Кіріспе
Нақты сандар мен нақты функциялардың математикасы. Математикада нақты талдау саласы нақты сандардың, нақты сандар тізбектері мен қатарларының және нақты функциялардың қасиеттерін зерттейді. Нақты талдау зерттейтін нақты мәнді тізбектер мен функциялардың ерекше қасиеттеріне жуысу, лимиттер, үздіксіздік, тегістік, туындылық және интегралдану қабілеті жатады. Нақты талдау, күрделі сандар мен олардың функцияларын зерттейтін күрделі талдаудан өзгеше.
In mathematics, the branch of real analysis studies the behavior of real numbers, sequences and series of real numbers, and real functions. Some particular properties of real valued sequences and functions that real analysis studies include convergence, limits, continuity, smoothness, differentiability and integrability. Real analysis is distinguished from complex analysis, which deals with the study of complex numbers and their functions.
Нақты сандарды құру
Нақты талдау теоремалары нақты сандар жүйесінің қасиеттеріне негізделеді, оларды белгілеу қажет. Нақты сандар жүйесі санаусыз жиынтықтан, + және ⋅ белгіленген екі екілік операциядан және ≤ белгіленген толық реттен тұрады. Операциялар нақты сандарды өріс етеді, ал ретпен бірге – реттелген өріс. Нақты сандар жүйесі – бірегей толық реттелген өріс, яғни кез келген басқа толық реттелген өріс оған изоморфты болады. Интуитивті түрде толықтық, нақты сандарда "үзілістер" (немесе "бөліктердің жоқтығы") бар екенін білдіреді. Бұл қасиет нақты сандарды басқа реттелген өрістерден (мысалы, рационалды сандардан) ерекшелейді және нақты сандардың функцияларының бірнеше маңызды қасиеттерін дәлелдеу үшін өте маңызды. Нақты сандардың толықтығы көбінесе ең кіші жоғарғы шек қасиеті арқылы ыңғайлы түрде көрсетіледі (төменде қараңыз).
Нақты сандардың рет қасиеттері
Нақты сандар күрделі сандарда жоқ әр түрлі тор теориялық қасиеттерге ие. Сонымен қатар, нақты сандар реттелген өріс құрайды, онда оң сандардың қосындылары мен көбейтінділері де оң болады. Бұған қоса, нақты сандардың реті толық болып табылады, және нақты сандар ең кіші жоғарғы шек қасиетіне ие: жоғарғы шегі бар бос емес кез келген ішкі жиынның ең кіші жоғарғы шегі болады, ол да нақты сан болады. Осы рет теориялық қасиеттер нақты анализдегі маңызды нәтижелерге алып келеді, мысалы, монотонды жинақталу теоремасы, аралық мән теоремасы және орташа мән теоремасы. Дегенмен, нақты анализдегі нәтижелер нақты сандар үшін айтылғанмен, осы нәтижелердің көптегені басқа математикалық объектілерге де жалпыланады. Атап айтқанда, функционалдық анализ және операторлар теориясындағы көптеген идеялар нақты сандардың қасиеттерін жалпылайды – мұндай жалпылауларға Риес кеңістіктері мен оң операторлар теориясы жатады. Сондай-ақ, математиктер күрделі тізбектердің нақты және жорамал бөліктерін, немесе операторлар тізбектерін нүкте бойынша бағалау арқылы қарастырады.
Нақты сандардың топологиялық қасиеттері
Нақты талдау теоремаларының көпшілігі нақты сандар түзуінің топологиялық қасиеттерінің салдары болып табылады. Жоғарыда сипатталған нақты сандардың реттік қасиеттері осы топологиялық қасиеттермен тығыз байланысты. Топологиялық кеңістік ретінде нақты сандар стандартты топологияға ие, ол реттік қатынастар арқылы туындаған реттік топология болып табылады. Басқаша айтқанда, абсолюттік мән функциясын қолданып, метрикалық немесе қашықтық функциясын <math>d(x, y) = деп анықтағанда, нақты сандар метрикалық кеңістіктің негізгі мысалына айналады. Метрика арқылы туындаған топология реттік топологиямен сәйкес келеді. Топологиялық сипатқа ие аралық мән теоремасы сияқты теоремалар көбінесе тек нақты сандармен ғана емес, метрикалық немесе топологиялық кеңістіктердің жалпы жағдайында да дәлелденуі мүмкін. Мұндай дәлелдер көбінесе тікелей әдістерді қолданатын классикалық дәлелдерге қарағанда қысқарақ немесе оңайырақ болады.
