Кіріспе
Голоморфтық функциялардың ерекше қасиеттері
Математикадағы комплекс сараптама саласында, Огустен Коши және Бернхард Риманның есімдерімен аталатын Коши-Риман теңдеулері – бұл комплекс айнымалының комплекс функциясының комплекспен туындылануы үшін қажетті және жеткілікті шарт құрайтын екі ішінара дифференциал теңдеулер жүйесі. Бұл теңдеулер:
және
мұнда u(x, y) және v(x, y) – нақты дифференциалданатын екі айнымалы функциялар. Әдетте, u және v – 1=f(x + iy) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) комплекс функциясының нақты және жорамал бөліктері, мұнда x және y – нақты айнымалылар; u және v – нақты айнымалылардың нақты дифференциалданатын функциялары. Онда f комплекстік нүктеде комплекспен туындыланады, егер және тек қана u және v-дің ішінара туындылары сол нүктеде Коши-Риман теңдеулерін қанағаттандырса. Голоморфтық функция – бұл "С" комплекс жазықтығының кез келген ашық ішкі жиынының әрбір нүктесінде туындыланатын комплекс функция. Голоморфтық функциялар аналитикалық, ал аналитикалық комплекс функциялар комплекспен туындыланатыны дәлелденді. Атап айтқанда, голоморфтық функциялар шексіз комплекспен туындыланады. Туындылану мен аналитикалық теңдік – барлық комплекс сараптаманың бастапқы нүктесі болып табылады.
Тарих
Коши-Риманн теңдеулері алғаш рет Жан ле Ронд д’Алембердің еңбегінде кездесті. Кейін Леонхард Эйлер осы жүйені аналитикалық функциялармен байланыстырды. Коши бұл теңдеулерді өз функциялар теориясын құру үшін пайдаланды. Риманның функциялар теориясы бойынша диссертациясы 1851 жылы жарияланды.
Түсіндіру және қайта құру
Коши-Риман теңдеулері – бұл функцияның комплекс сандар бойынша талдау мағынасында туынды болу шартын қарастырудың бір жолы: яғни, олар дәстүрлі дифференциалдық есептеудің көмегімен комплекс айнымалы функциясының мәнін анықтайды. Теорияда осы мәнді қарастырудың тағы бірнеше маңызды тәсілдері бар, және осы шартты басқа түсініктерге аудастыру жиі қажет болады.
Гурсат теоремасы және оның жалпылаулары
1=f = u + iv – күрделі шамалы функция деп есептейік, ол f : 'R'^(2) → 'R'^(2) функциясы ретінде дифференциалданады. Онда Гурсат теоремасы f функциясы ашық кешенді доменде Ω аналитикалық екенін күтіреді, егер және тек қана доменде Коши-Риман теңдеуін қанағаттандырса. Атап айтқанда, f функциясының үздіксіз дифференциалдануын талап етпейді. Гурсат теоремасының гипотезаларын едәуір жеңілдетуге болады. Егер 1=f = u + iv ашық жиын Ω-да үздіксіз болса және f функциясының x және y-қа қатысты ішінара туындылары Ω-да болса, сондай-ақ Ω-да Коши-Риман теңдеулерін қанағаттандырса, онда f голоморфты (және демек аналитикалық) болады. Бұл нәтиже – Луман-Менхофф теоремасы. f функциясының бүкіл Ω доменінде Коши-Риман теңдеулерін орындауы қажеттілік. Коши-Риман теңдеулерін қанағаттандыратын, бірақ домендегі бір нүктеде аналитикалық емес, үздіксіз функцияны құруға болады (мысалы, сондай-ақ Коши-Риман теңдеулерінен өзге қосымша шарттар қажет (мысалы, үздіксіздік), бұл келесі мысалмен көрсетіледі, ол Коши-Риман теңдеулерін барлық жерде қанағаттандырады, бірақ z = 0 нүктесінде үздіксіз бола алмайды. Дегенмен, егер функция ашық жиынтықта Коши-Риман теңдеулерін әлсіз мағынада қанағаттандырса, онда функция аналитикалық болады. Нақтырақ айтқанда: егер f(z) функциясы ашық доменде Ω ⊂ C жергілікті интегралданатын болса және Коши-Риман теңдеулерін әлсіз қанағаттандырса, онда f функциясы Ω-дағы аналитикалық функциямен дерлік барлық жерде сәйкес келеді. Бұл, шындығында, гипоэллиптік дербес дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің тұрақтылығы туралы жалпы нәтижелердің ерекше жағдайы.
which satisfies the Cauchy–Riemann equations everywhere, but fails to be continuous at z = 0. Nevertheless, if a function satisfies the Cauchy–Riemann equations in an open set in a weak sense, then the function is analytic. More precisely:
If f(z) is locally integrable in an open domain Ω ⊂ C, and satisfies the Cauchy–Riemann equations weakly, then f agrees almost everywhere with an analytic function in Ω. This is in fact a special case of a more general result on the regularity of solutions of hypoelliptic partial differential equations.
Бірнеше айнымалылар
Бірнеше кешенді айнымалылар теориясында тиісті түрде жалпыланған Cauchy-Riemann теңдеулері бар. Олар маңызды артық анықталған дербес дифференциал теңдеулер жүйесін құрайды. Бұл Виртингер туындысының тікелей жалпылауын қолдану арқылы жасалады, мұнда зерттеліп отырған функцияның әрбір кешенді айнымалыға қатысты (ішінара) Виртингер туындысы нөлге тең болуы керек.
Беклунд түрлендіруі
Конъюгат гармоникалық функциялар ретінде қарастырылғанда, Коши-Риман теңдеулері Баклунд түрлендіруінің қарапайым мысалы болып табылады. Күрделі, көбінесе сызықтық емес Баклунд түрлендірулері, мысалы, синус-Гордон теңдеуінде, солитондар мен интегралданатын жүйелер теориясында зор қызығушылық тудырады.
Жоғары өлшемдегі конформды сәйкестендірулер
Ω Евклид кеңістігіндегі Rn ашық жиыны болсын. Бағытты сақтайтын f картасының конформды (яғни бұрыштарды сақтайтын) болуы үшін келесі теңдеу орындалуы керек:
мұнда Df – Якоби матрицасы, оның транспозі – , ал I – бірлік матрицаны білдіреді. Егер n = 2 болса, бұл жүйе күрделі айнымалылардың стандартты Коши-Риман теңдеулерімен эквивалентті, ал оның шешімдері голоморфты функциялар болады. n > 2 болғанда, бұл кейде Коши-Риман жүйесі деп аталады, ал Лиувилль теоремасы, тиісті тегістік шарттары орындалғанда, кез келген мұндай карталау Мёбиус түрлендіруі екенін көрсетеді.