Кіріспе
Функцияның нақты анықталу домені оның көрінетін доменінен кіші болуы мүмкін. Математикада X жиынынан Y жиынына дейінгі f бөлшектік функциясы – S жиынының (немесе X жиынының толық бөлігінің) Y жиынына дейінгі функция болып табылады. S қосалқы жиыны, яғни f функциясы ретінде қаралатын домені, f функциясының анықталу домені немесе табиғи домені деп аталады. Егер S жиыны X жиынымен тең болса, яғни f функциясы X жиынының әрбір элементі үшін анықталған болса, онда f функциясы толық функция деп аталады. Техникалық тұрғыдан алғанда, бөлшектік функция – екі жиын арасындағы екілік қатынас болып табылады, ол бірінші жиынның әрбір элементін екінші жиынның бір ғана элементімен байланыстырады; демек, ол бірмәнді қатынас болып табылады. Бұл, бірінші жиынның әрбір элементінің екінші жиынның элементімен байланысуын міндетті етпей, (толық) функция ұғымын жалпылайды. Бөлшектік функция көбінесе оның нақты анықталу домені белгісіз немесе анықтау қиын болған жағдайларда қолданылады. Мұндай жағдай есептеуде кездеседі, мысалы, екі функцияның бөліндісі – бұл бөлшектік функция, оның анықталу домені бөлімінің нөлдерін қамти алмайды. Осы себепті, есептеуде және жалпы математикалық талдауда бөлшектік функция әдетте жай ғана функция деп аталады. Есептеу теориясында жалпы рекурсивті функция – бүтін сандардан бүтін сандарға дейінгі бөлшектік функция болып табылады; мұндай функцияның толық болатынын анықтауға арналған алгоритм жоқ. Функциялар үшін жебелік нотация қолданылғанда, 1-ден 2-ге дейінгі бөлшектік функция кейде немесе деп жазылады. Алайда, жалпы келісім жоқ, және соңғы нотация көбінесе кіріктіру карталары немесе ендірулер үшін қолданылады. Нақтырақ айтқанда, жартылай функция үшін және кез келген үшін мыналардың бірі орындалады: (Y-де жалғыз элемент) немесе анықталмаған. Мысалы, егер квадрат түбір функциясы бүтін сандармен шектелген болса және егер, және тек егер, болса, онда тек қана толық квадрат болған жағдайда ғана анықталады (яғни, ). Сондықтан, бірақ анықталмаған.
In mathematics, a partial function f from a set X to a set Y is a function from a subset S of X (possibly the whole X itself) to Y. The subset S, that is, the domain of f viewed as a function, is called the domain of definition or natural domain of f. If S equals X, that is, if f is defined on every element in X, then f is said to be a total function. More technically, a partial function is a binary relation over two sets that associates every element of the first set to at most one element of the second set; it is thus a univalent relation. This generalizes the concept of a (total) function by not requiring every element of the first set to be associated to an element of the second set. A partial function is often used when its exact domain of definition is not known or difficult to specify. This is the case in calculus, where, for example, the quotient of two functions is a partial function whose domain of definition cannot contain the zeros of the denominator. For this reason, in calculus, and more generally in mathematical analysis, a partial function is generally called simply a function. In computability theory, a general recursive function is a partial function from the integers to the integers; no algorithm can exist for deciding whether an arbitrary such function is in fact total. When arrow notation is used for functions, a partial function from to is sometimes written as or However, there is no general convention, and the latter notation is more commonly used for inclusion maps or embeddings. Specifically, for a partial function and any one has either:
(it is a single element in Y), or
is undefined. For example, if is the square root function restricted to the integers
defined by:
if, and only if,
then is only defined if is a perfect square (that is, ). So but is undefined.
