Кіріспе
Бір-біріне қадамдық түрде жақындап келе жатқан нүктелер тізбегі. Математикада Коши тізбегі – элементтері тізбек дамыған сайын бір-біріне кез келгеннен жақын болатын тізбек. Нақтырақ айтқанда, кез келген кішкентай оң қашықтық берілгенде, тізбектің шекті санын қоспағанда, барлық элементтері бір-бірінен берілген қашықтықтан кем болады. Коши тізбектері Огюстен Луи Кошидің құрметіне аталған; оларды кейде негізгі тізбектер деп те атайды. Әрбір мүшесінің алдыңғы мүшесіне кездейсоқ жақын болуы жеткіліксіз. Мысалы, натурал сандардың квадрат түбірлерінің тізбегінде:
In mathematics, a Cauchy sequence is a sequence whose elements become arbitrarily close to each other as the sequence progresses. More precisely, given any small positive distance, all excluding a finite number of elements of the sequence are less than that given distance from each other. Cauchy sequences are named after Augustin Louis Cauchy; they may occasionally be known as fundamental sequences. It is not sufficient for each term to become arbitrarily close to the preceding term. For instance, in the sequence of square roots of natural numbers:
the consecutive terms become arbitrarily close to each other – their differences
tend to zero as the index n grows. However, with growing values of n, the terms become arbitrarily large. So, for any index n and distance d, there exists an index m big enough such that As a result, no matter how far one goes, the remaining terms of the sequence never get close to each other; hence the sequence is not Cauchy. The utility of Cauchy sequences lies in the fact that in a complete metric space (one where all such sequences are known to converge to a limit), the criterion for convergence depends only on the terms of the sequence itself, as opposed to the definition of convergence, which uses the limit value as well as the terms. This is often exploited in algorithms, both theoretical and applied, where an iterative process can be shown relatively easily to produce a Cauchy sequence, consisting of the iterates, thus fulfilling a logical condition, such as termination. Generalizations of Cauchy sequences in more abstract uniform spaces exist in the form of Cauchy filters and Cauchy nets.
тізбектің келесі мүшелері бір-біріне кездейсоқ жақын болады – олардың айырмашылықтары индекс n өскен сайын нөлге жақындайды. Алайда, n-нің мәндері өскен сайын, мүшелердің өзі кездейсоқ үлкен болады. Сондықтан, кез келген n индексі мен d қашықтығы үшін, жеткілікті үлкен m индексі табылады, сонда тізбектің қалған мүшелері бір-біріне ешқашан жақындамайды; демек, тізбек Коши тізбегі емес. Коши тізбектерінің пайдалылығы толық метрикалық кеңістікте (барлық осындай тізбектердің шегі бар екені белгілі) жатуында, себебі ығысу шарты тек тізбектің өзіне ғана байланысты, ал ығысудың анықтамасы шекті мәнді де, тізбектің мүшелерін де пайдаланады. Бұл теориялық және қолданбалы алгоритмдерде жиі қолданылады, онда итерациялық процестің Коши тізбегін – итерациялардан тұратын тізбектің құратынын салыстырмалы түрде оңай көрсетуге болады, осылайша тоқтау сияқты логикалық шарт орындалады. Коши тізбектерінің абстрактілі біртекті кеңістіктердегі жалпылама түрі Коши сүзгілері және Коши торлары болып табылады.
In mathematics, a Cauchy sequence is a sequence whose elements become arbitrarily close to each other as the sequence progresses. More precisely, given any small positive distance, all excluding a finite number of elements of the sequence are less than that given distance from each other. Cauchy sequences are named after Augustin Louis Cauchy; they may occasionally be known as fundamental sequences. It is not sufficient for each term to become arbitrarily close to the preceding term. For instance, in the sequence of square roots of natural numbers:
the consecutive terms become arbitrarily close to each other – their differences
tend to zero as the index n grows. However, with growing values of n, the terms become arbitrarily large. So, for any index n and distance d, there exists an index m big enough such that As a result, no matter how far one goes, the remaining terms of the sequence never get close to each other; hence the sequence is not Cauchy. The utility of Cauchy sequences lies in the fact that in a complete metric space (one where all such sequences are known to converge to a limit), the criterion for convergence depends only on the terms of the sequence itself, as opposed to the definition of convergence, which uses the limit value as well as the terms. This is often exploited in algorithms, both theoretical and applied, where an iterative process can be shown relatively easily to produce a Cauchy sequence, consisting of the iterates, thus fulfilling a logical condition, such as termination. Generalizations of Cauchy sequences in more abstract uniform spaces exist in the form of Cauchy filters and Cauchy nets.
Толықтығы
Кез келген Коши тізбегі X элементіне жақын түсетін (X, d) метрикалық кеңістігі толық кеңістік деп аталады.
Мысалдар
Нақты сандар қалыпты абсолюттік шамамен шақырылған метрика бойынша толық, ал нақты сандардың стандартты құралу жолдарының бірі рационал сандардың Коши тізбектерін қамтиды. Осы құралымда, белгілі бір соңғы мінез-құлқы бар рационал сандардың Коши тізбектерінің әрбір эквиваленттілік класы – яғни, бір-біріне кез келген дәрежеде жақындасатын тізбектердің әрбір класы – нақты сан болып табылады. Мүлдем басқа типтегі мысал дискретті метрикаға ие (әрбір екі түрлі нүкте бір-бірінен 1 қашықтықта жататын) X метрикалық кеңістігімен беріледі. X элементтерінің кез келген Коши тізбегі белгілі бір нүктеден бастап тұрақты болуы керек және соңында қайталанататын шамаға жақындасады.
Гиперреалдық континуумда
Нақты тізбектің табиғи гиперреалдық кеңейтімі бар, ол әдеттегі табиғи n-ге қосымша индекстің гипернатуральды H мәндері үшін анықталады. Тізбек Кошилік болып табылады, егер және тек қана егер кез келген шексіз H және K үшін мәндер және бір-біріне шексіз жақын немесе тең болса, яғни:
where "st" is the standard part function.
,
where "st" is the standard part function.
мұнда "st" – стандартты бөлік функциясы.
where "st" is the standard part function.
Категориялардың Кошилік толықтығы
Категорияның Коши толықтыруы туралы ұғым енгізілді. Бұл Коши толықтыруы, (объектілері рационал сандар болатын және x-тен y-ге морфизм тек қана болған жағдайда ғана болатын категорияға) қолданылғанда, (табиғи ретін пайдаланатын категория ретінде қарастырылатын) нәтиже береді.