Функциялар тізбектерінің біркелкі және нүктелік конвергенциясы
Сандар тізбектерінен басқа, функциялар тізбектері туралы да сөз етілуі мүмкін, яғни функциялардың шексіз, реттелген отбасылары, олар арнайы белгіленеді және олардың жуысу қасиеттері зерттеледі. Дегенмен, функциялар тізбектерінің жағдайында екі түрлі жуысу бар: нүктелік жуысу және біркелкі жуысу, оларды ажырату қажет. Дерексіз айтқанда, функциялардың нүктелік жуысуы шектес функцияға , деп белгіленеді, кез келген берілген үшін , егер болса дегенді білдіреді. Ал біркелкі жуысу – бұл күштірек жуысу түрі, себебі біркелкі жуысатын функциялар тізбегі нүктелік жуысады, бірақ керісінше дұрыс емес. Біркелкі жуысу үшін функциялар отбасының мүшелерінің кез келген мәні үшін, белгілі бір қатеден кем болуы керек, егер үшін, кейбір бүтін сан үшін. Функциялар отбасының біркелкі жуысуы, кейде деп белгіленеді, үшін, қаншалықты кішкентай болса да, осындай мән болуы тиіс. Интуитивті түрде, жеткілікті үлкен үшін функциялардың бәрі домендегі әрбір мән үшін (яғни, аралығында) белгілі бір ені бар «түтікшеге» сыйып қалады. Нүктелік және біркелкі жуысу арасындағы айырмашылық екі шектеу амалының (мысалы, шектің, туындының немесе интегралдың) ретін ауыстыру қажет болғанда маңызды: алмасу дұрыс жүруі үшін, нақты талдаудың көптеген теоремалары біркелкі жуысуды талап етеді. Мысалы, үздіксіз функциялар тізбегі (төменде қараңыз) егер жуысу біркелкі болса, үздіксіз шектес функцияға жуысады деп кепілдік беріледі, ал егер жуысу тек нүктелік болса, шектес функция үздіксіз болмауы мүмкін. Карл Вейерштрасс біркелкі жуысу ұғымын нақты анықтаған және оның салдарына толыққанды зерттеу жүргізген.
The distinction between pointwise and uniform convergence is important when exchanging the order of two limiting operations (e. g., taking a limit, a derivative, or integral) is desired: in order for the exchange to be well behaved, many theorems of real analysis call for uniform convergence. For example, a sequence of continuous functions (see below) is guaranteed to converge to a continuous limiting function if the convergence is uniform, while the limiting function may not be continuous if convergence is only pointwise. Karl Weierstrass is generally credited for clearly defining the concept of uniform convergence and fully investigating its implications.