Негізгі түсініктер
X және Y жиындары арасындағы бейнелеулерді қарастыру арқылы, X жиынының толық бөлігінде анықталмаған ішінара функция туындайды. Көрінетін мысал – нақты сандардағы квадрат түбір операциясы: теріс нақты сандардың нақты квадрат түбірі болмайтындықтан, бұл операцияны S-тен Y-ге дейінгі ішінара функция ретінде қарастыруға болады. Квадрат түбір операциясы мысалында, S жиыны теріс емес нақты сандардан тұрады. Ішінара функцияның анықталу домені – бұл ішінара функцияның анықталған X жиынының ішкі жиыны S; бұл жағдайда, ішінара функцияны S-тен Y-ге дейінгі функция ретінде де қарастыруға болады. Ішінара функция ұғымы, анықталу домені белгісіз немесе тіпті белгілі болмаған жағдайларда ерекше ыңғайлы. Компьютерлік ғылымдағы соңғысының мысалы – тоқтау мәселесі. Егер анықталу домені S, X жиынының толық жиынына тең болса, онда ішінара функция толық деп аталады. Осылайша, X-тен Y-ге дейінгі толық ішінара функциялар, X-тен Y-ге дейінгі функциялармен сәйкес келеді. Функциялардың көптеген қасиеттерін ішінара функцияларға тиісті мағынада кеңейтуге болады. Ішінара функция инъективті, сюръективті немесе биективті деп есептеледі, егер ішінара функцияның анықталу доменіне шектеу қойылған функция тиісінше инъективті, сюръективті, биективті болса. Функция өзінің бейнесімен шектелгенде тривиальды түрде сюръективті болғандықтан, ішінара биекция термині ішінара инъективті функцияны білдіреді. Инъективті ішінара функция инъективті ішінара функцияға кері айналуы мүмкін, ал инъективті және сюръективті ішінара функция инъективті функцияға кері айналады. Сонымен қатар, инъективті функция биективті ішінара функцияға кері айналуы мүмкін. Трансформация ұғымын да ішінара функцияларға жалпылауға болады. Ішінара трансформация – бұл функция, онда екеуі де және кейбір жиынтықтың ішкі жиындары болып табылады. Бір оқулықта "Бұл жиынтықтарды және ішінара бейнелеулерді «жарамсыз», «шексіз» элементтерді қосу арқылы формальды түрде толықтыру, әсіресе, топологияда (бір нүктелі тығыздалу) және теориялық компьютерлік ғылымда көп рет қайта ойлап табылды" делінген. Жинақтар мен ішінара биекциялар категориясы оның дуалымен эквивалентті. Бұл – прототиптік кері категория.
The notion of partial function is particularly convenient when the exact domain of definition is unknown or even unknowable. For a computer science example of the latter, see Halting problem. In case the domain of definition S is equal to the whole set X, the partial function is said to be total. Thus, total partial functions from X to Y coincide with functions from X to Y. Many properties of functions can be extended in an appropriate sense of partial functions. A partial function is said to be injective, surjective, or bijective when the function given by the restriction of the partial function to its domain of definition is injective, surjective, bijective respectively. Because a function is trivially surjective when restricted to its image, the term partial bijection denotes a partial function which is injective. An injective partial function may be inverted to an injective partial function, and a partial function which is both injective and surjective has an injective function as inverse. Furthermore, a function which is injective may be inverted to a bijective partial function. The notion of transformation can be generalized to partial functions as well. A partial transformation is a function where both and are subsets of some set One textbook notes that "This formal completion of sets and partial maps by adding “improper,” “infinite” elements was reinvented many times, in particular, in topology (one point compactification) and in theoretical computer science." The category of sets and partial bijections is equivalent to its dual. It is the prototypical inverse category.
Абстрактілік алгебрада
Қиссалық алгебра жартылай операцияларға әмбебап алгебра түсінігін кеңейтеді. Мысал ретінде, өрісті қарастырайық, онда көбейтуге кері операция – жалғыз нақты жартылай операция (өйткені нөлге бөлу анықталмаған). Белгілі бір базалық жиынтақтағы барлық ішінара функциялардың (ішінара түрлендірулердің) жиынтығы, барлық ішінара түрлендірулердің жартылай тобын (немесе жиынтағындағы ішінара түрлендірулердің жартылай тобын) құрайды, бұл тұрақты жартылай топ ретінде белгіленеді. Белгілі бір жиынтақтағы барлық ішінара өзара тең функциялар жиынтығы симметриялық кері жартылай топты құрайды.
Манифольдер мен талшықтар бундельдерінің диаграммалары мен атластары
Атластағы диаграммалар, көпқырлылықтар мен талшықты шоғырлардың құрылымын анықтайтын, ішінара функциялар болып табылады. Көпқырлылықтар жағдайында домен – көпқырлылықтың нүктелер жиыны. Талшықты шоғырлар жағдайында домен – талшықты шоғырдың кеңістігі. Бұл қолданыстарда ең маңызды құрылым – бір диаграмманың екінші диаграмманың кері функциясымен композициясынан құралған ауысу картасы. Көпқырлылықтар мен талшықты шоғырлардың бастапқы жіктелуі көбінесе осы ауысу карталарына қойылатын шектеулер арқылы беріледі. Функциялардың орнына ішінара функцияларды қолдану себебі – жалпы жаһандық топологияларды жергілікті жамауларды біріктіру арқылы жаһандық құрылымды сипаттауға мүмкіндік беру. "Жамаулар" – диаграммалар анықталатын домендер.