацияны көрсетеді. Алайда, Коши-Риманн шарттары, қосымша үздіксіздік шарттары болмаса, голоморфтық функцияларды сипаттамайды (Ломан-Менхофф теоремасын қараңыз). Голоморфтық функциялар таңқаларлық ерекшеліктерге ие. Мысалы, Пикард теоремасы толық функцияның мәндер жиыны үш мүмкін форманы ғана қабылдай алатынын айтады: , , немесе кейбір . Басқаша айтқанда, егер екі әртүрлі күрделі сан және толық функцияның мәндер жиынында болмаса, онда функция тұрақты болып табылады. Сонымен қатар, байланысқан ашық жиынның голоморфтық функциясы, оның бос емес ашық ішкі жиынына шектеуімен анықталады.

Complex functions that are differentiable at every point of an open subset of the complex plane are said to be holomorphic on In the context of complex analysis, the derivative of at is defined to be

Superficially, this definition is formally analogous to that of the derivative of a real function. However, complex derivatives and differentiable functions behave in significantly different ways compared to their real counterparts. In particular, for this limit to exist, the value of the difference quotient must approach the same complex number, regardless of the manner in which we approach in the complex plane. Consequently, complex differentiability has much stronger implications than real differentiability. For instance, holomorphic functions are infinitely differentiable, whereas the existence of the nth derivative need not imply the existence of the (n + 1)th derivative for real functions. Furthermore, all holomorphic functions satisfy the stronger condition of analyticity, meaning that the function is, at every point in its domain, locally given by a convergent power series. In essence, this means that functions holomorphic on can be approximated arbitrarily well by polynomials in some neighborhood of every point in This stands in sharp contrast to differentiable real functions; there are infinitely differentiable real functions that are nowhere analytic; see
Most elementary functions, including the exponential function, the trigonometric functions, and all polynomial functions, extended appropriately to complex arguments as functions , are holomorphic over the entire complex plane, making them entire functions, while rational functions , where p and q are polynomials, are holomorphic on domains that exclude points where q is zero. Such functions that are holomorphic everywhere except a set of isolated points are known as meromorphic functions. On the other hand, the functions , <math>z\mapsto and are not holomorphic anywhere on the complex plane, as can be shown by their failure to satisfy the Cauchy–Riemann conditions (see below). An important property of holomorphic functions is the relationship between the partial derivatives of their real and imaginary components, known as the Cauchy–Riemann conditions. If , defined by , where , is holomorphic on a region , then for all ,

In terms of the real and imaginary parts of the function, u and v, this is equivalent to the pair of equations and , where the subscripts indicate partial differentiation. However, the Cauchy–Riemann conditions do not characterize holomorphic functions, without additional continuity conditions (see Looman–Menchoff theorem). Holomorphic functions exhibit some remarkable features. For instance, Picard's theorem asserts that the range of an entire function can take only three possible forms: , , or for some In other words, if two distinct complex numbers and are not in the range of an entire function , then is a constant function. Moreover, a holomorphic function on a connected open set is determined by its restriction to any nonempty open subset.