Қатықтығы
Компакттылық – жалпы топологиядан алынған түсінік, ол нақты талдаудың көптеген теоремаларында маңызды рөл атқарады. Компакттылық қасиеті – жиынның жабық және шектеулі болуының жалпылама түсінігі. (Нақты талдау контекстінде, бұл түсініктер эквивалентті: Евклид кеңістігіндегі жиын компактты болады, егер және тек қана ол жабық және шектеулі болса.) Қысқаша айтқанда, жабық жиын өзінің барлық шекаралық нүктелерін қамтиды, ал жиын шектеулі болады, егер жиынның кез келген екі нүктесі арасындағы қашықтық белгілі бір нақты сандан кем болса. , жабық және шектеулі болғандықтан, компактты жиындарға бос жиын, кез келген шекті сандағы нүктелер, жабық аралықтар және олардың шекті бірінділері жатады. Дегенмен, бұл тізім толық емес; мысалы, жиын – компактты жиын, ал Кантор үштік жиыны – компактты жиынның тағы бір мысалы. Ал, жиын компактты емес, себебі ол шектеулі, бірақ жабық емес, өйткені шекаралық нүкте 0 жиынға жатпайды. жиын да компактты емес, себебі ол жабық, бірақ шектеулі емес. Нақты сандардың ішкі жиындары үшін компакттылықтың бірнеше эквивалентті анықтамалары бар. Анықтама. Жиын компактты болады, егер ол жабық және шектеулі болса. Бұл анықтама кез келген шекті өлшемді Евклид кеңістігі үшін де қолданылады, бірақ жалпы метрикалық кеңістіктер үшін жарамсыз. Осы бөлімде кейінірек берілетін кіші жамылғыларға негізделген компакттылық анықтамасымен теңдігі Хайне-Борель теоремасы деп аталады. Барлық метрикалық кеңістіктерге қолданылатын жалпы анықтамада ішкі тізбек түсінігі қолданылады (жоғарыда қараңыз). Анықтама. Метрикалық кеңістіктегі жиын компактты болады, егер оның әрбір тізбегінде жайылмалы ішкі тізбек болса. Бұл қасиет жайылмалы компакттылық деп аталады. , жиын жайылмалы компактты болады, егер және тек қана ол жабық және шектеулі болса, бұл анықтаманы жоғарыда берілген анықтамамен теңестіреді. Жайылмалы компакттылық метрикалық кеңістік үшін кіші жамылғыларға негізделген компакттылық анықтамасымен эквивалентті, бірақ жалпы топологиялық кеңістіктер үшін емес. Компакттылықтың ең жалпы анықтамасы топологиялық кеңістікке (соның салдарынан метрикалық кеңістіктерге және ерекше жағдайларда) қолданылатын ашық жамылғылар мен кіші жамылғылар түсінігіне негізделген. Қысқаша айтқанда, ашық жиындардың жиыны жиынның ашық жамылғысы деп аталады, егер осы жиындардың бірігісі жиынды қамтыса. Бұл ашық жамылғыда шекті кіші жамылғы бар деп айтылады, егер анықтаманы қамтитын шекті кіші жиын табылатын болса. Топологиялық кеңістіктегі жиын компактты болады, егер оның әрбір ашық жамылғысында шекті кіші жамылғы болса. Компактты жиындар конвергенция және үздіксіздік сияқты қасиеттерге қатысты жақсы қасиеттерге ие. Мысалы, компактты метрикалық кеңістіктегі кез келген Коши тізбегі жайылмалы болады. Тағы бір мысал ретінде, үздіксіз бейнелеудің астындағы компактты метрикалық кеңістіктің бейнесі де компактты болады.
Definition. A set in a topological space is compact if every open cover of has a finite subcover. Compact sets are well behaved with respect to properties like convergence and continuity. For instance, any Cauchy sequence in a compact metric space is convergent. As another example, the image of a compact metric space under a continuous map is also compact.
Жалғастығы
Нақты сандар жиынынан нақты сандарға дейінгі функция Картезиан жазықтығындағы график арқылы бейнелене алады; мұндай функция, егер графигі ешқандай «бүлінулермен» немесе «секірістермен» жоқ, жалғыз үздіксіз қисық болса, үздіксіз болады. Бұл түсінікті математикалық тұрғыдан нақтылаудың бірнеше жолы бар. Әртүрлі жалпылау деңгейлерінде бірнеше анықтамалар берілуі мүмкін. Егер екі немесе одан көп анықтамалар қолданылатын болса, олардың бір-біріне тең екені оңай көрсетіледі, сондықтан берілген функцияның үздіксіз немесе үздіксіз еместігін анықтау үшін ең ыңғайлы анықтаманы пайдалануға болады. Төменде берілген бірінші анықтамада функция нақты сандар жиынының дегенеративті емес интервалында анықталған, оның домені ретінде. Мүмкіндіктерге , нақты сандардың толық жиыны, ашық интервал немесе жабық интервал жатады. Мұнда және ерекше нақты сандар, және біз бос немесе тек бір нүктеден тұратын жағдайды ерекше атап өтеміз. Анықтама. Егер дегенеративті емес интервал болса, функцияны нүктесінде үздіксіз дейміз, егер . Функцияны үздіксіз бейнелеу деп айтамыз, егер функция әрбір нүктесінде үздіксіз болса. Нүктеде шектеуіш болуының талаптары, функцияның өзіндегі мінез-құлқына шектеу қоймайтын болса, функцияның нүктесінде үздіксіз болуы үшін келесі екі шарт орындалуы керек: (i) функция нүктесінде анықталған болуы керек, яғни нүкте функцияның доменіне кіруі керек; және (ii) . Жоғарыдағы анықтама, шын мәнінде, оқшауланған нүктесі жоқ кез келген доменге қолданылады, немесе эквивалентті түрде, әрбір нүкте доменнің шекті нүктесі болады. Жалпы домені бар функцияларға қолданылатын жалпы анықтама мынадай:
