Кешенді дифференциалданатын функциялар және голоморфтық функциялар теориясы
Holomorphic function
Күрделі дифференциалданатын функциялар, голоморфты функциялар және алгебралық геометрия. Теория, анықтамалар, қасиеттері мен қолданылуы туралы мағлұмат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Күрделі дифференциалданатын (математикалық) функция. Зарискидің алгебралық сан алуандықтағы голоморфтық функциялар теориясы.
Complex differentiable (mathematical) function
Zariski's theory of holomorphic functions on an algebraic variety
Математикада голоморфтық функция – бір немесе бірнеше күрделі айнымалының күрделі мәнді функциясы, ол күрделі координаталар кеңістігіндегі C^(n) доменіндегі әрбір нүктенің маңында күрделі дифференциалданады. Маңайда күрделі туындының болуы – өте күшті талап: ол голоморфтық функцияның шексіз дифференциалданатынын және жергілікті түрде өзінің Тейлор қатарына тең болатынын (аналитикалық) білдіреді. Голоморфтық функциялар күрделі анализде зерттеудің басты нысандары болып табылады. «Аналитикалық функция» термині көбінесе «голоморфтық функция» терминімен алмастырылып қолданылса да, «аналитикалық» сөзі кең мағынада кез келген функцияны (нақты, күрделі немесе жалпырақ түрдегі) оның доменіндегі әрбір нүктенің маңында жинақталатын қуат қатары түрінде жазуға болатынын білдіреді. Барлық голоморфтық функциялар күрделі аналитикалық функциялар және керісінше – күрделі анализдегі маңызды теорема. Голоморфтық функцияларды кейде реттелген функциялар деп те атайды. Домені бүкіл күрделі жазықтық болатын голоморфтық функция толық функция деп аталады. «z₀ нүктесінде голоморфты» деген фраза тек z₀ нүктесінде ғана емес, сонымен қатар күрделі жазықтықта z₀ нүктесінің бір маңында дифференциалданатынын білдіреді.
In mathematics, a holomorphic function is a complex valued function of one or more complex variables that is complex differentiable in a neighbourhood of each point in a domain in complex coordinate space 'C'^(n). The existence of a complex derivative in a neighbourhood is a very strong condition: it implies that a holomorphic function is infinitely differentiable and locally equal to its own Taylor series (is analytic). Holomorphic functions are the central objects of study in complex analysis. Though the term analytic function is often used interchangeably with "holomorphic function", the word "analytic" is defined in a broader sense to denote any function (real, complex, or of more general type) that can be written as a convergent power series in a neighbourhood of each point in its domain. That all holomorphic functions are complex analytic functions, and vice versa, is a major theorem in complex analysis. Holomorphic functions are also sometimes referred to as regular functions. A holomorphic function whose domain is the whole complex plane is called an entire function. The phrase "holomorphic at a point z0" means not just differentiable at z0, but differentiable everywhere within some neighbourhood of z0 in the complex plane.
Терминология
Голоморфтық терминін 1875 жылы Шарль Бриот пен Жан-Клод Буке, Аугустин Луи Кошидің екі шәкірті енгізді. Ол грек тіліндегі ὅλος (hólos) сөзінен шыққан, ол "толық" деген мағынаны білдіреді, және μορφή (morphḗ) сөзінен, ол "форма", "көрініс" немесе "түр" дегенді білдіреді. Бұл термин, μέρος (méros) сөзінен ("бөлік") шыққан мероморфтық терминіне қарама-қарсы келеді. Голоморфтық функция кешенді жазықтықтың доменіндегі толық функцияға ("толық") ұқсас, ал мероморфтық функция (яғни, белгілі бір оқшауланған полюстерде ғана голоморфты емес) кешенді жазықтықтың доменіндегі толық функциялардың рационалдық бөлшегіне ("бөлігіне") ұқсас. Коши оның орнына синектикалық терминін қолданған. Бүгінде "холоморфтық функция" термині кейде "аналитикалық функция" терминінен артық танымал. Кешенді анализдегі маңызды нәтиже – әрбір голоморфтық функция кешенді аналитикалық болады, бұл факті анықтамалардан тікелей шығармайды. Дегенмен, "аналитикалық" термині де кеңінен қолданылады.
The term holomorphic was introduced in 1875 by Charles Briot and Jean Claude Bouquet, two of Augustin Louis Cauchy's students, and derives from the Greek ὅλος (hólos) meaning "whole", and μορφή (morphḗ) meaning "form" or "appearance" or "type", in contrast to the term meromorphic derived from μέρος (méros) meaning "part". A holomorphic function resembles an entire function ("whole") in a domain of the complex plane while a meromorphic function (defined to mean holomorphic except at certain isolated poles), resembles a rational fraction ("part") of entire functions in a domain of the complex plane. Cauchy had instead used the term synectic. Today, the term "holomorphic function" is sometimes preferred to "analytic function". An important result in complex analysis is that every holomorphic function is complex analytic, a fact that does not follow obviously from the definitions. The term "analytic" is however also in wide use.
Функционалдық талдауды кеңейту
Голоморфтық функция ұғымын функционалдық талдаудың шексіз өлшемді кеңістіктеріне кеңейтуге болады. Мысалы, Фреше немесе Гато туындысын комплекстік сандар өрісіндегі Банах кеңістігінде голоморфтық функцияның анықтамасын беру үшін қолдануға болады.
The concept of a holomorphic function can be extended to the infinite dimensional spaces of functional analysis. For instance, the Fréchet or Gateaux derivative can be used to define a notion of a holomorphic function on a Banach space over the field of complex numbers.