Негізгі нәтижелер

Кешенді талдаудың негізгі құралдарының бірі – түзу интегралы. Жабық контур бойындағы функцияның, егер ол контурмен шектелген аймақтың ішіндегі әр жерде голоморфты болса, түзу интегралы әрқашан нөлге тең болады, бұл Коши интеграл теоремасымен белгіленеді. Дискідегі мұндай голоморфты функцияның мәндерін дискінің шекарасындағы контурлық интеграл арқылы есептеуге болады (Кошидің интеграл формуласында көрсетілгендей). Күрделі жазықтықтағы контурлық интегралдар көбінесе күрделі нақты интегралдарды анықтау үшін қолданылады, және мұнда, басқалармен қатар, қалдықтар теориясы қолданылады (контурлық интегралдау әдістеріне қараңыз). Функцияның «полюсі» (немесе оқшауланған сингулярлығы) – функцияның мәні шексіз болатын немесе «жарылатын» нүкте. Егер функцияда мұндай полюс болса, онда сол жердегі функцияның қалдығын есептеуге болады, оны функцияны қамтитын контурлық интегралдарды есептеу үшін пайдалануға болады; бұл қуатты қалдық теоремасының мәні. Элементар сингулярлықтардың жанындағы голоморфты функциялардың ерекше мінез-құлқы Пикард теоремасымен сипатталады. Тек полюстері ғана бар, бірақ элементар сингулярлықтары жоқ функциялар мероморфты деп аталады. Лоран қатарлары – Тейлор қатарларының күрделі бағаланған эквиваленті, бірақ оларды сингулярлықтарға жақын функциялардың мінез-құлқын полиномдар сияқты жақсы түсінілетін функциялардың шексіз қосындылары арқылы зерттеу үшін қолдануға болады. Бүкіл күрделі жазықтықта голоморфты және шектелген функция тұрақты болуы керек; бұл Лиувилль теоремасы. Оны күрделі сандар өрісі алгебралық жағынан жабық екенін көрсететін алгебраның негізгі теоремасын дәлелдеу үшін де пайдалануға болады. Егер функция байланысты доменде голоморфты болса, онда оның мәндері кез келген кіші домендегі мәндерімен толық анықталады. Үлкен домендегі функция кіші домендегі мәндерінен аналитикалық түрде жалғастырылады. Бұл функциялардың анықтамасын кеңейтуге мүмкіндік береді, мысалы, Риман зета-функциясы, ол бастапқыда тек шектеулі домендерде жинақталатын шексіз қосындылар түрінде анықталады, шамамен бүкіл күрделі жазықтыққа дейін. Кейде, табиғи логарифм жағдайындағыдай, голоморфты функцияны күрделі жазықтықтағы жай ғана байланыспаған доменге аналитикалық түрде жалғастыру мүмкін емес, бірақ оны Риман беті деп аталатын тығыз байланысты бетке голоморфты функция ретінде кеңейтуге болады. Бәрі де бір айнымалыдағы күрделі талдауға қатысты. Бірнеше күрделі өлшемдегі күрделі талдаудың да өте бай теориясы бар, онда қуат қатарларын кеңейту сияқты аналитикалық қасиеттер сақталады, ал бір күрделі өлшемдегі голоморфты функциялардың көптеген геометриялық қасиеттері (мысалы, конформдық қасиеттері) сақталмайды. Күрделі жазықтықтағы белгілі бір домендердің конформдық қатынасы туралы Риманнің карталау теоремасы, бұл бір өлшемді теориядағы ең маңызды нәтиже болуы мүмкін, жоғары өлшемдерде күрт сәтсіздікке ұшырайды. Кейбір күрделі кеңістіктердің маңызды қолданылуы кванттық механикада толқындық функциялар ретінде болып табылады.

One of the central tools in complex analysis is the line integral. The line integral around a closed path of a function that is holomorphic everywhere inside the area bounded by the closed path is always zero, as is stated by the Cauchy integral theorem. The values of such a holomorphic function inside a disk can be computed by a path integral on the disk's boundary (as shown in Cauchy's integral formula). Path integrals in the complex plane are often used to determine complicated real integrals, and here the theory of residues among others is applicable (see methods of contour integration). A "pole" (or isolated singularity) of a function is a point where the function's value becomes unbounded, or "blows up". If a function has such a pole, then one can compute the function's residue there, which can be used to compute path integrals involving the function; this is the content of the powerful residue theorem. The remarkable behavior of holomorphic functions near essential singularities is described by Picard's theorem. Functions that have only poles but no essential singularities are called meromorphic. Laurent series are the complex valued equivalent to Taylor series, but can be used to study the behavior of functions near singularities through infinite sums of more well understood functions, such as polynomials. A bounded function that is holomorphic in the entire complex plane must be constant; this is Liouville's theorem. It can be used to provide a natural and short proof for the fundamental theorem of algebra which states that the field of complex numbers is algebraically closed. If a function is holomorphic throughout a connected domain then its values are fully determined by its values on any smaller subdomain. The function on the larger domain is said to be analytically continued from its values on the smaller domain. This allows the extension of the definition of functions, such as the Riemann zeta function, which are initially defined in terms of infinite sums that converge only on limited domains to almost the entire complex plane. Sometimes, as in the case of the natural logarithm, it is impossible to analytically continue a holomorphic function to a non simply connected domain in the complex plane but it is possible to extend it to a holomorphic function on a closely related surface known as a Riemann surface. All this refers to complex analysis in one variable. There is also a very rich theory of complex analysis in more than one complex dimension in which the analytic properties such as power series expansion carry over whereas most of the geometric properties of holomorphic functions in one complex dimension (such as conformality) do not carry over. The Riemann mapping theorem about the conformal relationship of certain domains in the complex plane, which may be the most important result in the one dimensional theory, fails dramatically in higher dimensions. A major application of certain complex spaces is in quantum mechanics as wave functions.