In contrast to the requirements for to have a limit at a point , which do not constrain the behavior of at itself, the following two conditions, in addition to the existence of , must also hold in order for to be continuous at : (i) must be defined at , i. e., is in the domain of ; and (ii) as The definition above actually applies to any domain that does not contain an isolated point, or equivalently, where every is a limit point of A more general definition applying to with a general domain is the following:
Definition. If is an arbitrary subset of , we say that is continuous at if, for any , there exists such that for all , implies that We say that is a continuous map if is continuous at every
A consequence of this definition is that is trivially continuous at any isolated point This somewhat unintuitive treatment of isolated points is necessary to ensure that our definition of continuity for functions on the real line is consistent with the most general definition of continuity for maps between topological spaces (which includes metric spaces and in particular as special cases). This definition, which extends beyond the scope of our discussion of real analysis, is given below for completeness. Definition. If and are topological spaces, we say that is continuous at if is a neighborhood of in for every neighborhood of in We say that is a continuous map if is open in for every open in
(Here, refers to the preimage of under .)
Анықтама. Егер домен нақты сандар жиынының кез келген ішкі жиыны болса, функцияны нүктесінде үздіксіз дейміз, егер кез келген үшін, мұндай бар, осылайша барлық үшін, егер , онда . Функцияны үздіксіз бейнелеу деп айтамыз, егер функция әрбір нүктесінде үздіксіз болса.
In contrast to the requirements for to have a limit at a point , which do not constrain the behavior of at itself, the following two conditions, in addition to the existence of , must also hold in order for to be continuous at : (i) must be defined at , i. e., is in the domain of ; and (ii) as The definition above actually applies to any domain that does not contain an isolated point, or equivalently, where every is a limit point of A more general definition applying to with a general domain is the following:
Definition. If is an arbitrary subset of , we say that is continuous at if, for any , there exists such that for all , implies that We say that is a continuous map if is continuous at every
A consequence of this definition is that is trivially continuous at any isolated point This somewhat unintuitive treatment of isolated points is necessary to ensure that our definition of continuity for functions on the real line is consistent with the most general definition of continuity for maps between topological spaces (which includes metric spaces and in particular as special cases). This definition, which extends beyond the scope of our discussion of real analysis, is given below for completeness. Definition. If and are topological spaces, we say that is continuous at if is a neighborhood of in for every neighborhood of in We say that is a continuous map if is open in for every open in
(Here, refers to the preimage of under .)
Осы анықтаманың салдары ретінде, функция кез келген оқшауланған нүктесінде тривиальды түрде үздіксіз болады. Бұл сәл интуитивті емес қарастырылуы, нақты сызықтағы функциялар үшін үздіксіздік анықтамасы топологиялық кеңістіктер арасындағы бейнелеулердің ең жалпы анықтамасымен сәйкес келуін қамтамасыз ету үшін қажет. Бұл анықтама, нақты талдау туралы біздің талқымыздың шегінен шығады, толықтығы үшін төменде келтірілген. Анықтама. Егер және топологиялық кеңістіктер болса, функцияны нүктесінде үздіксіз дейміз, егер функцияның әрбір үшін, функцияның ішкі жиыны болады. Функцияны үздіксіз бейнелеу деп айтамыз, егер әрбір ашық жиын үшін ашық болады (Мұнда функцияның кері бейнесін білдіреді).
