Кіріспе
Бүкіл кешенді жазықтықта голоморфты функция. Комплекстік талдауда, бүтін функция, сондай-ақ интегралды функция деп аталатын, – бұл бүкіл кешенді жазықтықта голоморфты болатын кешенді мәнді функция. Бүтін функциялардың классикалық мысалдары – полиномдар және экспоненциалды функция, сондай-ақ олардың кез келген шекті қосындылары, көбейтінділері және композициялары, мысалы, тригонометриялық функциялардың синусы және косинусы, сондай-ақ олардың гиперболалық аналогтары sinh және cosh, бүтін функциялардың туындылары мен интегралдары, мысалы, қателік функциясы. Егер бүтін функцияның түбірі болса, онда оның шекті мәні де бүтін функция болады. Керісінше, табиғи логарифм, кері функция және квадрат түбір – бұлардың ешқайсысы бүтін функциялар емес, оларды талдау арқылы бүтін функцияға кеңейту мүмкін емес. Трансцендентті бүтін функция – бұл полином емес бүтін функция. Мероморфтық функцияларды рационалды бөлшектердің обобдауы ретінде қарастырылғандай, бүтін функцияларды да полиномдардың обобдауы ретінде қарастыруға болады. Атап айтқанда, егер мероморфтық функциялар үшін қарапайым бөлшектерге жіктеуді (мероморфтық функцияның ыдырауы туралы Миттаг-Леффлер теоремасы) обобдауға болатын болса, бүтін функциялар үшін жіктеу Вейерштрасс теоремасымен бүтін функциялар бойынша обобдалады.
In complex analysis, an entire function, also called an integral function, is a complex valued function that is holomorphic on the whole complex plane. Typical examples of entire functions are polynomials and the exponential function, and any finite sums, products and compositions of these, such as the trigonometric functions sine and cosine and their hyperbolic counterparts sinh and cosh, as well as derivatives and integrals of entire functions such as the error function. If an entire function has a
root at , then , taking the limit value at , is an entire function. On the other hand, the natural logarithm, the reciprocal function, and the square root are all not entire functions, nor can they be continued analytically to an entire function. A transcendental entire function is an entire function that is not a polynomial. Just as meromorphic functions can be viewed as a generalization of rational fractions, entire functions can be viewed as a generalization of polynomials. In particular, if for meromorphic functions one can generalize the factorization into simple fractions (the Mittag Leffler theorem on the decomposition of a meromorphic function), then for entire functions there is a generalization of the factorization — the Weierstrass theorem on entire functions.
Басқа мысалдар
J. E. Littlewood-тың айтуынша, Вейерштрасс сигма функциясы – "типік" бүтін функция. Бұл мәлімдеме кездейсоқ бүтін функциялар теориясында нақтылана алады: дерлік барлық бүтін функциялардың асимптотикалық мінез-құлқы сигма функциясының мінез-құлқына ұқсас. Басқа мысалдарға Френель интегралдары, Якоби тета функциясы және кері Гамма функциясы жатады. Экспоненциалдық функция және қателік функциясы Миттаг-Леффлер функциясының ерекше жағдайлары болып табылады. Пейли мен Винердің негізгі теоремасы бойынша, шекті тірегі бар функциялардың (немесе үлестірілімдердің) Фурье түрлендіргіштері – тәртібі және шекті типі бар бүтін функциялар. Басқа мысалдар – полиномиалдық коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешімдері. Егер ең жоғары туындының коэффициенті тұрақты болса, онда мұндай теңдеулердің барлық шешімдері бүтін функциялар болып табылады. Мысалы, экспоненциалдық функция, синус, косинус, Эйри функциялары және Параболалық цилиндр функциялары осылай туындайды. Бүтін функциялар класы композициялар бойынша жабық. Бұл бүтін функциялардың динамикасын зерттеуге мүмкіндік береді. Егер бастапқы функция жұп болса, онда кешенді санның квадрат түбірінің бүтін функциясы бүтін болады, мысалы, егер барлық түбірлері нақты болатын полиномдар тізбегі бастапқы нүктенің маңында нөлге тең емес шекке жақындаса, онда бұл шек бүтін функция болады. Мұндай бүтін функциялар Лагерр-Поля класын құрайды, оны Хадамард көбейтіндісі тұрғысынан да сипаттауға болады, атап айтқанда, егер және тек қана Хадамард өрнегіндегі барлық шарттар нақты болса, онда ол осы классқа жатады, және , мұндағы және нақты сандар, ал мысалы, полиномдар тізбегі артқан сайын, полиномдардың барлығы нақты түбірлерге ие және -ге жақындайды. Полиномдар да -ге жақындайды, бұл косинус үшін Хадамард көбейтіндісінің қалыптасуын көрсетеді.
If a sequence of polynomials all of whose roots are real converges in a neighborhood of the origin to a limit which is not identically equal to zero, then this limit is an entire function. Such entire functions form the Laguerre–Pólya class, which can also be characterized in terms of the Hadamard product, namely, belongs to this class if and only if in the Hadamard representation all are real, , and
, where and are real, and For example, the sequence of polynomials
converges, as increases, to The polynomials
have all real roots, and converge to The polynomials
also converge to , showing the buildup of the Hadamard product for cosine.