In contrast to the requirements for to have a limit at a point , which do not constrain the behavior of at itself, the following two conditions, in addition to the existence of , must also hold in order for to be continuous at : (i) must be defined at , i. e., is in the domain of ; and (ii) as The definition above actually applies to any domain that does not contain an isolated point, or equivalently, where every is a limit point of A more general definition applying to with a general domain is the following:
Definition. If is an arbitrary subset of , we say that is continuous at if, for any , there exists such that for all , implies that We say that is a continuous map if is continuous at every
A consequence of this definition is that is trivially continuous at any isolated point This somewhat unintuitive treatment of isolated points is necessary to ensure that our definition of continuity for functions on the real line is consistent with the most general definition of continuity for maps between topological spaces (which includes metric spaces and in particular as special cases). This definition, which extends beyond the scope of our discussion of real analysis, is given below for completeness. Definition. If and are topological spaces, we say that is continuous at if is a neighborhood of in for every neighborhood of in We say that is a continuous map if is open in for every open in
(Here, refers to the preimage of under .)
Біркелкі сабақтастық
Анықтама. Егер нақты сандардың ішкі жиыны болса, функцияны жинағында біркелкі үздіксіз дейміз, егер кез келген үшін, бар болса, барлық үшін, болған жағдайда теңсіздігі орындалады.
Explicitly, when a function is uniformly continuous on , the choice of needed to fulfill the definition must work for all of for a given In contrast, when a function is continuous at every point (or said to be continuous on ), the choice of may depend on both and In contrast to simple continuity, uniform continuity is a property of a function that only makes sense with a specified domain; to speak of uniform continuity at a single point is meaningless. On a compact set, it is easily shown that all continuous functions are uniformly continuous. If is a bounded noncompact subset of , then there exists that is continuous but not uniformly continuous. As a simple example, consider defined by By choosing points close to 0, we can always make for any single choice of , for a given .
Нақтырақ айтқанда, функция жинағында біркелкі үздіксіз болғанда, анықтаманы орындау үшін қажетті таңдауы, берілген үшін жинағының барлық нүктелері үшін жұмыс істеуі керек. Ал, функция әрбір нүктеде үздіксіз болған жағдайда (немесе жинағында үздіксіз деп айтылғанда), таңдауы және екісіне де байланысты болуы мүмкін. Қарапайым үздіксіздіктен айырмашылығы, біркелкі үздіксіздік – бұл функцияның тек белгілі бір доменде ғана мағынасы бар қасиеті; жеке нүктеде біркелкі үздіксіздік туралы айтудың мәні жоқ. Жайпақ жиынтықта барлық үздіксіз функциялар біркелкі үздіксіз екені оңай көрсетіледі. Мысал ретінде, функциясын қарастырайық, ол формуласымен анықталған. 0-ге жақын нүктелерді таңдау арқылы, біз әрқашан жағдайын қамтамасыз ете аламыз, берілген үшін кез келген таңдауы үшін.
Explicitly, when a function is uniformly continuous on , the choice of needed to fulfill the definition must work for all of for a given In contrast, when a function is continuous at every point (or said to be continuous on ), the choice of may depend on both and In contrast to simple continuity, uniform continuity is a property of a function that only makes sense with a specified domain; to speak of uniform continuity at a single point is meaningless. On a compact set, it is easily shown that all continuous functions are uniformly continuous. If is a bounded noncompact subset of , then there exists that is continuous but not uniformly continuous. As a simple example, consider defined by By choosing points close to 0, we can always make for any single choice of , for a given .
Фурье сериясы
Фурье тізбектері кезеңдік функцияларды немесе кезеңдік сигналдарды қарапайым тербелісті функциялардың (мүмкін шексіз) жиынтығына – яғни синустар мен косинустарға (немесе кешенді экспоненталарға) – жіктейді. Фурье тізбектерін зерттеу көбінесе математика > математикалық талдау > Фурье талдау саласында қарастырылады.
Интеграциялау
Интеграция – қисық сызықпен шектелген аумақты табу және қисық сызықтың ұзындығын немесе бетпен шектелген көлемді анықтау мәселелерін формализациялау. Мұндай мәселелерді шешудің негізгі стратегиясы ежелгі гректер мен қытайларға белгілі болған және ол шектеу әдісі деп аталды. Жалпы алғанда, қажетті аумақ жоғарыдан және төменнен, сәйкесінше, дәл аудандары есептелетін көпбұрышты жақындықтармен шектеледі – сыртқы және ішкі жақындықтар арқылы. Көбірек және көбірек ("шексіз") бөліктерден тұратын, сондай-ақ кішкентай және кішкентай ("инфинитезимальды") бөліктерден тұратын жақындықтарды қарастыру арқылы қисықпен шектелген аумақты табуға болады, өйткені жақындықтармен анықталған жоғарғы және төменгі шекаралар ортақ мәнге жақындайды. Бұл негізгі стратегияның мәні Риман интегралының анықтамасында жақсы көрінеді, онда егер жоғарғы және төменгі Риман (немесе Дарбукс) қосындылары жіңішке және жіңішке тіктөртбұрышты тілімдерді ("жетілдірулерді") қарастырғанда ортақ мәнге жақын болса, интегралдың бар екені айтылады. Оны анықтау үшін қолданылатын құрал Риман интегралымен салыстырғанда әлдеқайда күрделі болғанымен, Лебег интегралы да ұқсас негізгі идеяларды ескере отырып анықталды. Риман интегралымен салыстырғанда, Лебег интегралы ауданы (немесе ұзындығы, көлемі және т.б.; жалпы алғанда "өлшем" деп аталады) Евклид кеңістігінің әлдеқайда күрделі және ретсіз кіші жиындары үшін анықтауға және есептеуге мүмкіндік береді, бірақ аумақ тағайындалмайтын "өлшеуге келмейтін" кіші жиындары әлі де бар.
Риман интеграциясы
Риман интегралы функциялардың Риман сомалары түрінде, интервалдың таңбаланған бөліктеріне қатысты анықталады. Нақты сызықтың жабық интервалы болсын; онда интервалдың таңбаланған бөлінісі – шекті тізбек. Бұл интервалды кіші интервалдарға , индексі бойынша , бөледі, әрқайсысы ерекше нүктемен «таңбаланған». , шектелген функция үшін, таңбаланған бөлініске қатысты Риман сомасын былай анықтаймыз:
This partitions the interval into sub intervals indexed by , each of which is "tagged" with a distinguished point For a function bounded on , we define the Riemann sum of with respect to tagged partition as
where is the width of sub interval Thus, each term of the sum is the area of a rectangle with height equal to the function value at the distinguished point of the given sub interval, and width the same as the sub interval width. The mesh of such a tagged partition is the width of the largest sub interval formed by the partition, We say that the Riemann integral of on is if for any there exists such that, for any tagged partition with mesh , we have
This is sometimes denoted When the chosen tags give the maximum (respectively, minimum) value of each interval, the Riemann sum is known as the upper (respectively, lower) Darboux sum. A function is Darboux integrable if the upper and lower Darboux sums can be made to be arbitrarily close to each other for a sufficiently small mesh. Although this definition gives the Darboux integral the appearance of being a special case of the Riemann integral, they are, in fact, equivalent, in the sense that a function is Darboux integrable if and only if it is Riemann integrable, and the values of the integrals are equal. In fact, calculus and real analysis textbooks often conflate the two, introducing the definition of the Darboux integral as that of the Riemann integral, due to the slightly easier to apply definition of the former. The fundamental theorem of calculus asserts that integration and differentiation are inverse operations in a certain sense.
мұнда – кіші интервалдың ені. Осылайша, соманың әрбір мүшесі – берілген кіші интервалдың ерекше нүктесіндегі функция мәніне тең биіктігі және кіші интервалдың енімен бірдей ені бар тіктөртбұрыштың ауданы. Мұндай таңбаланған бөліністің торлылығы – бөлініс құрайтын ең үлкен кіші интервалдың ені. Егер кез келген үшін, торлылығы бар кез келген таңбаланған бөлініс үшін, мына теңдік орындалса, онда функцияның интервалдағы Риман интегралы бар дейміз:
This partitions the interval into sub intervals indexed by , each of which is "tagged" with a distinguished point For a function bounded on , we define the Riemann sum of with respect to tagged partition as
where is the width of sub interval Thus, each term of the sum is the area of a rectangle with height equal to the function value at the distinguished point of the given sub interval, and width the same as the sub interval width. The mesh of such a tagged partition is the width of the largest sub interval formed by the partition, We say that the Riemann integral of on is if for any there exists such that, for any tagged partition with mesh , we have
This is sometimes denoted When the chosen tags give the maximum (respectively, minimum) value of each interval, the Riemann sum is known as the upper (respectively, lower) Darboux sum. A function is Darboux integrable if the upper and lower Darboux sums can be made to be arbitrarily close to each other for a sufficiently small mesh. Although this definition gives the Darboux integral the appearance of being a special case of the Riemann integral, they are, in fact, equivalent, in the sense that a function is Darboux integrable if and only if it is Riemann integrable, and the values of the integrals are equal. In fact, calculus and real analysis textbooks often conflate the two, introducing the definition of the Darboux integral as that of the Riemann integral, due to the slightly easier to apply definition of the former. The fundamental theorem of calculus asserts that integration and differentiation are inverse operations in a certain sense.
Бұл кейде былай белгіленеді. Егер таңдалған таңбалар әрбір интервалдың ең жоғарғы (сәйкесінше, ең төменгі) мәнін берсе, онда Риман сомасы жоғарғы (сәйкесінше, төменгі) Дарбу сомасы деп аталады. Егер жоғарғы және төменгі Дарбу сомаларын жеткілікті кішкентай тор үшін бір-біріне ерікті түрде жақын етуге болатын болса, функция Дарбу интегралданатын болып табылады. Бұл анықтама Дарбу интегралын Риман интегралының ерекше жағдайы ретінде қарастырса да, олар шын мәнінде эквивалентті, яғни функция Дарбу интегралданатын болса және тек сонда ғана Риман интегралданатын болады, ал интегралдардың мәндері тең болады. Шындығында, математикалық есептеулер мен нақты талдау оқулықтары көбінесе екеуін біріктіреді, Дарбу интегралының анықтамасын Риман интегралы ретінде келтіреді, өйткені біріншісінің анықтамасын қолдану сәл оңай. Калькулустің негізгі теоремасы интеграция мен дифференциация белгілі бір мағынада кері операциялар екенін көрсетеді.
This partitions the interval into sub intervals indexed by , each of which is "tagged" with a distinguished point For a function bounded on , we define the Riemann sum of with respect to tagged partition as
where is the width of sub interval Thus, each term of the sum is the area of a rectangle with height equal to the function value at the distinguished point of the given sub interval, and width the same as the sub interval width. The mesh of such a tagged partition is the width of the largest sub interval formed by the partition, We say that the Riemann integral of on is if for any there exists such that, for any tagged partition with mesh , we have
This is sometimes denoted When the chosen tags give the maximum (respectively, minimum) value of each interval, the Riemann sum is known as the upper (respectively, lower) Darboux sum. A function is Darboux integrable if the upper and lower Darboux sums can be made to be arbitrarily close to each other for a sufficiently small mesh. Although this definition gives the Darboux integral the appearance of being a special case of the Riemann integral, they are, in fact, equivalent, in the sense that a function is Darboux integrable if and only if it is Riemann integrable, and the values of the integrals are equal. In fact, calculus and real analysis textbooks often conflate the two, introducing the definition of the Darboux integral as that of the Riemann integral, due to the slightly easier to apply definition of the former. The fundamental theorem of calculus asserts that integration and differentiation are inverse operations in a certain sense.
Лебег интеграциясы және шара
Лебег интеграциясы – интеграл түсінігін функциялардың кеңірек класына таратып, сонымен қатар осы функциялар анықталатын салаларды да кеңейтетін математикалық құрылым. Ұзындық, аудан немесе көлем ұғымын абстракциялаған өлшем, Лебег интегралды ықтималдық теориясының негізгі ұғымы болып табылады.
Таратулар
Таратулар (немесе жалпыланған функциялар) функцияларды жалпылайтын объектілер болып табылады. Таратулар классикалық түсінік бойынша туындысы жоқ функцияларды дифференциалдауға мүмкіндік береді. Әсіресе, кез келген жергілікті интегралданатын функцияның тарату бойынша туындысы болады.
Күрделі талдаумен байланысы
Нақты талдау – тізбектер мен олардың лимиттері, үздіксіздік, дифференциалдау, интегралдау және функциялар тізбектері сияқты ұғымдарды зерттейтін талдау саласы. Анықтама бойынша, нақты талдау нақты сандарға, көбінесе оң және теріс шексіздікті қоса, кеңейтілген нақты сызықты құрайды. Нақты талдау, күрделі сандардың шамамен бірдей қасиеттерін зерттейтін күрделі талдаумен тығыз байланысты. Күрделі талдауда дифференциалдауды голоморфтық функциялар арқылы анықтау оңтайлы, олар көптеген пайдалы қасиеттерге ие, мысалы, қайталама дифференциалдану, қуат қатарлары түрінде өрнектелу және Коши интегралдық формуласын қанағаттандыру. Нақты талдауда дифференциалданатын, тегіс немесе гармониялық функцияларды қарастыру көбінесе оңайырақ, олар кеңінен қолданылады, бірақ голоморфтық функциялардың кейбір күшті қасиеттерінен мүше болмауы мүмкін. Дегенмен, алгебраның негізгі теоремасы сияқты нәтижелер күрделі сандармен түйінделгенде қарапайымдатылады. Күрделі айнымалының аналитикалық функциялары теориясының әдістері нақты талдауда жиі қолданылады, мысалы, қалдықтар есебі арқылы нақты интегралдарды есептеу.
Маңызды нәтижелер
Маңызды нәтижелерге Болцано-Вейерштрасс және Хайне-Борел теоремалары, аралық мән теоремасы мен орташа мән теоремасы, Тейлор теоремасы, интегралдық есептеудің негізгі теоремасы, Арзела-Асколи теоремасы, Стоун-Вейерштрасс теоремасы, Фату леммасы және монотонды жинақталу және үстемдік жинақталу теоремалары кіреді.
Жалпылаулар және математиканың осыған байланысты салалары
Нақты талдаудан алынған әртүрлі идеялар нақты сызықтан кеңірек немесе абстрактілірек контексттерге жалпыландырылуы мүмкін. Бұл жалпылаулар нақты талдауды басқа пәндер мен салаларға байланыстырады. Мысалы, үздіксіз функциялар және нақты талдаудан метрикалық және топологиялық кеңістіктерге тығыздық сияқты идеяларды жалпылау нақты талдауды жалпы топология саласымен байланыстырады, ал шекті өлшемді Евклидтік кеңістіктерді шексіз өлшемді аналогтарға жалпылау Банах кеңістіктері мен Хилберт кеңістіктері және, жалпы алғанда, функционалдық талдау тұжырымдамаларына әкелді. Георг Кантордың жиындарды, нақты сандар тізбектерін, олардың арасындағы бейнелеулерді және нақты талдаудың негізгі мәселелерін зерттеуі элементар жиындар теориясын тудырды. Функциялар тізбегінің жуысу мәселелерін зерттеу математикалық талдаудың саласы ретінде Фурье талдауын дамытуға әкелді. Нақты айнымалы функцияларынан кешенді айнымалы функцияларына дифференциалдауды жалпылаудың салдары голоморфтық функциялар тұжырымдамасын және талдаудың тағы бір ерекше саласы ретінде кешенді талдаудың пайда болуын тудырды. Екінші жағынан, интеграцияның Риманн түсінігінен Лебег түсінігіне жалпылау абстрактілі өлшем кеңістіктері ұғымын қалыптастырды, бұл өлшем теориясындағы маңызды ұғым. Соңында, интеграцияның нақты сызықтан қисықтарға және жоғары өлшемді кеңістіктегі беттерге жалпылануы векторлық есептеуді зерттеуге әкелді, оның одан әрі жалпылануы мен формализациясы дифференциалдық геометриядағы дифференциалдық формалар мен тегіс (дифференциалданатын) көптүрліліктер ұғымдарының дамуында маңызды рөл атқарды, сондай-ақ геометрия мен топологияның басқа да тығыз байланысты салаларында.